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    高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略

    2020-07-14 08:25:53梁貧
    廣西教育·B版 2020年3期
    關(guān)鍵詞:解題能力數(shù)形結(jié)合高中數(shù)學(xué)

    梁貧

    【摘 要】本文以直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)為支點(diǎn),解讀數(shù)形結(jié)合與解題能力的關(guān)系,論述利用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略:激發(fā)興趣、喚醒學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的關(guān)注;多元途徑、聚焦問題以提高解題能力。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解題能力 數(shù)形結(jié)合

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》(下文簡稱《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》)明確指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)”,換言之,高中數(shù)學(xué)解題能力培養(yǎng)的關(guān)鍵在于“數(shù)”“形”兩類要素及相互關(guān)系上。借助數(shù)形結(jié)合思想,不僅可以有效地構(gòu)建“數(shù)”和“形”的內(nèi)在聯(lián)系,而且能便捷地建立解決數(shù)學(xué)問題的直觀模型,從而降低問題理解難度、獲取問題解決方法。值得注意的是,解題能力不能等同于解題技巧,《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》在高中數(shù)學(xué)考核的命題原則中指出:“注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧,融入數(shù)學(xué)文化?!庇绕湓诟咧袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中,如果混淆解題能力和解題技巧的概念,那么容易將數(shù)形結(jié)合思想退化成數(shù)形結(jié)合工具。

    一、以直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)為支點(diǎn),數(shù)形結(jié)合與解題能力的關(guān)系解讀

    結(jié)合高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際,數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想,但大多數(shù)情況下,又被視為一種具體方法。換言之,數(shù)形結(jié)合的理論性、實(shí)踐性特征是高度融合的。這就要求教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)解題能力培養(yǎng)過程中,合理把握數(shù)形結(jié)合理論價(jià)值、實(shí)踐價(jià)值的平衡性,避免學(xué)生將其視為一種狹隘的解題工具?!稊?shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段”,同時又指出,要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng),數(shù)形結(jié)合是一種必然的渠道。以“形”的具象化功能,將“數(shù)”的關(guān)系表達(dá)出來,反之,利用“數(shù)”的抽象化功能,將“形”的關(guān)系進(jìn)行概括、簡化。據(jù)此可將直觀想象核心素養(yǎng)作為一個支點(diǎn),形成“數(shù)形結(jié)合(起點(diǎn))→直觀想象(支點(diǎn))→解題能力(終點(diǎn))”的邏輯思維模型。這樣,在以數(shù)形結(jié)合作為起點(diǎn)向直觀想象這一支點(diǎn)的發(fā)展過程中,就能有效地保證數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想的價(jià)值;并在進(jìn)一步向解題能力這一終點(diǎn)發(fā)展的過程中,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)方法的作用。

    二、以課堂教學(xué)模式為前提,利用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力的策略

    (一)激發(fā)興趣、喚醒學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的關(guān)注

    立足我國學(xué)校教育視閾之下,數(shù)學(xué)課程中采取數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行解題是一種常態(tài)。高中生可以持續(xù)初中階段數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用規(guī)律,自主進(jìn)行探索。但對于老師來說,在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要注意結(jié)合教材知識點(diǎn),創(chuàng)設(shè)豐富情境來激發(fā)學(xué)生興趣,進(jìn)一步喚醒學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的關(guān)注。

    1.現(xiàn)實(shí)生活情境。根據(jù)認(rèn)知情境理論,知識并非“事實(shí)與規(guī)則的集合”,而是人與環(huán)境之間的“動態(tài)建構(gòu)與組織”,學(xué)習(xí)者(個體)為與外界達(dá)成相對協(xié)調(diào)的交互狀態(tài),就必須不斷調(diào)整自己的適應(yīng)力。從這一點(diǎn)出發(fā),借助生活情境能夠更好地提高學(xué)生解題能力。例如,在高中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)過程中,可以通過列舉“彩票中獎號碼”“選舉投票預(yù)測”等生活中存在的事物,將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想加以解決。當(dāng)然,在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式下,生活情境的概念需要狹義化,以便將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于解題能力培養(yǎng)的過程中。可借助生活氣息情境輔助開展數(shù)學(xué)活動,進(jìn)行交流、探討。例如,教師可以利用生活中的電源開關(guān)中的“開”和“閉”代表數(shù)學(xué)邏輯中的“且”和“或”,并畫出相應(yīng)的圖進(jìn)行展示,以便活到更好地理解數(shù)學(xué)中“且”和“或”的概念。

    2.數(shù)學(xué)文化情境。《數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)承載著思想和文化,是人類文明的重要組成部分”。但大多數(shù)情況下,數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中被邊緣化,尤其在解題能力培養(yǎng)過程中,數(shù)學(xué)文化的價(jià)值很少被重視。事實(shí)上,數(shù)學(xué)雖然是自然學(xué)科,是理性的,但它仍然有獨(dú)特的人文性特質(zhì)。例如,從“形”來看,數(shù)學(xué)“形”的審美價(jià)值,具有和諧美、對稱美;從“數(shù)”的角度看,具有抽象美、簡潔美。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境,有利于學(xué)生貫通數(shù)形結(jié)合的原理。例如,在函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行表達(dá)式變形,能夠形成與之對應(yīng)的曲線圖形,能夠讓學(xué)生深刻感知數(shù)學(xué)魅力。

    3.游戲、故事情境。解題能力的培養(yǎng)是循序漸進(jìn)、久久為功的,同樣,喚醒學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)注,不可一蹴而就??紤]到高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容資源、時間、工具等條件限制,我們往往無法開展大規(guī)模的實(shí)踐體驗(yàn)活動。因此我們可通過游戲、故事情境創(chuàng)設(shè)等,沖淡高中數(shù)學(xué)的枯燥乏味之感,不斷維持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    (二)多元途徑、聚焦問題以提高解題能力

    1.從“文本概念”到“數(shù)形概念”的解題能力培養(yǎng)。概念是高中數(shù)學(xué)知識體系的基本構(gòu)成要素,也是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的基礎(chǔ)講解對象。從教材內(nèi)容組織形式出發(fā),概念大多以文本形式呈現(xiàn),具有高度概括性、抽象性、符號性的特征。對于學(xué)生而言,對此有較高的理解難度。如果將概念直接作用于解題能力培養(yǎng),那么很難發(fā)揮概念作為知識點(diǎn)的數(shù)學(xué)價(jià)值。因此,可借助數(shù)形結(jié)合思想來闡釋數(shù)學(xué)概念,提高其在解題過程中的應(yīng)用效率和效果。

    以高中數(shù)學(xué)中“橢圓”概念為例,教材中給出的定義為“平面內(nèi)與兩個定點(diǎn) F1、F2 距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡”。顯而易見,在這種文本概念的描述形式下,學(xué)生很難產(chǎn)生直觀想象的畫面。我們知道,文本概念是純粹的數(shù)量關(guān)系,軌跡是“點(diǎn)的集合”,也就是動態(tài)的點(diǎn)累積形成的圖形。如果引入數(shù)形結(jié)合思想,那么就可以將橢圓概念進(jìn)一步形象化。教師可通過指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下實(shí)踐獲得體驗(yàn):首先,取一張白紙,按照文本概念的要求,在任意位置上標(biāo)注兩個點(diǎn) F1、F2,然后再確定一個“常量”,可以用一段大于|F1F2|的細(xì)線代替。將細(xì)線的兩端固定在 F1 和 F2 上,繃緊細(xì)線形成一個非等邊三角形(必要條件)。然后讓學(xué)生在細(xì)線上固定筆尖、以繃緊狀態(tài)運(yùn)動,觀察閉合后的圖形狀態(tài),即得到橢圓圖形。這個過程直觀地完成了從“文本概念”到“數(shù)形概念”的轉(zhuǎn)化。

    理解數(shù)學(xué)概念是解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的前提,在上例中,如果學(xué)生能透徹地理解橢圓概念,那么學(xué)生將能更好地理解接下來要學(xué)習(xí)的雙曲線、拋物線概念。事實(shí)上,“文本概念”到“數(shù)形概念”轉(zhuǎn)化的過程并不復(fù)雜,如上例通過動手操作畫橢圓,就是一種從概念的“數(shù)”形式向“形”形式進(jìn)行的一種數(shù)開結(jié)合思想,它能極大地減輕理解負(fù)擔(dān),并在轉(zhuǎn)化過程中,使學(xué)生更清晰地理解橢圓的幾何意義,P={M||MF1|+|MF2|=2a} 內(nèi)涵。

    2.“經(jīng)典例題”與“經(jīng)典錯誤”的解題能力培養(yǎng)。顧名思義,解題能力面向的是“題”,數(shù)形結(jié)合思想作用對象也應(yīng)放在“題”本身。高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中接觸的題型,以經(jīng)典例題和經(jīng)典錯題兩類為主,其中,經(jīng)典例題又和概念、定理、模型等存在密切的關(guān)系,甚至直接源自某一知識點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。學(xué)生通過掌握經(jīng)典例題的解法思維、技巧,可在同類型解題過程中做到事半功倍。以經(jīng)典錯題為基礎(chǔ)的解題能力培養(yǎng),本質(zhì)上是一種糾錯、避錯素養(yǎng)培養(yǎng),旨在發(fā)揮“引以為戒”的作用。數(shù)形結(jié)合思想方法在應(yīng)用過程中,對這兩種題型需要進(jìn)行區(qū)分對待。相對而言,通過經(jīng)典錯題提升學(xué)生解題能力,既可以強(qiáng)化學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握,又可以有效規(guī)避常見錯誤,更適合在課堂教學(xué)模式下應(yīng)用。

    例如,變量 x 和 y 滿足約束條件 ,則目標(biāo)函數(shù) z=x+2y 的最小值是。

    A.2? ? B.3? ? C.4? ? D.5

    學(xué)生容易受到慣性思維的影響,在利用數(shù)形結(jié)合思想解題時,根據(jù)題目簡單地畫出圖形,然后得出答案。在上面問題中,最常見的錯誤是選擇答案“A.2”,其理由見下圖 1。

    但是稍微觀察就不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)動直線經(jīng)過 C(2,0)時,明顯不符合 y≥1 的要求。如圖 2 所示,需要將 C 排除在可行域之外,正確答案應(yīng)該為“B.3”。以上題目的“經(jīng)典錯誤”在于,在進(jìn)行數(shù)形結(jié)合過程中沒有充分地將“數(shù)”和“形”的條件進(jìn)行匹配。

    3.“數(shù)形轉(zhuǎn)化”向“數(shù)形結(jié)合”轉(zhuǎn)換的解題能力培養(yǎng)。鑒于高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)多、內(nèi)容抽象、關(guān)聯(lián)度高的特征,所謂解題能力,本質(zhì)上是學(xué)生面對題目時的分析能力、歸納能力、推理能力、計(jì)算能力等一系列綜合能力,它的形成是一個從量變到質(zhì)變的積累過程。同樣,數(shù)形結(jié)合思想下的解題能力培養(yǎng),需要經(jīng)過一定的學(xué)習(xí)過程。整體上可歸納為數(shù)形轉(zhuǎn)化向數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換,其中,數(shù)形轉(zhuǎn)化是一個相互逆轉(zhuǎn)的過程。教師要讓學(xué)生充分理解,由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化是“抽象—具象”的過程,重點(diǎn)在于降低理解難度、形成直觀體驗(yàn);而“由形向數(shù)”的轉(zhuǎn)化則是“具象—抽象”的過程,其價(jià)值在于整合問題已知條件、形成解題步驟、獲取正確答案。建立在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力訓(xùn)練,可與具體知識點(diǎn)結(jié)合,注重功在平時。例如,在講解圓錐曲線類問題時,要善于運(yùn)用圖形表達(dá)形式來闡釋性質(zhì);在學(xué)習(xí)“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”時,要善于運(yùn)用向量、平行、相交等符號進(jìn)行表達(dá),讓學(xué)生在熟練掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化之后,再謀求解決問題過程中的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用,這樣方能循序漸進(jìn)地提高解題能力。

    高中階段數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)是一個動態(tài)發(fā)展過程,可運(yùn)用的解題思想、方法很多。本文主要從“直觀想象”這一核心素養(yǎng)切入,倡導(dǎo)數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。在具體策略方面,可從兩個方面同時展開。其一是喚醒學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的關(guān)注,唯有意識上形成重視,才能在行動上落實(shí)。其二是聚焦問題本身提高解題能力,無論是面向概念、定理,還是經(jīng)典例題、錯題,以數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力,都要落實(shí)在具體問題層面上。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]李國燾.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)探討[J].學(xué)周刊,2020(04)

    [2]陳 巖.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)策略[J].西部素質(zhì)教育,2018,(4)

    [3]王錄金.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2018(12)

    [4]莊海軍.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生解題能力的培養(yǎng)策略[J].中國校外教育,2017(08)

    [5]丁紅梅.新課程背景下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)策略[J].中國校外教育,2015(22)

    【作者簡介】梁 貧(1977— ),女,漢族,籍貫廣西興業(yè),中學(xué)一級教師,現(xiàn)就職于玉林市興業(yè)縣第二中學(xué),研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)。

    (責(zé)編 盧建龍)

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