氣泡碰壁反彈的動(dòng)力學(xué)模型研究

于勇，羅松

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京，100081)

在化工、石油、制藥等很多多相流系統(tǒng)中都存在氣泡-氣泡以及氣泡-壁面的相互作用.這些作用對(duì)化學(xué)反應(yīng)、力學(xué)特性及傳熱傳質(zhì)等過(guò)程有著重要的影響.因此深入了解氣泡的碰撞動(dòng)力學(xué)行為以及建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)描述是極其重要的.研究氣泡碰撞動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以為量化凝結(jié)、聚集、黏附和破碎等過(guò)程提供參考，同時(shí)為復(fù)雜多相流動(dòng)系統(tǒng)提供子模型參考.

對(duì)于氣液變形界面碰撞過(guò)程中形成的薄膜及其變化過(guò)程的研究具有較長(zhǎng)的歷史，Tsao等[1]最早用高速相機(jī)捕捉到了高雷諾數(shù)下的氣泡與壁面作用下的反彈現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)氣泡以終端速度撞擊壁面會(huì)反彈多次直至黏性耗散掉氣泡的動(dòng)能.但是限于當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件和方法，氣泡碰撞壁面形成的薄膜分布和薄膜排水的動(dòng)力學(xué)過(guò)程未能被捕捉到.Legendre[2-3]及Zawala[4]等進(jìn)行了氣泡撞擊壁面反彈的實(shí)驗(yàn)并從能量的角度量化分析了氣泡與壁面撞擊過(guò)程中的能量變化，其結(jié)果表明氣泡撞擊壁面存在氣泡動(dòng)能和氣泡表面能的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)發(fā)現(xiàn)氣泡與壁面的撞擊過(guò)程由薄膜排水的慣性效應(yīng)所主導(dǎo)，當(dāng)慣性力大于粘性耗散力，氣泡會(huì)發(fā)生反彈，反之則不會(huì).Hendrix等[5]采用同步相機(jī)和光學(xué)干涉方法對(duì)毫米級(jí)氣泡與壁面的碰撞過(guò)程進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)光學(xué)干涉法得到了氣泡與壁面間的薄膜變化.隨后Kosior等[6-7]對(duì)表面催化物質(zhì)以及壁面屬性對(duì)氣泡碰撞行為的影響進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究.Zhang Xurui及Manica等[8-9]利用集成薄膜測(cè)力儀對(duì)氣泡碰撞過(guò)程的受力進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量，這為一系列模型的驗(yàn)證提供了重要數(shù)據(jù).

對(duì)于氣泡或液滴碰撞過(guò)程形成的薄膜排水動(dòng)力學(xué)過(guò)程的模型描述吸引了眾多的學(xué)者.Yiantsios等[10]采用非流動(dòng)表面條件下的薄膜潤(rùn)滑近似理論得到了浮力作用下小液滴與壁面作用形成的薄膜演化規(guī)律，在模型計(jì)算中捕捉到了酒窩狀的變形.Klaseboer等[11]采用薄膜排水模型和壁面誘導(dǎo)力模型對(duì)甲烷液滴與壁面撞擊的薄膜排水和反彈過(guò)程進(jìn)行了理論計(jì)算，但薄膜分布的準(zhǔn)確性未得到驗(yàn)證.Moraga等[12]根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了新的壁面誘導(dǎo)力模型，這一模型中不再求解薄膜潤(rùn)滑理論，而是通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到其與浮力和阻力的關(guān)系，這一模型顯式的引入了Re數(shù)、We數(shù)和Bo數(shù)的影響，是額外薄膜壓力模型的改進(jìn)，但是對(duì)理解薄膜排水的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)過(guò)程沒(méi)有幫助，其力的模型誤差也較大.Podvin等[13]將Klaseboer的模型擴(kuò)張到2維來(lái)描述氣泡與傾斜壁面的碰撞問(wèn)題.Chan等[14]詳細(xì)地總結(jié)了氣泡和液滴的薄膜排水及聚合問(wèn)題的發(fā)展歷程，對(duì)各種理論模型和動(dòng)力學(xué)邊界進(jìn)行了分析，結(jié)果表明Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型最能精確地描述氣泡碰撞過(guò)程中形成的薄膜的演化.隨后Manica等[15-16]對(duì)不同尺度下的氣泡/液滴碰撞過(guò)程中的薄膜排水過(guò)程以及受力進(jìn)行了詳細(xì)的研究，提出的氣泡受力模型可以精確地模擬不同尺度下的氣泡的反彈軌跡.以上的模型對(duì)理解氣泡碰撞的動(dòng)力學(xué)過(guò)程起到了重要的作用，同時(shí)可以為復(fù)雜氣泡流動(dòng)系統(tǒng)的直接數(shù)值模擬提供了子模型參考[17-19].

綜上可知，國(guó)外大量學(xué)者對(duì)于氣泡/液滴碰撞的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，實(shí)驗(yàn)從開(kāi)始只能捕捉氣泡軌跡到詳細(xì)捕捉薄膜演化再到可以精確地測(cè)量氣泡/液滴受力，理論模型可以較為精確地捕捉薄膜變化規(guī)律和氣泡軌跡.限于作者所知，國(guó)內(nèi)目前暫時(shí)無(wú)人用此方法研究該問(wèn)題.本文采用Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型和壁面誘導(dǎo)力模型對(duì)氣泡與固體壁面碰撞的動(dòng)力學(xué)過(guò)程進(jìn)行了分析，討論了碰撞過(guò)程中的薄膜演化規(guī)律和膜內(nèi)壓力變化，將計(jì)算得到的軌跡與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了氣泡受力模型的準(zhǔn)確性.同時(shí)對(duì)不同Re數(shù)下氣泡碰壁過(guò)程進(jìn)行了求解，得到了氣泡碰壁反彈規(guī)律.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 氣泡受力模型

考慮如圖1所示的問(wèn)題，初始半徑為R的氣泡或液滴以速度v(t)垂直撞擊壁面，考慮為軸對(duì)稱問(wèn)題，氣泡表面與壁面之間形成薄膜分布h(r,t)，氣泡質(zhì)心距壁面距離為Zd，氣泡表面與壁面間形成徑向速度分布u，薄膜形成水動(dòng)力學(xué)壓強(qiáng)分布p(r,t)，薄膜徑向分布的最大位置為rmax.將氣泡的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，可以得到氣泡的受力方程為

(1)

式中：FB為氣泡受到的浮力；FD為氣泡受到的阻力或拽力；FA為附加質(zhì)量力；FF為由于氣泡撞擊壁面界面變形引起的薄膜內(nèi)潤(rùn)滑壓力，又稱為壁面誘導(dǎo)力；ρd為氣泡的密度.

由于重力的存在氣泡上升過(guò)程中受到浮力的作用，浮力大小與氣泡體積和流體密度有關(guān)，

(2)

式中：ρc為周圍液體的密度；g為重力加速度.氣泡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于黏性的存在會(huì)受到阻力的作用，阻力為

(3)

式中:μc為周圍液體的粘性，Re=2Rρc|v|/μc為氣泡運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)雷諾數(shù).阻力系數(shù)CD通過(guò)對(duì)橢圓形氣泡運(yùn)動(dòng)的分析計(jì)算得到，并經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證具有很高的準(zhǔn)確性[20].

(4)

(5)

(6)

以上阻力系數(shù)的關(guān)系適用于變形較大的液滴或氣泡(如橢圓形氣泡)，對(duì)于小氣泡或部分液滴，上升運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變形很小，近似為圓形，考慮非滑移氣泡表面，其阻力規(guī)律與圓球顆粒的阻力規(guī)律相似，具有以下關(guān)系式.

(7)

當(dāng)上升氣泡處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，阻力和浮力平衡，此時(shí)氣泡的運(yùn)動(dòng)速度成為終端速度vT.

氣泡從靜止加速或與壁面碰撞變速的過(guò)程中，由于周圍流體的加速或減速會(huì)對(duì)氣泡產(chǎn)生附加質(zhì)量力.附加質(zhì)量力為

(8)

(9)

氣泡撞擊壁面的模型中最重要部分是氣泡和固體表面之間的潤(rùn)滑膜以及控制氣泡在該區(qū)域變形的表面張力，這種黏性潤(rùn)滑和氣泡變形之間的平衡將引起膜內(nèi)積聚的壓力，其大小在特定條件下足以引起氣泡反彈.將薄膜內(nèi)的壓力作面積積分可以得到薄膜排水力，又叫壁面誘導(dǎo)力或附加薄膜壓力.考慮軸對(duì)稱薄膜，可得

(10)

式中rmax為薄膜分布的最大徑向位置，其中rmax的選取與氣泡的變形有關(guān)；p為薄膜內(nèi)的壓強(qiáng)分布.除了上述的各種作用力之外，流體的慣性效應(yīng)還會(huì)引起歷史力FH，但對(duì)于高雷諾數(shù)的氣泡運(yùn)動(dòng)這一力可以忽略.對(duì)于薄膜厚度到納米級(jí)的問(wèn)題或者微納級(jí)的氣泡碰撞問(wèn)題，氣泡碰撞壁面的過(guò)程中還會(huì)有分子范德華力FVDW以及雙電層力FEDL.

求解氣泡的質(zhì)心受力方程可以得到氣泡質(zhì)心速度變化v，對(duì)速度v積分即可得到氣泡的質(zhì)心位置變化Zd.

1.2 Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型

采用合適的模型描述氣泡撞擊壁面時(shí)形成的薄膜演化和膜內(nèi)壓力變化是理解氣泡碰撞動(dòng)力學(xué)行為的關(guān)鍵.氣泡撞擊壁面時(shí)，膜內(nèi)流動(dòng)滿足N-S方程，定義局部薄膜雷諾數(shù)Ref(ρcH0v0/μc)，由于分離薄膜厚度H0和氣泡表面速度v0很小，有Ref?1，因此薄膜內(nèi)流動(dòng)的慣性效應(yīng)可以忽略，薄膜內(nèi)流動(dòng)可以簡(jiǎn)化為Stokes流動(dòng)，則軸對(duì)稱模型下的N-S方程組可以簡(jiǎn)化為

(11)

(12)

(13)

式中：u為徑向速度分布；v為軸向速度.將連續(xù)性方程(11)從z=0積分到h(r,t)，得到薄膜厚度演化的方程為

(14)

在固壁面z=0處，有非滑移邊界條件u=v=0，如圖2所示，假設(shè)氣液交界面是不流動(dòng)界面(immobile interface)，則氣泡表面切向的速度分量必定為0，即在z=h(r,t)處，u=0.實(shí)際上只有在純凈無(wú)雜質(zhì)的液體中，才會(huì)考慮氣液交界面為流動(dòng)界面(mobile interface)，實(shí)驗(yàn)表明只要液體中有微量的雜質(zhì)或表面活性物質(zhì)就會(huì)導(dǎo)致氣液交界面為不流動(dòng)界面.根據(jù)式(13)薄膜內(nèi)壓強(qiáng)分布與z向無(wú)關(guān)，將式(12)對(duì)z積分兩次，并結(jié)合上述速度u的邊界條件，可得

(15)

(16)

將式(15)或(16)代入式(14)即可得到描述薄膜演化規(guī)律的Stokes-Reynolds方程：

(17)

式中，M=12對(duì)應(yīng)上述詳細(xì)討論的非流動(dòng)界面邊界條件(immobile interface)，M=3對(duì)應(yīng)流動(dòng)界面邊界條件(mobile interface).

由于薄膜排水引起的水動(dòng)力學(xué)壓力p滿足Young-Laplace方程[14]：

(18)

式中σ為表面張力系數(shù)，方程(18)是描述薄膜排水動(dòng)力學(xué)行為模型的關(guān)鍵，氣泡變形引起的表面能變化是唯一能夠儲(chǔ)存能量的地方，表面能的變化引起薄膜內(nèi)壓力增加.在氣泡撞擊壁面反彈的過(guò)程中，壓力集聚儲(chǔ)存的能量會(huì)轉(zhuǎn)化為氣泡的動(dòng)能.

當(dāng)氣泡遠(yuǎn)離壁面時(shí)，式(18)中的水動(dòng)力學(xué)壓力p為0，因此初始條件的選取需要保證薄膜內(nèi)的壓力分布為0，采用拋物型初始薄膜分布可以滿足這一條件，這一分布是半徑為R的球形氣泡表面的局部近似.因此t=0時(shí)的初始條件為

(19)

(20)

式中，H0為t=0時(shí)刻r=0位置處的薄膜厚度，選取為氣泡受壁面影響可以忽略的初始位置，一般取H0=5R.

對(duì)于方程(17)(18)構(gòu)成的偏微分方程系統(tǒng)，需要4個(gè)邊界條件.在r=0處，由于是軸對(duì)稱模型，采用對(duì)稱邊界

(21)

(22)

在薄膜的最外端，此處薄膜近似認(rèn)為未變形，同時(shí)近似有薄膜厚度的變化速度與氣泡質(zhì)心的速度相等，因此有邊界條件

(23)

p|r=rmax=0.

(24)

1.3 數(shù)值方法

方程(1)(17)(18)及邊界條件和初始條件(19)～(24)構(gòu)成了描述氣泡與壁面碰撞過(guò)程的動(dòng)力學(xué)模型.將式(18)帶入式(17)中可以得到關(guān)于薄膜厚度分布變化的4階非線性偏微分方程.

(25)

該方程沒(méi)有解析解，即使是考慮弱擾動(dòng)情形下的解，因此只能采用數(shù)值方法求解.采用隱式格式進(jìn)行求解，對(duì)上式中所有關(guān)于r的空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用2階中心差分格式離散，

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中Δt為時(shí)間步長(zhǎng).數(shù)值差分格式建立后利用已知時(shí)刻的h對(duì)離散方程中的非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化，最終得到的離散代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是五對(duì)角矩陣，可以通過(guò)高斯消去法進(jìn)行求解.軌跡方程(1)通過(guò)4階龍格庫(kù)塔法求解.

當(dāng)建立數(shù)值差分格式和數(shù)值方法后，整個(gè)方程系統(tǒng)的求解步驟如下：通過(guò)求解薄膜方程得到薄膜分布h，根據(jù)壓強(qiáng)方程求得壓力分布p，然后通過(guò)Simpson 法則求得壁面誘導(dǎo)力FF，求解氣泡的軌跡方程得到下一時(shí)層的速度v，積分速度得到氣泡軌跡Zd，然后根據(jù)新的速度v再計(jì)算下一時(shí)層的薄膜分布，重復(fù)以上過(guò)程直至計(jì)算結(jié)束.在每一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算內(nèi)，薄膜厚度的差分代數(shù)方程組采用迭代法求解，保證薄膜厚度求解的絕對(duì)殘差小于10-15，對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)分布絕對(duì)殘差小于10-12.

2 結(jié)果分析

2.1 典型氣泡碰壁動(dòng)力學(xué)過(guò)程分析

圖3顯示了氣泡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力變化.氣泡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受4個(gè)力的作用，即浮力、阻力、附加質(zhì)量力和壁面誘導(dǎo)力，在不同的運(yùn)動(dòng)階段，各個(gè)力對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)的作用不一樣.在初始狀態(tài)時(shí)氣泡離壁面較遠(yuǎn)，壁面誘導(dǎo)力不起作用，氣泡的阻力和浮力平衡，氣泡以終端速度運(yùn)動(dòng)，此時(shí)氣泡無(wú)加速度所以附加質(zhì)量力為0.當(dāng)氣泡靠近壁面時(shí)，壁面誘導(dǎo)力急劇增加并對(duì)氣泡的運(yùn)動(dòng)起主導(dǎo)作用，此時(shí)氣泡的運(yùn)動(dòng)主要由壁面誘導(dǎo)力和附加質(zhì)量力控制，浮力和阻力不再起主導(dǎo)作用.在每一次反彈過(guò)后壁面誘導(dǎo)力會(huì)出現(xiàn)短暫的負(fù)值，此時(shí)氣泡貼近壁面，有較大的負(fù)壓區(qū)存在.在反彈過(guò)后的部分時(shí)間里，氣泡速度接近0，阻力基本可以忽略，而附加質(zhì)量力也很小，氣泡處于壁面誘導(dǎo)力和浮力的平衡狀態(tài).氣泡在多次反彈過(guò)程中的力的演化規(guī)律基本一致.但隨著每一次碰撞速度的衰減，壁面誘導(dǎo)力的最大量級(jí)逐漸變小.

圖4顯示了采用不同時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算得到的氣泡運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)比來(lái)驗(yàn)證數(shù)值方法的收斂性.從圖中可以看出，對(duì)于求解理論模型所采用的隱式數(shù)值計(jì)算方法，采用時(shí)間步長(zhǎng)10-7就可以得到較好的結(jié)果，減小時(shí)間步長(zhǎng)基本不會(huì)引起結(jié)果的差異，因此說(shuō)明了采用的數(shù)值算法對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)的無(wú)關(guān)性.圖5顯示了采用不同空間節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算得到的氣泡運(yùn)動(dòng)軌跡以對(duì)比空間網(wǎng)格的收斂性.計(jì)算采用的節(jié)點(diǎn)數(shù)為100，200，400，600，800.從圖中可以看出采用不同節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算得到的氣泡軌跡均趨于一條曲線，差別極小，通過(guò)對(duì)第1次反彈幅度最大位置處的局部放大圖可以看出，除了采用節(jié)點(diǎn)數(shù)為100的計(jì)算結(jié)果之外，其余的計(jì)算結(jié)果均收斂與一條曲線.計(jì)算采用節(jié)點(diǎn)數(shù)200就可以得到很好的結(jié)果.

對(duì)于采用不用空間節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算得到的質(zhì)心軌跡,可用以下的范數(shù)誤差分析，

l1error:

(32)

l2error:

(33)

l∞error:

(34)

式中:‖e‖1、‖e‖2和‖e‖∞分別為1范數(shù)誤差、2范數(shù)誤差及最大范數(shù)誤差;NTS即為空間步長(zhǎng)數(shù);qt,ref為參考計(jì)算結(jié)果，一般采用最小網(wǎng)格尺度的計(jì)算結(jié)果，本文以節(jié)點(diǎn)數(shù)為800的計(jì)算結(jié)果作為參考;qt為其余網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算結(jié)果.

當(dāng)建立起范數(shù)誤差之后，計(jì)算結(jié)果關(guān)于空間步長(zhǎng)的收斂速度可以表示為

(35)

式中：l為網(wǎng)格的細(xì)化等級(jí)；h為對(duì)應(yīng)等級(jí)的空間步長(zhǎng).

表1顯示了氣泡質(zhì)心軌跡的范數(shù)誤差和空間收斂階數(shù)，參考值為節(jié)點(diǎn)數(shù)為800的計(jì)算結(jié)果.可以看出，隨著空間節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果的范數(shù)誤差逐漸減小，質(zhì)心位置的收斂階數(shù)也逐步增加，在節(jié)點(diǎn)數(shù)為200時(shí)，接近2，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為600時(shí)，大于3.同時(shí)可以看出采用不同范數(shù)誤差計(jì)算得到的收斂階數(shù)大小基本相同.

表1 相對(duì)范數(shù)誤差及收斂階數(shù)分析

圖6顯示了計(jì)算得到的氣泡運(yùn)動(dòng)軌跡，計(jì)算分別采用了流動(dòng)氣液界面和非流動(dòng)氣液界面進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明，采用流動(dòng)界面邊界條件下的理論模型得到的氣泡軌跡變化與Tsao&Koch實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得更好，這說(shuō)明在他們的實(shí)驗(yàn)條件下所研究的氣泡表面具有較好的流動(dòng)性，實(shí)際上他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中采用了去離子水，流動(dòng)系統(tǒng)比較純凈.其中理論模型得到的結(jié)果對(duì)于反彈運(yùn)動(dòng)的最大幅度的預(yù)測(cè)略小于實(shí)驗(yàn)值，最大誤差在氣泡反彈的最大位置處，最大誤差在10%以內(nèi)，同時(shí)可以看出計(jì)算得到的氣泡質(zhì)心隨時(shí)間變化的曲線與試驗(yàn)結(jié)果相比存在時(shí)間上的相移現(xiàn)象.這是由于實(shí)際中的氣泡在碰撞和反彈過(guò)程中處于持續(xù)的變形之中，在碰撞過(guò)程中保持變形較大的橢球形形狀，而反彈回去之后會(huì)逐漸恢復(fù)為球形，實(shí)際上變形會(huì)引起阻力系數(shù)和附加質(zhì)量力系數(shù)的變化.而在理論模型之中，阻力系數(shù)和附加質(zhì)量力系數(shù)都保持為常數(shù)，因此引入誤差以及速度隨時(shí)間演化上的差異，這是理論模型進(jìn)一步修正的方向，但是可以看出這里引入的誤差對(duì)于氣泡反彈運(yùn)動(dòng)的描述影響不大.同時(shí)可以看出，采用非流動(dòng)界面邊界條件得到的氣泡反彈后的最大幅度更小，氣泡動(dòng)能衰減的更快，第2次和第3次反彈幅度急劇變小.這是由于采用非流動(dòng)界面邊界條件引起的氣泡變形和粘性耗散會(huì)更大.圖中展示了Moraga等[12]的計(jì)算結(jié)果來(lái)進(jìn)行了對(duì)比，可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與Moraga計(jì)算結(jié)果基本一致，但Moraga計(jì)算結(jié)果的相移現(xiàn)象更加明顯.

圖7顯示了模型預(yù)測(cè)得到的氣泡質(zhì)心速度變化，氣泡在最接近壁面和反彈后離壁面最遠(yuǎn)時(shí)速度為0，根據(jù)不同的速度方向變化可以將氣泡運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為不同的碰撞和反彈過(guò)程.可以看出在每一次碰撞和反彈過(guò)程中氣泡的最大運(yùn)動(dòng)速度在變小，而且氣泡從接近壁面速度最大到遠(yuǎn)離壁面速度最大的運(yùn)動(dòng)階段里速度變化更快，此時(shí)壁面誘導(dǎo)力FF對(duì)氣泡的運(yùn)動(dòng)起主導(dǎo)作用.再觀察速度氣泡軌跡和速度的衰減，可以發(fā)現(xiàn)其類似于阻尼振蕩衰減，但實(shí)際上的能量耗散小于采用黏性阻尼振蕩器來(lái)分析這一系統(tǒng)時(shí)的能量耗散，氣泡反彈的幅度也大于采用黏性阻尼振蕩器來(lái)分析得到的反彈幅度.這是由于氣泡變形的存在，使得能量轉(zhuǎn)化為氣泡表面能，表面能可以再轉(zhuǎn)化為氣泡的動(dòng)能，這使得實(shí)際的黏性耗散小于黏性阻尼振蕩器的耗散.

氣泡在碰撞壁面的過(guò)程中會(huì)發(fā)生變形，接近壁面的表面變形程度較大，在氣泡速度為0時(shí)，氣泡質(zhì)心距離壁面最近，薄膜變形達(dá)到最大，隨后氣泡反彈氣泡形狀恢復(fù).此處詳細(xì)討論氣泡前兩次碰撞回彈過(guò)程中的薄膜剖面分布變化，來(lái)展示氣泡撞壁的動(dòng)力學(xué)過(guò)程.圖8顯示了氣泡第1次碰撞壁面時(shí)薄膜的變化規(guī)律，從圖中可以看出氣泡中心處的薄膜厚度變化率先大于邊緣處的薄膜厚度變化率，隨后基本不變，氣泡由初始近似球形形狀發(fā)展出酒窩狀的形狀，酒窩狀出現(xiàn)在氣泡中心和邊緣的中間部位.圖9顯示了氣泡第1次反彈過(guò)程中的薄膜剖面變化.從圖中可以看出，氣泡在反彈時(shí)，酒窩狀的位置朝氣泡中心位置發(fā)展，此時(shí)氣泡中心處薄膜厚度基本不變，但在部分時(shí)刻仍然朝壁面貼近，后面可以看到這是受到局部負(fù)壓吸力作用的影響.當(dāng)酒窩狀凸起發(fā)展至中心位置后，氣泡迅速回彈，恢復(fù)至近似初始形狀.

圖10顯示了第2次碰撞過(guò)程中的薄膜剖面演化.薄膜仍然形成了酒窩狀的分布，但此時(shí)酒窩狀出現(xiàn)的位置離氣泡中心更近，酒窩狀形態(tài)更加明顯.此時(shí)氣泡撞擊壁面的速度變小，這說(shuō)明氣泡撞擊壁面的速度對(duì)薄膜的變化是有影響的，特別是對(duì)酒窩狀的形成和分布.圖11顯示了第2次反彈過(guò)程中的薄膜變化.與第1次反彈過(guò)程一樣，酒窩狀的位置會(huì)超氣泡中心位置發(fā)展，部分時(shí)刻薄膜中心處的位置仍受負(fù)壓影響向壁面靠近.

圖12顯示了薄膜中心處的厚度變化h0(t)和最小薄膜厚度hm(t)隨時(shí)間的變化規(guī)律.從圖中可以看出，在遠(yuǎn)離壁面時(shí)，兩者相等，此時(shí)氣泡的最小薄膜位置出現(xiàn)在中心處，未有酒窩狀出現(xiàn).在氣泡最接近壁面時(shí)刻(速度為0)附近，最小薄膜厚度小于薄膜中心位置的薄膜厚度，此時(shí)預(yù)示著酒窩狀的出現(xiàn)，薄膜潤(rùn)滑效應(yīng)起到主導(dǎo)作用.同時(shí)此氣泡初始動(dòng)能大，會(huì)反彈多次，可以看出在計(jì)算內(nèi)的4次反彈過(guò)程中均有酒窩狀的形狀出現(xiàn).實(shí)際上酒窩狀形狀的出現(xiàn)受薄膜內(nèi)部排水過(guò)程和氣泡變形的影響.對(duì)于氣泡和液滴等的碰撞動(dòng)力學(xué)行為中形成的薄膜中均會(huì)存在酒窩狀、漣漪狀、丘疹狀的表面形態(tài)分布.這些形狀的存在會(huì)使得薄膜內(nèi)部形成非等截面的流動(dòng)通道進(jìn)行薄膜排水過(guò)程，引起薄膜內(nèi)流動(dòng)的變化.

圖13和圖14分別顯示了第1次碰撞和反彈過(guò)程中薄膜內(nèi)壓強(qiáng)的變化規(guī)律.在氣泡接近壁面過(guò)程中，氣泡初始?jí)簭?qiáng)分布為0，隨著氣泡的變形，中心位置壓強(qiáng)迅速上升隨后保持不變，壓強(qiáng)沿徑向遞減.其中最大壓強(qiáng)接近200 Pa，此氣泡的Laplace壓強(qiáng)2σ/R=187.34 Pa，最大壓強(qiáng)會(huì)大于球形氣泡所具有的Laplace壓強(qiáng)，壓強(qiáng)分布引起氣泡撞擊壁面時(shí)的局部變形.在氣泡遠(yuǎn)離壁面反彈的過(guò)程中，最大壓強(qiáng)數(shù)值有所增加，壓強(qiáng)隨徑向加速衰減的位置向薄膜中心發(fā)展，同時(shí)，在酒窩狀出現(xiàn)的位置及其外部會(huì)出現(xiàn)局部的負(fù)壓區(qū)，負(fù)壓區(qū)的位置隨酒窩狀的位置向薄膜中心發(fā)展.當(dāng)酒窩狀完全發(fā)展至中心處時(shí)，會(huì)形成完全的反壓區(qū).這些反壓的存在會(huì)使壁面誘導(dǎo)力在部分時(shí)刻反向.當(dāng)氣泡反彈恢復(fù)至近似初始形狀時(shí)，壓力分布衰減為0.

圖15和圖16顯示了第2次碰撞和反彈過(guò)程中薄膜內(nèi)壓強(qiáng)的變化情況.可以看出，第2次碰撞和反彈過(guò)程的壓強(qiáng)變化規(guī)律與第1次相同，只是壓強(qiáng)加速衰減的位置與酒窩狀位置一樣向薄膜中心處發(fā)展.最大壓強(qiáng)的量級(jí)與第1次相似.

2.2 酒窩狀變形的形成和氣泡反彈規(guī)律

以上討論了典型高雷諾數(shù)下氣泡碰壁過(guò)程中的薄膜變形和膜內(nèi)流體動(dòng)壓強(qiáng)變化.實(shí)際上，對(duì)于水中變形氣泡而言，其與壁面碰撞過(guò)程中的薄膜變形與膜內(nèi)壓強(qiáng)分布規(guī)律與以上相同，只是酒窩狀變形形成的位置不一樣.酒窩狀變形形成時(shí)的液膜厚度決定了薄膜排水的時(shí)間，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)酒窩狀變形形成時(shí)的薄膜厚度和薄膜排水時(shí)間對(duì)于研究氣膠體顆粒碰撞時(shí)的穩(wěn)定性有重要意義.酒窩狀變形處的薄膜厚度最小，當(dāng)薄膜不穩(wěn)定時(shí)，薄膜的破碎會(huì)最先從這里開(kāi)始.記氣泡與壁面碰撞過(guò)程中酒窩狀第1次形成時(shí)的薄膜厚度為hD，此時(shí)氣泡靠近壁面界面為扁平形，中心位置及周圍位置液膜厚度相等.考慮氣泡界面為非流動(dòng)界面時(shí)，對(duì)于以恒定速度撞擊壁面的氣泡這一厚度可以通過(guò)理論分析得到[21]，其表達(dá)式為

(36)

對(duì)于不同尺寸的氣泡碰壁問(wèn)題，氣泡具有不同的終端速度以及不同的雷諾數(shù).氣泡在碰壁的過(guò)程中動(dòng)能會(huì)逐漸被耗散，當(dāng)動(dòng)能被完全耗散掉時(shí)，氣泡將不再反彈.圖10顯示了不同(We,Re)控制下的氣泡反彈次數(shù)機(jī)制圖，其中韋伯?dāng)?shù)We=2ρv2R/σ.這里規(guī)定氣泡碰撞壁面后質(zhì)心反向運(yùn)動(dòng)的最大幅度超過(guò)氣泡半徑的1/10時(shí)認(rèn)為氣泡發(fā)生反彈.從圖中可以看出，氣泡反彈次數(shù)隨著雷諾數(shù)的增加而增多.在雷諾數(shù)Re約大于29時(shí)，氣泡會(huì)發(fā)生反彈，反之氣泡不發(fā)生反彈；當(dāng)雷諾數(shù)Re約大于90時(shí)，氣泡反彈次數(shù)增加為兩次；當(dāng)Re約大于190時(shí)，氣泡反彈次數(shù)增加為3次；當(dāng)雷諾數(shù)Re約大于310時(shí)，氣泡的反彈次數(shù)增加至4次；當(dāng)Re約大于430時(shí)，氣泡的反彈次數(shù)增加至5次；當(dāng)Re約大于586時(shí)，氣泡反彈次數(shù)增加至6次，在現(xiàn)有的計(jì)算中氣泡出現(xiàn)的最大反彈次數(shù)為6次.

3 結(jié) 論

采用壁面誘導(dǎo)力模型和SRYL模型對(duì)氣泡碰壁反彈過(guò)程進(jìn)行了求解和分析，得到了以下結(jié)論.

① 隨著氣泡尺寸及雷諾數(shù)的增大，氣泡在與壁面作用的過(guò)程中會(huì)反彈0到多次，基于壁面誘導(dǎo)力的氣泡軌跡模型可以很好地預(yù)測(cè)氣泡的反彈規(guī)律.高雷諾數(shù)的氣泡會(huì)反彈多次直至動(dòng)能被全部耗散.

② 上升氣泡碰壁過(guò)程中受到浮力、阻力、附加質(zhì)量力和壁面誘導(dǎo)力.在氣泡接近壁面的過(guò)程中，壁面誘導(dǎo)力急劇變化并對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)起主導(dǎo)作用，壁面誘導(dǎo)力是引起氣泡反彈的最主要因素.

③ 氣泡在最接近壁面時(shí)，氣泡表面靠近壁面的部分會(huì)呈現(xiàn)豐富的變形，存在類似于薄膜潤(rùn)滑效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)行為.薄膜出現(xiàn)酒窩狀的形狀，膜內(nèi)壓強(qiáng)也會(huì)因?yàn)楸∧ぷ冃魏团潘^(guò)程而發(fā)生變化，壓強(qiáng)的最大值會(huì)大于Laplace壓強(qiáng).

④ SRYL模型對(duì)氣泡碰撞壁面的薄膜排水動(dòng)力學(xué)過(guò)程做出了較為詳細(xì)的描述和解釋，可以為復(fù)雜兩相流動(dòng)的數(shù)值模擬提供子模型參考.