基于隨機(jī)分形的樹木（楓樹）可視化研究

劉娟,胡杰,張權(quán)義,趙清,李富忠

基于隨機(jī)分形的樹木（楓樹）可視化研究

劉娟1,胡杰2*,張權(quán)義1,趙清3,李富忠2*

1. 山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院, 山西 太谷 030801 2. 山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院, 山西 太谷 030801 3. 山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 農(nóng)學(xué)院, 山西 太谷 030801

為了更好地發(fā)揮森林效益，提高森林的管理效果，需要虛擬不同樹木生長(zhǎng)過程的形態(tài)，建立相應(yīng)的可視化系統(tǒng)，從而尋找樹木生長(zhǎng)規(guī)律，用來指導(dǎo)實(shí)踐。本文首先介紹了虛擬單棵樹木的兩種分形方法：L系統(tǒng)和迭代函數(shù)系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，考慮到氣候、溫度、陽光和風(fēng)向等因素對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)的影響，在生成規(guī)則和仿射變換、樹木初始角度、樹木主干與枝干的夾角、樹枝的粗細(xì)和長(zhǎng)度等五個(gè)方面分別引入隨機(jī)因子，用Matlab軟件進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)了楓樹不同形態(tài)的繪制。此方法可以推廣到虛擬不同植物的形態(tài)等，在虛擬農(nóng)業(yè)研究、虛擬場(chǎng)景、景觀設(shè)計(jì)、動(dòng)畫制作等方面有廣泛的應(yīng)用。

隨機(jī)分形; 虛擬樹木形態(tài); 可視化

在自然界中，樹木隨處可見，并且種類繁多，形態(tài)各異。樹木的葉形更是千奇百怪，無所不有。利用傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法研究不同樹木的生長(zhǎng)形態(tài)，不僅需要很長(zhǎng)的試驗(yàn)周期，還要花費(fèi)大量的費(fèi)用、物力和人力。因此引入了虛擬樹木技術(shù)，它需要借助計(jì)算機(jī)軟件，定量地模擬不同樹木的生長(zhǎng)形態(tài)，直觀地觀察樹木生長(zhǎng)動(dòng)態(tài)，可以快速地驗(yàn)證和檢驗(yàn)樹木的生長(zhǎng)模型。這是一項(xiàng)重要且有意義的課題[1-8]，在虛擬農(nóng)業(yè)研究、虛擬場(chǎng)景、景觀設(shè)計(jì)、動(dòng)畫制作等方面有廣泛的應(yīng)用。

雖然樹木形態(tài)各異，結(jié)構(gòu)不規(guī)則，但是觀察到對(duì)于具體的樹木而言，有樹干、樹枝、枝干、枝條和枝葉。并且發(fā)現(xiàn)樹枝與樹干的關(guān)系類似于枝條與枝干的關(guān)系，即局部和整體是相似的。同樣地，葉脈的形狀與整棵樹的分枝結(jié)構(gòu)相類似?；谝陨蠘淠咎卣?，從幾何的角度來看，局部與整體的關(guān)系可以通過一個(gè)仿射變換實(shí)現(xiàn)。所以可以把整個(gè)樹木圖形分成若干個(gè)子圖，將原圖在相應(yīng)的仿射變換下變?yōu)樗值淖訄D。以此類推，將所分的每個(gè)子圖在仿射變換下形成更小的子圖，這樣得到一個(gè)分形集合。因此可以引入分形的方法對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)進(jìn)行模擬，很好地表達(dá)了樹木分枝的情形和相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。常見的分形系統(tǒng)有分形L系統(tǒng)和迭代函數(shù)系統(tǒng)[1-4]。

近年來，許多研究人員應(yīng)用分形系統(tǒng)模擬不同樹木生長(zhǎng)，如葡萄樹、杏樹、梨樹、山楂樹、桃樹、開心蘋果樹等，并將其可視化[5-9]。所用的畫圖軟件為OpenGL，本文將使用另外一種軟件——Matlab軟件進(jìn)行編程，繪制任意形態(tài)的樹木[9]。同時(shí)考慮到氣候、溫度、陽光和風(fēng)向等因素對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)的影響，本文將在分形系統(tǒng)中引入一定的隨機(jī)因子[10]，控制樹木的分支方向，樹枝粗細(xì)，生長(zhǎng)長(zhǎng)度變化和生長(zhǎng)角度等，使得到的樹木形態(tài)更加逼真，自然。綜上所述，本文將基于隨機(jī)分形系統(tǒng)使用Matlab軟件對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)進(jìn)行模擬。

1 樹木可視化的數(shù)學(xué)模型

（1）將樹木生長(zhǎng)過程理想化：先生長(zhǎng)出一根主干，再長(zhǎng)出兩條或者多條枝干，一段時(shí)間后每個(gè)枝干又生長(zhǎng)出兩條或者多條新的枝干。以此類推，生長(zhǎng)出自然界中枝繁葉茂形態(tài)各異的樹木。將上述過程進(jìn)行簡(jiǎn)化，只考慮一根主干和由它生長(zhǎng)出的兩根枝條，即生成元。

（2）圖1為某一種樹的生成元，其中線段AB為樹木的主干，長(zhǎng)為L(zhǎng)，(,)為初始點(diǎn)，(1,1)為終點(diǎn)。(2,2)為AB上一點(diǎn)，=1。由C點(diǎn)生出兩條枝干，分別為線段CD和CE，=2，=3，且與主干的夾角分別為1和2。D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,3)和(4,4)。它們之間的相互關(guān)系為：

(1)式和(2)式中的絕對(duì)值保證了樹木樹枝的向上生長(zhǎng)。并且需要保證主干線條比側(cè)枝的線條粗一些。有時(shí)樹木的主干不一定筆直的，可能是斜的。

圖 1 某一種樹的生成規(guī)則

(3)生成元與具體樹木的結(jié)構(gòu)特征有關(guān)。采取不同的生成元，生成的樹木的圖形也不一樣。

2 分形理論

自然界中常用分形理論來描述不規(guī)則且部分與整體以某種方式相似的景象。它的重要原則是自相似原則和迭代生成原則。常用的分形理論是L系統(tǒng)理論和迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)理論。

2.1 L系統(tǒng)

L系統(tǒng)[11]通過對(duì)樹木生長(zhǎng)過程抽象概括所需的生成元(初始狀態(tài)和生成規(guī)則)，進(jìn)行有限次迭代，對(duì)符號(hào)進(jìn)行重寫，可以生成形態(tài)各異的樹木圖形，很好地體現(xiàn)樹木的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。具體分為三步：

(1)對(duì)符號(hào)進(jìn)行重寫：通過一系列的字符串更換，更換原則為→，→，最后演變?yōu)椋骸?/p>

(2)將樹枝視為線段，根據(jù)樹木的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)定義不同的字符，F(xiàn): 表示沿原來的方向畫樹枝線段；z: 表示當(dāng)前位置；n：表示遞歸深度；A：表示狀態(tài)方向；+：表示沿當(dāng)前方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角度；-：表示沿當(dāng)前方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角度；[：表示進(jìn)棧，保存當(dāng)前狀態(tài)；]：表示出棧，退出當(dāng)前狀態(tài)，即恢復(fù)原來狀態(tài)；[ ]: 用來畫樹木的一個(gè)樹枝，產(chǎn)生進(jìn)棧和出棧操作。

(3)給定一個(gè)初始串，即初始狀態(tài)，記為W。記生成規(guī)則為p，將p多次作用到W上，按照替換原則產(chǎn)生較長(zhǎng)的命令串，進(jìn)行圖形的繪制。

2.2 迭代函數(shù)系統(tǒng)

迭代函數(shù)系統(tǒng)[11]是利用仿射變換(生成元)實(shí)現(xiàn)樹木整體和局部相似的特性，一般為壓縮放射變換，在重復(fù)迭代中可以旋轉(zhuǎn)，放大，縮小，保持形狀。常用來刻畫樹木的葉片和桿莖，描述樹木的紋理結(jié)構(gòu)。仿射變換一般為：

式子(3)中參數(shù)均為實(shí)數(shù)，對(duì)固定的樹木而言，可以選擇同一仿射變換，也可以選擇不同的仿射變換。通常是按照一定的概率將樹木整體形態(tài)以不同的仿射變換不斷地迭代下去(變換的概率之和為1)，進(jìn)行樹木形態(tài)的描述。

3 改 進(jìn)

L系統(tǒng)模擬樹木的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，生成樹干，樹枝；迭代函數(shù)系統(tǒng)模擬樹木紋理結(jié)構(gòu)，刻畫樹木葉片。將兩種方法相結(jié)合，可以描繪出一幅完整生動(dòng)的樹木生長(zhǎng)圖。

但是不論是L系統(tǒng)，還是迭代函數(shù)系統(tǒng)，若不改變生成元，那么生成的樹木將會(huì)呈現(xiàn)一樣的形態(tài)，呆板而又單一，毫無生機(jī)，不自然也不真實(shí)。同時(shí)考慮到氣候、溫度、陽光和風(fēng)向等因素對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)的影響，這樣得到的圖形也不符合樹木的生長(zhǎng)規(guī)律。所以需要在以下影響樹木形態(tài)的5個(gè)重要方面引入隨機(jī)因子，改變生成元，從而實(shí)現(xiàn)形象逼真的樹木形態(tài)。

(1) 控制生成規(guī)則和仿射變換

方法是由隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)來決定新樹枝的生成規(guī)則和仿射變換，如選取隨機(jī)數(shù)c=rand(1)，這樣得到的樹木形態(tài)更加生動(dòng)逼真，貼近實(shí)際。

(2) 控制樹木初始角度

樹木的形態(tài)與初始角度有關(guān)，可以引入隨機(jī)因子進(jìn)行控制，如選取初始角度為A=20+rand*70等。

(3) 控制樹木主干與枝干的夾角

樹木主干與枝干的夾角影響樹木的形態(tài)，可以引入隨機(jī)因子進(jìn)行控制，如選取樹木主干與枝干的夾角為a=rand*70等。

(4) 控制樹枝的粗細(xì)

由于樹枝主干線條比側(cè)枝的線條粗一些，所以粗細(xì)不是固定的，需要進(jìn)行遞減，如選取粗細(xì)為w=w-(1+rand*3)等，w為樹木主干的粗度。

(5) 控制樹枝的長(zhǎng)度

同樹枝的粗細(xì)一樣，樹枝的長(zhǎng)度也是遞減的，同時(shí)引入隨機(jī)因子，如選取長(zhǎng)度為L(zhǎng)=L-(2+rand*4)等，L為樹木主干的長(zhǎng)度。

4 Matlab算法流程，應(yīng)用及實(shí)現(xiàn)

4.1 Matlab算法流程

圖 2 流程圖

4.2 應(yīng)用及實(shí)現(xiàn)

4.2.1 樹木形態(tài)初始信息提取(以楓樹為例) 楓樹在晉中盆地隨處可見，有很強(qiáng)的觀賞性，尤其是深秋時(shí)，景色極其美麗。因此在虛擬場(chǎng)景中經(jīng)常需要對(duì)楓樹進(jìn)行可視化研究。楓樹是合軸樹木，不像楊樹[3]等單軸樹木，有明顯的主干，它具有復(fù)雜的形態(tài)，并且它的樹葉很特別。通過查找資料[12]，對(duì)楓樹形態(tài)進(jìn)行觀察和分析，得到楓樹具體的形態(tài)特征：

（1）關(guān)于枝干方面楓樹為高大喬木，可高達(dá)24 m以上，冠幅可達(dá)16 m。楓樹整個(gè)樹冠呈開張狀，樹木頂芽生長(zhǎng)到一定階段后被側(cè)芽取代，接在主軸上，分叉的角度一般為45°左右。抽象出初始信息，其中初始角度為A=pi/2，樹木主干與枝干的夾角為a=pi/4，生成規(guī)則為：F[+F][-F]F[+F][-F]。當(dāng)遞推深度=4時(shí)，用Matlab軟件編程，得到楓樹圖，見圖3。

（2）關(guān)于樹葉方面楓樹葉片呈手掌型，并且是對(duì)生的，即枝條在每一節(jié)上一次生長(zhǎng)出一雙葉子，并且下一節(jié)對(duì)生的兩個(gè)葉子與上一節(jié)的兩個(gè)葉子有一定的角度，便于陽光的吸收，利于植物生長(zhǎng)。抽象出初始信息后，我們需要通過求解6個(gè)方程得到仿射變換的6個(gè)未知數(shù)。取一片楓葉，按比例繪制圖形，在原圖中選擇3個(gè)點(diǎn)(1,1)，(2,2)，(3,3)，在作放射變換后，選擇子圖中對(duì)應(yīng)的3個(gè)點(diǎn)(1′,1′)，(2′,2′)，(3′,3′)，代入放射變換公式中，得到6個(gè)方程。通過求解下面兩個(gè)方程組，即可得到仿射變換的6個(gè)未知數(shù),,,,，為仿射變換的系數(shù)。

表 1 楓葉仿射變換的系數(shù)表

計(jì)算四組參數(shù)所占的概率。概率描述的是變換子圖的面積在原圖中所占的比例，計(jì)算公式為：

將表1中數(shù)據(jù)代入公式(7)依次得到相應(yīng)的概率分別為0.13，0.28，0.26，0.33。當(dāng)?shù)螖?shù)為N=100000，用Matlab軟件編程得到楓樹葉，如圖4。

圖 4 楓樹葉

4.2.2 改進(jìn)及實(shí)現(xiàn)上面得到的楓樹形態(tài)呆板而又單一，毫無生機(jī)，不自然也不真實(shí)，不符合楓樹生長(zhǎng)規(guī)律。現(xiàn)引入隨機(jī)因子，服從均勻分布，取楓樹主干與枝干的夾角為a= rand* pi/4，初始角度為A = pi/8+rand*3*pi/8，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=L-(2+rand*4)，選取粗細(xì)為w=w-(1+rand*3)。選擇三種不同的生成方式分別為：p1= ‘F[+F][-F]F[+F][-F]’；p2='F[+F]F[-F[+F]]'; p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]'。取隨機(jī)數(shù)c=rand(1)，根據(jù)c的不同從而選擇不同的生成方式。當(dāng)>=0.8時(shí)，選擇p1；當(dāng)0.8>>=0.3時(shí)，選擇p2；當(dāng)<0.3時(shí)，選擇p3，并且將L系統(tǒng)的遞推深度和迭代系統(tǒng)的迭代次數(shù)N分別取為=6，=1000。

由于隨機(jī)性，每次運(yùn)行Matlab程序生成楓樹的形態(tài)是不一樣的。所以在操作過程中可以通過調(diào)整隨機(jī)數(shù)的范圍和生成規(guī)則，模擬自然界中楓樹形態(tài)各異的生長(zhǎng)狀態(tài)。如圖5,6,7,8。其中圖5為靜止時(shí)的楓樹狀態(tài)，圖6，圖7和圖8為楓樹隨風(fēng)搖曳的形態(tài)，圖6為楓樹隨風(fēng)向右搖擺，圖7為楓樹隨風(fēng)向左搖擺，圖8為楓樹隨風(fēng)左右搖擺。

圖 5 楓樹靜止時(shí)的形態(tài)

圖 6 楓樹向右搖擺的形態(tài)

圖 7 楓樹向左搖擺的形態(tài)

圖 8 楓樹左右搖擺的形態(tài)

5 結(jié) 語

考慮到樹木拓?fù)湫螒B(tài)結(jié)構(gòu)中整體與局部的相似性，本文采用分形L系統(tǒng)和迭代函數(shù)系統(tǒng)相結(jié)合的方法，并且在生成規(guī)則和仿射變換、樹木初始角度、樹木主干與枝干的夾角、樹枝的粗細(xì)和長(zhǎng)度等方面分別引入隨機(jī)因子，借助Matlab軟件進(jìn)行編程，對(duì)楓樹的不同形態(tài)進(jìn)行了生動(dòng)逼真的描述。

此方法具有廣泛的應(yīng)用，可以用來模擬不同樹木，植物的生長(zhǎng)形態(tài)，有很好的視覺效果，是虛擬農(nóng)業(yè)研究、虛擬場(chǎng)景、景觀設(shè)計(jì)、動(dòng)畫制作等方面的重要組成部分。此方法在農(nóng)業(yè)中可以形象地模擬植物的形態(tài)，是計(jì)算機(jī)和農(nóng)業(yè)相結(jié)合的一個(gè)領(lǐng)域。與傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)相比，此技術(shù)既直觀形象，又節(jié)省大量人力和物力。

本文還可以在此基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的研究：(1)對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)進(jìn)行三維模擬；(2)對(duì)樹木生長(zhǎng)形態(tài)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬；(3)可以對(duì)樹木群落進(jìn)行模擬，不僅限于一棵樹。

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Study on Visualization of Maple Tree Based on Random Fractal

LIU Juan1, HU Jie2*, ZHANG Quan-yi1, ZHAO Qing3, LI Fu-zhong2*

1.030801,2.030801,3.030801,

In order to give full play to the forest benefits and improve the forest management effect, it is necessary to simulate the forms of different tree growth processes and establish the corresponding visualization system, so as to find the tree growth rules and guide the practice. This paper first introduces two kinds of fractal methods of virtual single tree: L system and iterative function system. On this basis, taking into account the influence of climate, temperature, sunlight and wind direction on the growth morphology of trees. Random factors are introduced in five aspects, including generation rule and affine transformation, initial angle of tree, angle between tree trunk and branch, thickness and length of branch, respectively. Matlab software was used to draw the different forms of maple. This method can be extended to the virtual forms of different plants, etc., and has been widely used in virtual agriculture research, virtual scenes, landscape design, animation production and so on.

Random fractal; virtual tree patterns; visualization

S757

A

1000-2324(2020)03-0495-05

10.3969/j.issn.1000-2324.2020.03.020

2019-01-02

2019-05-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(31501876);國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(31872336);山西省科技廳面上青年基金項(xiàng)目(201601D021122);山西農(nóng)業(yè)大學(xué)科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目(2017005,2017019)

劉娟(1988–),女,碩士,講師,研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué). E-mail:liujuannk@163.com

Author for correspondence. E-mail:17835425155@163.com; sxaulfz@126.com