基于廣義卡爾曼-布西濾波的壓縮光相位自適應(yīng)估計方法

陳樹新，徐涵，吳昊，房亮，崔軍輝，鐘慧

(1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西，西安 710077；2.空軍工程大學(xué) 研究生院，陜西，西安 710077；3.94969部隊，上海 200436; 4.95655部隊，四川，成都 611530)

量子參數(shù)估計[1]是在量子系統(tǒng)中對經(jīng)典變量的估計問題，其中量子相位估計已經(jīng)成為量子通信[2-3]、量子定位[4]和引力波探測[5-6]等領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，受到了廣泛的關(guān)注.導(dǎo)航系統(tǒng)中的相位式測角同樣需要精確的相位參數(shù)[7]，而利用量子理論獲取相位參數(shù)的導(dǎo)航機(jī)制可以克服散粒噪聲的影響，有望提高導(dǎo)航定位的精度.

上述的壓縮光相位估計方法能夠?qū)崿F(xiàn)的關(guān)鍵在于如何調(diào)整本振相位，以減小真空起伏對零拍電流的影響.但是他們均采用了數(shù)據(jù)平滑方法獲取相位信息，這對實(shí)時性要求較高的導(dǎo)航系統(tǒng)來說并不適用.為此，本文在利用量子零拍探測測量相位壓縮光的相位時，基于廣義卡爾曼-布西濾波[17-18](extended Kalman-Bucy filter, EKBF)設(shè)計了零拍鎖相環(huán)，所設(shè)計鎖相環(huán)能夠?qū)Ρ菊裣辔贿M(jìn)行實(shí)時反饋控制，保證其與待測信號相位正交，同時提高了一階泰勒展開的精度，從而得到精度最高的壓縮光相位.通過求解李雅普諾夫方程得到了估計誤差與各參數(shù)間的關(guān)系，理論分析和仿真結(jié)果表明此方法可以實(shí)現(xiàn)壓縮光相位的精確估計，精度能夠突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限.在最優(yōu)壓縮度下能夠得到最高的估計精度，且最優(yōu)壓縮度越高，相位估計精度越高.

1 系統(tǒng)模型

首先在狀態(tài)空間中定義狀態(tài)模型和量測模型，相位壓縮光的調(diào)制相位模型φ(t)為Ornstein-Uhlenbeck(OU)過程[19]

(1)

式中：λ-1>0為φ(t)的相關(guān)時間；κ>0決定相位變化的大?。籿(t)為具有統(tǒng)一振幅的均值為0的高斯白噪聲，滿足E[v(t)v(τ)]=Nδ(t-τ).

用零拍探測測量由上述相位模型調(diào)制后的相位壓縮光，將本振相位Φ(t)通過反饋控制為Φ(t)≈π/2+φ(t)，然而φ(t)是未知的，因此需要利用最優(yōu)估計理論得到φ(t)的最優(yōu)估計值φ(t)，從而得到零拍探測輸出電流

(2)

(3)

設(shè)探測中總損耗l，相位壓縮度與反壓縮度分別為R-=e-2rm和R+=e2rp，壓縮度和反壓縮度可以由統(tǒng)一壓縮參數(shù)r和探測總損耗l表示為[12]

(4)

2 零拍鎖相環(huán)設(shè)計

2.1 廣義卡爾曼-布西濾波算法

假設(shè)連續(xù)非線性系統(tǒng)模型為

(5)

式中：f[·]和h[·]都是或者其中一個是關(guān)于自變量X(t)的非線性函數(shù)；w(t)和v(t)為高斯白噪聲.

針對此類連續(xù)非線性系統(tǒng)而言，卡爾曼-布西濾波的基本方程并不適用，因此需要利用將非線性濾波算法廣義卡爾曼-布西濾波.現(xiàn)定義連續(xù)系統(tǒng)的真實(shí)軌跡與最優(yōu)狀態(tài)估計軌跡偏差為

(6)

(7)

同理

當(dāng)δX(t)足夠小時，非線性式(5)可以在最優(yōu)估計附近進(jìn)行泰勒展開，并取其一次近似值，得

(8)

(9)

將式(7)帶入式(8)(9)可得到

(10)

δZ(t)=H(t)δX(t)+w(t).

(11)

不同于卡爾曼-布西濾波，轉(zhuǎn)移矩陣F和H的獲取需要求雅可比矩陣，分別為

(12)

(13)

得到轉(zhuǎn)移矩陣F和H后，利用卡爾曼-布西濾波的基本方程推導(dǎo)廣義卡爾曼-布西濾波，卡爾曼-布西濾波的基本方程為

(14)

K(t)=P(t)HT(t)γ-1(t)，

(15)

P(t)HT(t)γ-1(t)H(t)P(t)+

G(t)q(t)GT(t)，

(16)

式中：K(t)為卡爾曼增益；P(t)為協(xié)方差陣.將式(12)和(13)帶入卡爾曼-布西濾波基本方程，得到廣義卡爾曼-布西濾波方程如下

(17)

(18)

(19)

2.2 基于EKBF的零拍鎖相環(huán)設(shè)計

(20)

(21)

求解式(21)可得

(22)

由式(17)與(18)可得相位預(yù)測方程以及卡爾曼增益為

(23)

(24)

將式(2)線性化可得

(25)

將式(25)進(jìn)行等價變換可以將量測模型改為

(26)

將式(26)帶入式(23)化簡得

(27)

由式(27)可得到傳遞函數(shù)

(28)

由式(24)～(28)可以得到基于廣義卡爾曼-布西濾波的零拍鎖相環(huán)如圖2所示.

在利用零拍探測對相位壓縮光進(jìn)行測量時，需要本振相位與信號場相位正交，才能最大程度地克服散粒噪聲的影響，同時也能提高一階泰勒展開的精度，所設(shè)計鎖相環(huán)是把量測結(jié)果(這里的量測特指式(26))通過傳遞函數(shù)為H(s)的濾波器，然后將所得結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯反變換，得到狀態(tài)估計值，最后根據(jù)估計相位調(diào)整本振相位的值.以此循環(huán)，確保每一時刻測得的零拍電流受到最小的散粒噪聲影響，從而得到相位壓縮光的相位估計值.

3 誤差分析及對比

3.1 誤差分析

利用李雅普諾夫方法對所提方法進(jìn)行誤差分析，在構(gòu)造李雅普諾夫方程時，首先建立如下狀態(tài)空間模型

(29)

式中：

由此可以得到李雅普諾夫方程

APs+PsAT+BBT=0

(30)

式中：穩(wěn)態(tài)狀態(tài)協(xié)方差矩陣Ps為對稱矩陣，設(shè)為如下形式

(31)

求解式(30)可得

(32)

相位估計誤差可表示為

(33)

由此得到均方根誤差

(34)

3.2 仿真結(jié)果與分析

由式(34)可知均方根誤差與各個參數(shù)的關(guān)系，為了更加直觀觀察參數(shù)之間的聯(lián)系，得到相應(yīng)的結(jié)論，本文采取仿真的方式對估計精度與各參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行討論.參數(shù)設(shè)置[12]如表1所示.

表1 參數(shù)設(shè)置

3.2.1實(shí)驗(yàn)一：均方根誤差與壓縮度的關(guān)系

3.2.2實(shí)驗(yàn)二：均方根誤差和相位壓縮光幅度平方的關(guān)系

3.2.3實(shí)驗(yàn)三：最優(yōu)壓縮度與各參數(shù)間的關(guān)系

4 結(jié) 論

利用非經(jīng)典光源-壓縮光獲取相位參數(shù)，可以克服散粒噪聲的影響，進(jìn)一步提高導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度.由于導(dǎo)航系統(tǒng)的非線性特點(diǎn)以及對實(shí)時性要求較高，傳統(tǒng)的線性化平滑估計方法并不能用來獲取導(dǎo)航系統(tǒng)中的相位參數(shù).為此，本文基于EKBF算法設(shè)計了零拍鎖相環(huán)，對本振相位進(jìn)行實(shí)時控制，實(shí)現(xiàn)了對壓縮光相位的估計，并利用李亞普諾夫方法對該方法進(jìn)行了誤差分析.仿真結(jié)果表明：① 壓縮光可以克服散粒噪聲的影響，突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限，能夠有效提高導(dǎo)航系統(tǒng)中的定位精度；② 在最優(yōu)壓縮參數(shù)下才能得到最小的估計誤差，且最優(yōu)壓縮度越大，估計誤差越小.下一步，將繼續(xù)利用非經(jīng)典光源對具有高非線性特點(diǎn)的導(dǎo)航測角相位模型進(jìn)行跟蹤，由此實(shí)現(xiàn)精度更高的目標(biāo)跟蹤定位.