在例題中淺談“面積法”

李勁松

摘? 要：利用圖形面積自身相等的性質(zhì)、圖形可拆分性質(zhì)進(jìn)行解題的方法叫做“面積法”，在中學(xué)階段是一種常用的方法，具有解題便捷快速、簡(jiǎn)單易懂的特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：面積法;線段相等;可拆分性

所謂巧用三角形面積法解題就是利用幾何圖形中邊、角與面積之間的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)手段來(lái)完成幾何中的推理過(guò)程，用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡(jiǎn)潔，易于接受和掌握。可以用來(lái)證明諸如線段相等，角相等，求線段的長(zhǎng)，圖形的面積等等。下面淺談幾種方面的例題選取。

一、用面積法求線段的長(zhǎng)：

例1：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD⊥AC于點(diǎn)D。求BD的長(zhǎng)。

解析：先利用勾股定理求出 ，再利用三角形的面積得： ，可求出 。

例2：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，BD平分∠ABC，求CD的長(zhǎng)。

解析：過(guò)點(diǎn)D分別向AB、BC作垂線，則四邊形BEDF是正方形，設(shè)DE=? ，利用三角形的面積可拆分性， ，可以列出方程： ，求出DE，最后用勾股定理易求出BD的長(zhǎng)。

總結(jié)：這種利用圖形面積自身相等的性質(zhì)、圖形可拆分性質(zhì)進(jìn)行解題的方法叫做“面積法”，在中學(xué)階段是一種常用的方法，具有解題便捷快速、簡(jiǎn)單易懂的特點(diǎn)。

二、用面積法證明線段相等。

例3：已知：如圖3，AD是△ABC的中線，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E。求證：CF=BE。

解析：連接CE，因?yàn)椋?/p>

所以：

即：BE=CF

三、用面積法證明線段和差相等。

例4：如圖4，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)部一點(diǎn)，過(guò)P作PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，△ABC的高為h，試說(shuō)明PD+PE+PF=h.

解析：連接AP、CP、BP，利用面積可拆分性質(zhì)有：

得出：PD+PE+PF=h.

例5：如圖5，P是等腰三角形ABC底邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AB于E、PF⊥AC于F，BH是等腰三角形ABC的邊AC上的高。試猜想線段PH和PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

解析：連接AP，利用三角形面積可拆分性質(zhì)有： ，

所以：

即：BH=PE+PF

例6、如圖6，E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，且BE=ED，P是對(duì)角線上任一點(diǎn)，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分別為點(diǎn)F、G。試證明PF+PG=AB。

解析：連接PE，

因?yàn)椋?/p>

所以：

則可得出：PF+PG=AB

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，面積法有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，利用面積法往往能化難為易，化繁為簡(jiǎn)。在教學(xué)中適當(dāng)?shù)臐B透給學(xué)生這方面的數(shù)學(xué)思想，講解幾道例題，能有效提升學(xué)生綜合能力，豐富解題手段，使學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力得到一定提高。

參考文獻(xiàn)

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[2]? 蔡建華.拓展教學(xué)空間 促進(jìn)思維生長(zhǎng)[J].江蘇教育，2015（33）：71-72.