不可分小波構(gòu)造及其在圖像水印中的應(yīng)用

劉斌 熊靜雯

摘? 要： 針對(duì)張量積小波數(shù)字圖像水印算法在幾何攻擊下魯棒性較差的問題，提出一種將不可分小波、奇異值分解以及Arnold置亂變換相結(jié)合的數(shù)字圖像水印算法。該算法首先構(gòu)造了二維不可分小波濾波器組，其次對(duì)水印圖像進(jìn)行Arnold置亂變換，對(duì)原始圖像用不可分小波進(jìn)行多尺度分析，然后分別對(duì)其低頻部分和置亂后的水印進(jìn)行奇異值分解，最后在兩者的奇異值矩陣中嵌入水印。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能實(shí)現(xiàn)水印的嵌入和準(zhǔn)確提取，并且水印的不可見性好，與張量積小波相比，該方法在對(duì)濾波、噪聲、剪切、旋轉(zhuǎn)、加噪的攻擊下，魯棒性較強(qiáng)。

關(guān)鍵詞： 圖像水印; 不可分小波; 奇異值分解; 多尺度分析; 水印嵌入; 版權(quán)保護(hù)

中圖分類號(hào)： TN918?34; TP391? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2020）11?0087?05

Non?separable wavelet construction and its application in image watermarking

LIU Bin， XIONG Jingwen

（School of Computer Science and Information Engineering， Hubei University， Wuhan 430062， China）

Abstract： In view of the poor robustness of tensor product wavelet digital image watermarking algorithm under the geometric attack， a digital image watermarking algorithm in combination with the non?separable wavelet， singular value decomposition （SVD） and Arnold scrambling transform is proposed. In the algorithm， a filter bank of two?dimensional non?separable wavelet is constructed first. And then， the watermarking image is subjected to the Arnold scrambling transform， and the non?separable wavelet is used to perform multi?scale analysis on the original image. The low?frequency part and the scrambled watermarking are subjected to the SVD. In the end， the watermarking is embedded in the singular value matrix of the two. The experimental results show that the algorithm can accurately embed and extract watermark， which is of good invisibility performance. In comparison with the tensor product wavelet， the proposed method is of better robustness under the attack of filtering， noise， shearing， rotation and noise adding.

Keywords： image watermarking; non?separable wavelet; SVD; multi?scale analysis; watermarking embedment; copyright protection

0? 引? 言

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字多媒體與人們的生活已經(jīng)息息相關(guān)，人們能夠很容易地將信息進(jìn)行復(fù)制、存儲(chǔ)、修改與轉(zhuǎn)發(fā)等，正是因?yàn)檫@個(gè)原因使得信息也很容易以非法途徑傳播。因此，針對(duì)數(shù)字信息的版權(quán)保護(hù)等問題，數(shù)字圖像水印技術(shù)等被提出。

數(shù)字水印技術(shù)是將一些標(biāo)識(shí)信息（如文本、圖像及標(biāo)識(shí)符等）通過某種方式嵌入數(shù)字載體（語音、圖像及視頻等）中，但不影響原載體的使用價(jià)值，同時(shí)，嵌入的信息不易被人眼所感知，且能夠通過其隱藏的水印信息實(shí)現(xiàn)內(nèi)容認(rèn)證、版權(quán)保護(hù)以及信息隱秘傳輸?shù)?，其中用于版?quán)保護(hù)是目前一個(gè)非常重要的研究方向。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)其進(jìn)行了大量研究，常見的大多分為兩類：一種是空間域算法，典型的有LSB算法，這種算法雖然實(shí)現(xiàn)起來簡(jiǎn)單，但是極易受到攻擊，例如，加噪和壓縮都能使水印失效;另一種是變換域算法，典型的有基于離散小波變換（DWT）[1?2]的水印算法和離散余弦變換（DCT）[3?4]的水印算法，前者擁有多尺度分析的特點(diǎn)，可以抵抗加噪、壓縮等攻擊，但因?yàn)槎S張量積小波是由一維小波通過張量積生成的，存在著方向上信息提取不足的缺陷。后者的主要思想是通過分塊進(jìn)行DCT將水印嵌入，能抵抗一部分攻擊，但在受到旋轉(zhuǎn)時(shí)水印信息損失較為嚴(yán)重。

文獻(xiàn)[1]是將宿主圖像進(jìn)行張量積小波分解，得到低頻子圖并對(duì)其進(jìn)行分塊，對(duì)每一塊做SVD變換得到[U]，[S]，[V]，將置亂后的水印以一定的強(qiáng)度多次重復(fù)地嵌入[S]中，并對(duì)其再次進(jìn)行SVD變換得到[U1]，[S1]，[V1]，最后用[U]，[S]，[V]做逆奇異值變換等處理得到含水印圖像，該算法對(duì)于剪切、噪聲、濾波、壓縮都有較好的抵抗力，但是對(duì)于質(zhì)量因子為4以下的壓縮攻擊魯棒性較差。文獻(xiàn)[2]采用將彩色RGB的宿主圖像轉(zhuǎn)換到Lab彩色空間，在其亮度分量[L]上進(jìn)行張量積小波分解，得到1個(gè)低頻和3個(gè)高頻分量，分別對(duì)其和水印圖像做SVD變換得到相應(yīng)的[S]，然后用加性原則以不同的強(qiáng)度將水印的奇異值矩陣[S]嵌入到其余的奇異值矩陣中，最后做相應(yīng)的逆變換得到嵌入水印的圖像。文獻(xiàn)[3]首先把宿主圖像變換為整數(shù)DCT域，將系數(shù)劃分為非重疊的塊，利用非線性混沌映射完成塊的選擇，然后用所選擇的塊構(gòu)造循環(huán)矩陣，最后用循環(huán)矩陣計(jì)算奇異值將水印嵌入。文獻(xiàn)[4]采取對(duì)水印圖像做置亂變換，將宿主圖像分為8×8的子塊，對(duì)每個(gè)子塊進(jìn)行DCT變換，選擇每一個(gè)子塊的中頻系數(shù)，與在Zig?Zag排序中相鄰的6個(gè)系數(shù)的平均值做比較，以相應(yīng)的公式嵌入中頻系數(shù)上，最后對(duì)每個(gè)子塊做DCT反變換得到水印圖像，該算法魯棒性較好，但是對(duì)于旋轉(zhuǎn)抗攻擊效果較差。文獻(xiàn)[5]選取宿主圖像DWT分解后的LH和HL子圖，然后將其8×8分塊做DCT變換，對(duì)AC分量根據(jù)Zig?Zag排序選取系數(shù)放到矩陣[A]中，再對(duì)[A]進(jìn)行SVD奇異值變換得到[S]，在[S]上以加性原則嵌入水印，最后做相應(yīng)的逆變換得到含水印圖像，該算法矯正了幾何攻擊使其對(duì)幾何攻擊有較好的抵抗力。文獻(xiàn)[6]在嵌入水印時(shí)結(jié)合了DWT，DCT和SVD，該算法在確保水印抗噪聲和濾波攻擊的同時(shí)也提高了抗旋轉(zhuǎn)、剪切攻擊的能力。文獻(xiàn)[7]采取SSVD和DWT結(jié)合的數(shù)字水印算法，先對(duì)水印圖像進(jìn)行SSVD以提取其主分量，然后對(duì)宿主圖像進(jìn)行一級(jí)DWT變換，取其低頻分塊進(jìn)行SVD，將水印主成分以加性嵌入原則嵌入其奇異值矩陣的最大值位置，該算法對(duì)于剪切攻擊的魯棒性較差。

目前還沒有人將二維不可分小波用于數(shù)字圖像水印，因此結(jié)合上述各種技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，本文針對(duì)于大多數(shù)算法抗旋轉(zhuǎn)能力較差的特點(diǎn)，提出了將不可分小波、奇異值分解和Arnold置亂變換相結(jié)合的水印算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在濾波、壓縮、剪切、噪聲，特別是旋轉(zhuǎn)攻擊都具有更好的抵抗力。

1? 二維不可分小波變換

目前二維小波變換可以分為兩種：一種是張量積小波變換;另外一種是不可分小波變換[8]。前者由一維小波通過張量積生成，即使二維張量積小波延續(xù)了其部分良好特性，但其對(duì)圖像的處理依然存在著一些不足和缺陷。例如，大部分的二維張量積小波基的緊支撐正交的性質(zhì)是以舍棄其對(duì)稱性作為代價(jià)換來的，正是因?yàn)槠洳痪邆鋵?duì)稱的特性，使得圖像分解得到的各個(gè)子圖會(huì)存在相位失真，并且這種相位失真將無法避免地產(chǎn)生圖像細(xì)節(jié)信息上的失真，與此同時(shí)，二維張量積小波變換只強(qiáng)調(diào)垂直、水平以及對(duì)角線方向上的信息，不具備各向同性，導(dǎo)致其不能捕獲各個(gè)方向上的奇異性。故本文選用二維小波變換中具備各向同性的不可分小波變換，以捕獲所有方向上的奇異性。

因?yàn)镈aubechies[9]證實(shí)了小波分解的實(shí)現(xiàn)是用信號(hào)或圖像和離散濾波器進(jìn)行卷積完成的，所以利用小波對(duì)圖像進(jìn)行處理的核心問題就是小波低通濾波器和高通濾波器的構(gòu)造。Chen等是將MRA作為基礎(chǔ)，采取的方法是矩陣擴(kuò)充，提出了一種高維不可分小波濾波器組的一般構(gòu)造方法[10]，其在理論上來說可以構(gòu)造出無數(shù)組濾波器。本文在此基礎(chǔ)上給出二維不可分小波濾波器組的具體構(gòu)造形式。

二維不可分小波變換可以由二維不可分濾波器組實(shí)現(xiàn)。設(shè)不可分小波變換過程中的抽樣矩陣[S=][2002]，不可分小波濾波器組為[mj（x，y）]，[j=0，1，2，3]，則具有緊支撐、正交性、對(duì)稱性的二維四通道不可分濾波器組的形式可構(gòu)造[11]如下：

[（m0（x，y），m1（x，y），m2（x，y），m3（x，y））=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 14（1，x，y，xy）j=1k（UjD（x2，y2）UTj）V] （1）

式中：[m0（x，y）]，[m1（x，y）]，[m2（x，y）]，[m3（x，y）]分別為濾波器[H0]，[H1]，[H2]，[H3]所對(duì)應(yīng)的頻域形式。設(shè)[x=e-iω1]，[y=e-iω2]，[Ujj=1，2，…，k]為正交對(duì)稱陣，[D（x，y）=Diag（1，x，y，xy）]，[V2=（V0，V1，V2，V3）2]為正交陣，[V1，V2，V3]為[4×1]向量，[V0=（1，1，1，1）T]。為得到[6×6]具有對(duì)稱性不可分小波濾波器組，取[k=2]，構(gòu)造：

[V=1-11-1111111-1-11-1-11]，取[P=10100101010-110-10]，[Aj=cos αj-sin αj00sin αjcos αj0000cos? βj-sin? βj00sin? βjcos? βj][j=1，2，…，k]。按[Uj=12×P×Aj×PT]構(gòu)造[Ujj=1，2，…，k]，可以驗(yàn)證[Ujαj，βj]是中心對(duì)稱正交陣，[V2]是酉矩陣。在此方法中，[αj，βj]的不同取值可以得到不同的具有正交、緊支撐且對(duì)稱的濾波器組[H0]，[H1]，[H2]，[H3]，其中，[H0]為低通濾波器，[H1]，[H2]，[H3]為高通濾波器。這里給出[α1=π7]，[β1=π]，[α2=π12]，[β2=π24]時(shí)的一組濾波器在時(shí)域下的形式：

很顯然，它們是不可分的，即不能被分解為兩個(gè)一維小波濾波器的張量積，且具有對(duì)稱的性質(zhì)（關(guān)于濾波器中心對(duì)稱或者反對(duì)稱）、緊支撐的性質(zhì)，也可以驗(yàn)證得知它具有正交性，是一組能夠完全重構(gòu)濾波器。

2? 基于不可分小波變換的水印算法

為了增強(qiáng)數(shù)字圖像水印對(duì)各種攻擊的抵抗效果，本文算法先將水印圖像進(jìn)行Arnold變換[12]和SVD分解[13]。選擇宿主圖像進(jìn)行多尺度不可分小波后的低頻部分進(jìn)行SVD分解，在其奇異值矩陣上嵌入水印。通過其嵌入過程的逆過程可以提取出水印。

2.1? 水印的嵌入過程

設(shè)待嵌入水印的宿主圖像[I]的大小為[M×N]，原始水印圖像[W]的大小為[m×n]。

1） 對(duì)原始水印圖像進(jìn)行Arnold置亂變換，得到置亂后的水印圖像[W]。

2） 對(duì)宿主圖像[I]用本文方法構(gòu)造的低高通濾波器進(jìn)行[n1]級(jí)不可分小波變換，得到[3n1+1]個(gè)子圖。

3） 將第[n1]級(jí)低頻子圖[LLn]作為嵌入水印的區(qū)域，對(duì)[W]以及[LLn]根據(jù)式（2）和式（3）做奇異值分解，得到奇異值矩陣[SW]和[SLLn]。

[SVD（LLn）=[ULLn? SLLn? VLLn] ] （2）

[SVD（W）=[UW? SW? VW] ] （3）

4） 使用加性原則在奇異值矩陣上嵌入水印得到[S′LLn]，嵌入的強(qiáng)度為[λ]，[λ]根據(jù)嵌入水印后圖片的魯棒性以及可視性而定。嵌入公式如下：

[S′LLn=SLLn+λSW] （4）

5） 用[S′LLn]根據(jù)式（5）進(jìn)行逆奇異值分解得到[LLn′]，最后對(duì)其進(jìn)行[n1]級(jí)不可分小波逆變換得到含水印的圖像[IW]。

[LLn′=ULLn×S′LLn×VTLLn] （5）

2.2? 水印的提取過程

1） 對(duì)宿主圖像[I]和含水印圖像[IW]用本文方法構(gòu)造的低高通濾波器進(jìn)行[n1]級(jí)不可分小波變換。

2） 分別對(duì)經(jīng)過不可分小波變換后的低頻子圖[LLn]和[LLn′]進(jìn)行SVD奇異值分解，得到[SLLn]和[S′LLn]。

3） 用式（6）進(jìn)行加性嵌入過程的逆過程，得到水印的奇異值矩陣[S′W]。

[S′W=（S′LLn-SLLn）λ] （6）

4） 用[S′W]進(jìn)行逆奇異值分解得到[W′r]，最后將[W′r]用相同的置亂次數(shù)進(jìn)行反Arnold置亂變換得到提取出的水印圖像[Wr]。

3? 仿真實(shí)驗(yàn)與測(cè)試

3.1? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

宿主圖像的大小是256×256的灰度Lena圖像和512×512的灰度Mandrill圖像，如圖1a）和圖2a）所示，水印圖像Word1和Word2為64×64的二值圖像如圖1b）和圖2b）所示，嵌入水印的圖像如圖1c）和圖2c）所示。在無攻擊時(shí)，對(duì)圖1c）和圖2c）做水印提取，提取出的水印與原始水印的NC均為1。

圖3a）～圖3k）前兩幅圖像是本文算法的攻擊后圖像以及提取水印圖像，后兩幅圖像是文獻(xiàn)[4]的攻擊后圖像以及提取水印圖像。

圖4a）～圖4n）前兩幅圖像是本文算法的攻擊后圖像以及提取水印圖像，后兩幅圖像是文獻(xiàn)[14]的攻擊后圖像以及提取水印圖像。

3.2? 測(cè)試指標(biāo)評(píng)價(jià)

為了驗(yàn)證魯棒性和不可見性的優(yōu)劣，則要討論含水印圖像的質(zhì)量即可見性和提取出水印與原始水印的相似度。其中，含水印圖像的質(zhì)量一般采用峰值信噪比PSNR來衡量嵌入水印的圖像與原始圖像之間的相似度[15]，通常PSNR越大，含水印圖像與原始圖像的差異就越小，含水印圖像的質(zhì)量越高，水印透明性就越好，且當(dāng)PSNR超過30 dB時(shí)，人眼基本不能分辨出兩幅圖像之間的差異。其公式如下：

[PSNR=10×logM×N×2552i=0M-1j=0N-1I（i，j）-Iw（i，j）2] （7）

對(duì)于提取水印與原始水印的相似性，一般采用歸一化相關(guān)系數(shù)NC來評(píng)價(jià)[16]。其中，NC越趨近于1，提取的水印與原水印越接近，表明水印效果越好。其計(jì)算公式如下：

[NC=i=0m-1j=0n-1W（i，j）×Wr（i，j）i=0m-1j=0n-1W2（i，j）×i=0m-1j=0n-1W2r（i，j）] （8）

表1列出了Mandrill圖像在本文算法和文獻(xiàn)[4]算法在不同攻擊下提取出水印和原始水印之間的NC值對(duì)比，表2列出了Lena圖像在本文算法和文獻(xiàn)[14]算法在不同攻擊下提取出水印和原始水印之間的NC值對(duì)比。

為了進(jìn)一步說明本文算法嵌入水印具有較強(qiáng)的魯棒性，將本文算法與文獻(xiàn)[4]算法進(jìn)行對(duì)比可知：用512×512的灰度級(jí)Mandrill圖像，用構(gòu)造的6×6不可分濾波器組進(jìn)行3層分解，水印圖像Word2的Arnold置亂次數(shù)為10，嵌入強(qiáng)度[λ]為7，嵌入水印后的圖像的PSNR為32.544。將本文算法與文獻(xiàn)[14]算法進(jìn)行對(duì)比可知：用256×256的灰度級(jí)Lena圖像，用構(gòu)造的6×6不可分濾波器組進(jìn)行2層分解，水印圖像Word1的Arnold置亂次數(shù)為10，嵌入強(qiáng)度[λ]為7，嵌入水印后的圖像的PSNR為37.349 4。為了對(duì)比的可行性和對(duì)等性，文獻(xiàn)[14]用db3作為小波基，嵌入強(qiáng)度為7。

根據(jù)表1和表2中數(shù)據(jù)以及圖3和圖4中受到攻擊后提出水印的效果，可以看到，文獻(xiàn)[4]對(duì)旋轉(zhuǎn)以及JPEG壓縮因子為3以下的攻擊抵抗力較差，文獻(xiàn)[14]在均值濾波、中值濾波、椒鹽噪聲、剪切以及旋轉(zhuǎn)180°的攻擊下魯棒性較差。而本文算法在大多數(shù)攻擊下的NC值都在0.9以上，特別是在旋轉(zhuǎn)攻擊的魯棒性上有了很大的提升。除此之外，本文算法在遭受其他攻擊時(shí)也明顯高于文獻(xiàn)[4，14]的NC值，因此可以說明，在抵抗以上攻擊時(shí)，本文算法的水印魯棒性強(qiáng)于文獻(xiàn)[4，14]中的算法。

4? 結(jié)? 論

本文通過分析現(xiàn)在已提出的數(shù)字水印的相關(guān)算法中存在的缺陷與問題，提出了不可分小波與SVD奇異值分解以及Arnold變換相結(jié)合的算法。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，該算法在遭受濾波、噪聲、旋轉(zhuǎn)、剪切、JPEG壓縮攻擊后所提取出的水印圖像具有較好的魯棒性，特別是在對(duì)于旋轉(zhuǎn)攻擊的抵抗力明顯強(qiáng)于文獻(xiàn)[4，14]算法，且其NC值大部分都在0.9以上。綜合實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法提高了水印在幾何攻擊下的魯棒性，且對(duì)其他攻擊也有較好的抵抗力，是一種行之有效的方法。

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