規(guī)范答題，提升學(xué)生解題能力

顧金鶴

[摘? 要] 高中學(xué)生在解題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)因看錯已知條件，或錯誤理解相關(guān)條件，甚至胡亂解答試題的問題，教師為學(xué)生粗心大意導(dǎo)致的解答不規(guī)范丟分而扼腕嘆息. 殊不知，學(xué)生能否有規(guī)范作答的意識往往折射出他們的解題能力，也直接影響到最后的成績.教師應(yīng)從規(guī)范審題、規(guī)范答題多方面分析錯因、尋找策略，讓學(xué)生養(yǎng)成好的答題習(xí)慣，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);規(guī)范;習(xí)慣;策略;解題能力

作為高中數(shù)學(xué)教師，在批改學(xué)生作業(yè)或試卷時(shí)，我們常常會為學(xué)生看錯條件、誤解已知、胡亂解題而頭疼，為他們最后結(jié)果正確但過程書寫不規(guī)范而被扣分感到難過. 學(xué)生有無規(guī)范解題習(xí)慣在很多時(shí)候體現(xiàn)他們的解題能力，同時(shí)也會直接關(guān)系到他們成績的好壞. 那么怎樣培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范答題，提升解題能力呢？

規(guī)范審題

審題是解決問題的第一步.經(jīng)由教師提醒，學(xué)生便會解決問題. 而自己獨(dú)立完成時(shí)卻有困難，這是缺乏讀題、審題能力的體現(xiàn). 因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生在審題時(shí)注意以下幾點(diǎn)：

1. 正確找出條件和結(jié)論

命題一般都是由條件和結(jié)論兩方面構(gòu)成的. 以高中生對語言理解的水平，一般都可以正確找出已知條件和要解決的結(jié)論. 但事實(shí)上，在審題時(shí)學(xué)生看到類似的題目，覺得自己已經(jīng)做過多遍了，常不再認(rèn)真審題，憑借自己的經(jīng)驗(yàn)，想當(dāng)然地解決問題，殊不知條件已有改變，或者結(jié)論已有所不同. 例如：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1，求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.學(xué)生做多了等差、等比數(shù)列，覺得Sn=2n+1與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和比較相似，就默認(rèn)此數(shù)列是等比數(shù)列，于是取a1，a2兩特殊項(xiàng)求通項(xiàng)，這便錯了. 因?yàn)榇祟}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列. 因此，要提醒學(xué)生面對任何題目，不管熟悉的還是不熟悉的都需認(rèn)真審題，正確找出題目的條件和結(jié)論.

2. 借助圖形，理解題意？

柏拉圖曾說過：任何學(xué)科都只有建立在幾何學(xué)帶來的概念和模式上，才可以解釋它們表現(xiàn)出來的現(xiàn)象背后的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，因?yàn)橹挥袛?shù)學(xué)存在的實(shí)體才具備永恒的可理解性.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想很重要，有時(shí)只有借助圖形，才能更好地理解題意.例如：若以橢圓+=1的兩個(gè)頂點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線過此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生解答：-=1或-=1. 問其原因說：以橢圓的左、右頂點(diǎn)（-4，0）、（4，0）為焦點(diǎn)，得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：-=1;當(dāng)以橢圓的上、下頂點(diǎn)（0，-3）、（0，3）為焦點(diǎn)時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，就得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：-=1.顯然第二種情況學(xué)生沒有計(jì)算，而是想當(dāng)然得到的結(jié)論. 因?yàn)椋祟}如果我們根據(jù)題意畫圖，過橢圓焦點(diǎn)的雙曲線就只有以橢圓的左、右頂點(diǎn)為雙曲線焦點(diǎn)一種情況，避免想當(dāng)然的結(jié)論.

3. 正確找出等價(jià)轉(zhuǎn)化條件

所謂等價(jià)轉(zhuǎn)化就是把我們不熟悉的、比較復(fù)雜的問題，在形式或內(nèi)容上分解成若干個(gè)熟悉的、簡單的問題. 可以使問題的難點(diǎn)分散，逐步攻破. 因而，在審題過程中，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有意識地尋找轉(zhuǎn)化的切口點(diǎn). 提高了學(xué)生問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，就有利于提升解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，進(jìn)而提高規(guī)范解題能力.例如：已知動點(diǎn)P（x，y）在橢圓C：+=1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），=1，且·=0，求的最小值. 分析：=1等價(jià)轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)M的軌跡是以A為圓心、1為半徑的圓，·=0得直線PM與AM垂直，即直線PM是圓A的切線. 求的最小值轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)P到圓A上切線長最短，再轉(zhuǎn)化為橢圓上點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離的最小值. 此題由橢圓、向量的綜合題最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題，這樣的轉(zhuǎn)化使問題變得易于理解，或者說找到了問題的本質(zhì).

又如≥0轉(zhuǎn)化為（x-2）（x+1）≥0就不等價(jià)，還需注意分式成立的條件，分母不等于零，即（x-2）（x+1）≥0，x+1≠0.因此在等價(jià)轉(zhuǎn)化過程中，注意條件不能擴(kuò)大或縮小.

4. 挖掘題中隱藏條件

所謂隱藏條件就是指不能直接看出來，但又會影響解題的條件. 隱藏條件與定義、性質(zhì)、圖形位置、知識之間的聯(lián)系等等有關(guān). 教學(xué)中注意對定義、性質(zhì)的深入理解. 隱藏條件的多少、程度深淺影響問題的難易程度. 例如：雙曲線-=1（a>0，b>0）的右支上有一點(diǎn)P，雙曲線兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2， PF1=4PF2，求雙曲線離心率的取值范圍. 根據(jù)PF1+PF2≥F1F1，可以得到離心率e≤，本題中隱藏了雙曲線離心率本身的取值范圍e>1，所以此題正確答案為1

又如：已知橢圓+=1（a>2）的離心率為e，它的上、下焦點(diǎn)分別為F1和F2，過點(diǎn)（0，2）且不與y軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF2為等腰直角三角形，求離心率e. 此題屬于中檔題，隱藏著橢圓中a2，b2，c2之間的關(guān)系. 由題意可以得到c2=a2-（a2-4）=4，點(diǎn)（0，2）正好是橢圓的上焦點(diǎn)，△MNF2是過了兩焦點(diǎn)的三角形，可以利用橢圓的定義、勾股定理解決隱藏條件會影響結(jié)果的范圍、取舍，會增加解題的條件，解題時(shí)要關(guān)注涉及的知識點(diǎn)、思想方法所可能隱藏的條件.

5. 根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)，猜想解題的思路

不同的數(shù)學(xué)題型考查學(xué)生不同的能力，不同階段的數(shù)學(xué)知識對應(yīng)不同的解題思路、方法. 在教學(xué)中注意歸納數(shù)學(xué)題型、方法，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)，確定解題思路、方法，將會事半功倍. 例如：已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a+2an=4Sn+3. （1）求{an}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 此題中a+2an=4Sn+3①，此等式是典型的an，Sn混合式，消Sn. 當(dāng)n≥2時(shí)，a+2an-1=4Sn-1+3②，①-②可解得an. 看到b=結(jié)構(gòu)可以猜想{an}的通項(xiàng)一定是等差數(shù)列模型，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn一定可以通過裂項(xiàng)求和. 這樣解題思路就很清晰，只要學(xué)生計(jì)算不出錯，解答基本沒有問題.

規(guī)范答題

學(xué)會規(guī)范審題，不等于就能正確解題. 我們經(jīng)?？吹綄W(xué)生的估分與實(shí)際得分經(jīng)常會有很大的差距，這就是常說的“會做不等于做對，會做不等于不失分”. 當(dāng)學(xué)生能正確審題并得到解題思路，算出正確結(jié)果時(shí)，但由于答題不規(guī)范、邏輯思維不嚴(yán)密、書寫不清楚等等一些原因都會造成失分.

例如：p：2-a≤x≤2+a（a>0）;q：（x+3）（x-2）≤0. 若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 學(xué)生答案：因?yàn)閜：[2-a，2+a]，q：[-3，2]，又因?yàn)閝是p的充分不必要條件，所以q是p的真子集，2-a≤-3，2+a≥2，得a≥5.學(xué)生思路、最后a的取值范圍都是正確的，但是過程不規(guī)范. p，q是表示命題，用“q是p的真子集”就不嚴(yán)謹(jǐn). 可以改成這樣寫：p：A=[2-a，2+a]，q：B=[-3，2]，又因?yàn)閝是p的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集. 2-a≤-3，2+a≥2，或者2-a<-3，2+a≥2，得a≥5.

又如：已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，a-（2an+1-1）an-2an+1=0，求{an}的通項(xiàng)公式. 學(xué)生答案：當(dāng)n=1時(shí)，a-（2a2-1）a1-2a2=0，得a2=;同理，當(dāng)n=2時(shí)，得a3=. 因?yàn)?，=，所以{an}是公比為的等比數(shù)列. 這是對等比數(shù)列的定義理解不透. 等比數(shù)列是從第2項(xiàng)開始，它的后一項(xiàng)比上它的前一項(xiàng)，結(jié)果是同一個(gè)常數(shù). 也就是說第2項(xiàng)后的任何一項(xiàng)都需滿足這種關(guān)系. 前三項(xiàng)a1，a2，a3滿足這種關(guān)系，不能代表整個(gè)數(shù)列滿足同種關(guān)系. 因此這種由特殊代替一般是不成立的.

針對這些問題，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該重視概念的教學(xué)，概念是解決任何問題的基礎(chǔ)，只有正確理解概念、定義，才能最終解決問題. 其次，教師的板演要規(guī)范，板演給學(xué)生起到模仿的作用.同時(shí)，在板演的過程中，用紅筆提醒注意點(diǎn)，促使學(xué)生養(yǎng)成良好習(xí)慣. 再次，平時(shí)作業(yè)、試卷中典型的錯例，展現(xiàn)給學(xué)生看，指出哪些寫法看似正確，實(shí)則問題在哪里. 提醒學(xué)生引以為戒，借別人的錯誤來提醒自己，自己少走彎路. 最后，學(xué)會總結(jié)反思，同一個(gè)知識點(diǎn)、同一種解題思路不能重復(fù)犯錯. 每題三問，此題的關(guān)鍵在哪里？曾經(jīng)犯了哪些錯誤？是否有規(guī)律，能否推廣成一類題？這樣，日積月累，學(xué)生的答題會趨于規(guī)范，做到“會做就做對，會做就不失分”，由此真正提高學(xué)生的解題能力.