6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一種正解新求法

于世杰， 懷其利， 石芳， 趙潔

（1.陸軍駐青島地區(qū)軍代室，山東 青島266000；2.濟(jì)南二機(jī)床集團(tuán)有限公司，濟(jì)南250000）

關(guān)鍵字：六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)；雅可比矩陣；牛頓迭代；位置正解；三維軟件

0 引 言

位置分析是對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析最基本的任務(wù)，同時(shí)也是機(jī)構(gòu)其他各方面性能分析的基礎(chǔ)。位置分析的目的在于建立輸入與輸出的位置映射關(guān)系[1-2]，主要包括位置正解和位置反解兩方面的問題，對(duì)于大部分并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，反解相對(duì)容易，而正解則非常復(fù)雜，往往需要求解一組非線性多元方程組，傳統(tǒng)的對(duì)于正解的求法包括數(shù)值法和解析法。解析法即通過消元等手段，經(jīng)過大量的公式推導(dǎo)，來得出機(jī)構(gòu)的全部正解，然而由于不同的機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)著不同的解析方法，因此，該方法不具備通用性[3-4]。相對(duì)來說，數(shù)值方法則可以省掉繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，雖然不能求出機(jī)構(gòu)的全部解，但由于其數(shù)學(xué)模型較簡單，可以立即展開后續(xù)的研究，因而得到了較廣泛的應(yīng)用。Newton-Raphson法是最常用的數(shù)值解法之一，但其對(duì)初值的要求比較高，往往會(huì)因?yàn)槌踔档倪x擇不當(dāng)而導(dǎo)致迭代的發(fā)散，從而導(dǎo)致求解的失敗[5]；文獻(xiàn)[6]提出了一種基于雅可比矩陣的求解方法，該方法可以對(duì)機(jī)構(gòu)正解進(jìn)行一定精度的求解，但此方法對(duì)機(jī)構(gòu)所選擇的初始位姿的依賴性比較強(qiáng)，當(dāng)求解位于初始位姿附近的平臺(tái)位姿時(shí)，可以得到一定精確的正解結(jié)果，但精度不高，當(dāng)進(jìn)行較大跨度的機(jī)構(gòu)位姿求解時(shí)，則精度大大降低，即使較大范圍的增加迭代次數(shù)，仍不能得到較為理想的結(jié)果。

本文提出了一種基于機(jī)構(gòu)微分運(yùn)動(dòng)原理和牛頓迭代法的正解新解法，并結(jié)合一種新型6-PSS機(jī)構(gòu)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 機(jī)構(gòu)介紹

圖1所示的并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)1、6條PSS支鏈2及定平臺(tái)3組成，其中6條分支分別由6個(gè)伺服電動(dòng)機(jī)通過驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠副來實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的傳遞，設(shè)分支與動(dòng)平臺(tái)連接的球鉸中心為Bi（i=1,2…6），與定平臺(tái)連接的球鉸中心為Ai（i=1,2…6），各個(gè)PSS支鏈中直線移動(dòng)副與定長連桿連接的球鉸中心為Ci（i=1,2…6），建立如圖1所示的坐標(biāo)系，設(shè)H= x y （ ）zT為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的位置矢量，R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，則結(jié)合坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理可以得到Bi、Ci在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量，設(shè)Ai、Bi、Ci的坐標(biāo)在動(dòng)坐標(biāo)系中以矢量QAi、QBi、QCi表示，在定坐標(biāo)系中以矢量PAi、PBi、PCi表示，則根據(jù)圖1所示的幾何關(guān)系可以得到

式中，i=1,2,…,6。

設(shè)該機(jī)構(gòu)的輸入位移矢量為

圖1 6-PSS并聯(lián)機(jī)器人

輸出位姿矢量為

2 正解方法描述

雅可比矩陣J通常定義為關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度傳遞的廣義傳動(dòng)比[7]，由于速度可以看成是單位時(shí)間內(nèi)物體的微分運(yùn)動(dòng)，因此機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣也可以看成為輸入微分運(yùn)動(dòng)與輸出微分運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換矩陣，設(shè)輸入微分運(yùn)動(dòng)為

基于上面的微分原理可以得到

那么，當(dāng)知道一組精確對(duì)應(yīng)的輸入輸出矢量時(shí)，通過式（1）就可以求出輸入經(jīng)微小變化后的輸出矢量，這組精確對(duì)應(yīng)的輸入輸出位置矢量可以選擇機(jī)構(gòu)的初始裝配位姿，設(shè)機(jī)構(gòu)在初始位姿時(shí)，輸入矢量為L0，輸出矢量為R0，輸入經(jīng)dL的微小變化后，對(duì)應(yīng)的輸出矢量R1則變化為

其中，雅可比矩陣J是關(guān)于輸入的函數(shù)，為了便于計(jì)算可以取微分變化前的值，則式（4）可轉(zhuǎn)化為

式中，J0表示微動(dòng)前雅可比矩陣的值。

設(shè)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行第i次大小為dL的微分運(yùn)動(dòng)時(shí)所用到的雅可比矩陣為Ji-1,那么結(jié)合式（5）就可以得到經(jīng)過i次微分運(yùn)動(dòng)后機(jī)構(gòu)的輸出位姿，設(shè)此時(shí)的位姿為Ri，則有

通過式（6）已經(jīng)可以對(duì)任意時(shí)刻機(jī)構(gòu)的位置正解進(jìn)行求解，但由于J取值的不精確以及微動(dòng)量大小的影響，每次求解所得的結(jié)果是有一定的誤差的，且最終結(jié)果的誤差是整個(gè)求解過程中誤差的累計(jì)，因此在進(jìn)行大跨度求解時(shí)誤差量是非常大的，這就需要在每次求解的時(shí)候?qū)η蠼饨Y(jié)果進(jìn)行修正。因此本文在求解的過程中加入了牛頓迭代法作為其修正公式，即將每次微動(dòng)后的結(jié)果Ri作為牛頓迭代的初始值，后進(jìn)行多次迭代[8]，迭代后的值記為Ri′，那么

然后將修正后的值Ri′作為求解下一點(diǎn)的基點(diǎn)，連續(xù)求解就可以得到機(jī)構(gòu)任意位置的較精確的位置解。

基于上面的原理描述可以得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解解決思路，具體步驟描述如下：

1）利用公式（2）求出機(jī)構(gòu)的反解方程組，確定機(jī)構(gòu)初始裝配位姿時(shí)的輸入矢量L0和輸出矢量R0，稱其為基準(zhǔn)輸入與基準(zhǔn)輸出，并確定機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣J的通式。

2）任意給出一組輸入矢量，記為L= （l1l2... ln）T。求出給定輸入與基準(zhǔn)輸入的差，并將其微分為n等份，記為

dL即可作為求解過程中的微動(dòng)量。

3）結(jié)合式（6）和式（8），對(duì)位姿方程組（2）進(jìn)行迭代求解即可求出機(jī)構(gòu)的位置正解。

3 正解實(shí)例運(yùn)算

本文以圖2所示的機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行實(shí)例運(yùn)算，該機(jī)構(gòu)的6條PSS支鏈分為兩組，第一組分布在垂直于定平臺(tái)的方向上，其與定平臺(tái)相連的球鉸均勻分布在半徑為r的圓上，初始位姿時(shí)，這3條支鏈?zhǔn)窍嗷テ叫械?。第二組的3條支鏈按120°均勻分布在平行于固定平臺(tái)的平面內(nèi)，如圖2所示，設(shè)兩組支鏈交錯(cuò)分布產(chǎn)生的角∠B1QB4為θ。初始位姿時(shí)，3條支鏈構(gòu)成的方向矢量與大小為R的圓相切，初始裝配位姿時(shí)，各個(gè)支鏈的長度均為L。各個(gè)支鏈中定長連桿的長度為d。建立圖2（b）所示的坐標(biāo)系，初始位姿時(shí)，動(dòng)定坐標(biāo)系重合。

圖2 新型6-PSS 并聯(lián)機(jī)器人

針對(duì)該新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，初步確定的機(jī)構(gòu)參數(shù)為：6條支鏈的分布半徑均為R=r=600 mm，每個(gè)分支定長桿長度d=1200 mm，初始位姿時(shí)動(dòng)定平臺(tái)間的距離為2000 mm，微分份數(shù)n=100，校正次數(shù)m=2，利用式（2）求解出反解方程，設(shè)初始位姿時(shí)，六分支的輸入位移為

利用反解方程求出此時(shí)末端位姿為

隨機(jī)給出6 組輸入位移矢量如表1 所示，借助MATLAB軟件按前文所述步驟編寫程序，進(jìn)行機(jī)構(gòu)正解求解，結(jié)果如表2所示，再將表2中的數(shù)據(jù)代入反解方程中進(jìn)行驗(yàn)證，得到的結(jié)果如表3所示；借助三維軟件繪制該機(jī)構(gòu)的三維模型，并用測量的方法對(duì)上述表2的內(nèi)容再一次進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果如表4所示。

表1 各分支輸入位移矢量 mm

表2 正解求出的輸出位姿矢量

表3 反解驗(yàn)證結(jié)果 mm

表4 模型測量結(jié)果 mm

對(duì)比表1、表3中的數(shù)據(jù)可知，該方法求得的正解結(jié)果具有非常高的精度，再對(duì)比表2、表4中的數(shù)據(jù)可以看出，該種方法是正確的，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

通過對(duì)該新型六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解求解可以看出，這種正解求解方法可以極大地提高求解的精度，減少了循環(huán)次數(shù)，增大了求解范圍，不依賴于額外的求解條件，經(jīng)驗(yàn)證，該方法的適用范圍較廣，并能得到較穩(wěn)定的結(jié)果。