具有一般奇異項(xiàng)的Kirchhoff型方程解的研究

王佳鈺， 鄭曉霞， 韓 偉， 姚江燕

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引言及結(jié)論

本文考慮如下Kirchhoff型方程

(1)

式中：Ω?RN(N≥3)為一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，a,b≥0且a+b>0,λ,μ∈[0,+∞],q∈(0,3).g(u),h(x)與f(u)滿足如下假設(shè)條件：

(h)h∈L2*/(2*-1-γ)， 滿足h(x)>0，a.e.x∈Ω；

(g)g∈C(R+,R+)并且存在c>0， 使得g(s)≤c(s+s2*-1)，s∈R+.

(2)

(3)

c4(‖u‖2+‖u‖2*),

(4)

接下來定義問題(1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函

(5)

(6)

近年來， 許多學(xué)者針對(duì)基爾霍夫問題解的性態(tài)進(jìn)行了研究[1-9].

文獻(xiàn)[6]研究了奇異基爾霍夫型問題， 通過極大極小值方法， 得到了解的存在性與唯一性結(jié)果. 文獻(xiàn)[5]研究了如下的Kirchhoff方程

并采用極大極小值方法， 得到了正解的存在性. 文獻(xiàn)[10]通過變分方法得到了具有一般奇異項(xiàng)的Kirchhoff-Schrodinger泊松系統(tǒng)正解的存在性和唯一性.

受到上述文獻(xiàn)的啟發(fā)， 本文考慮問題(1)解的性態(tài)， 文獻(xiàn)[5]只考慮了三維的情形， 而本文的結(jié)果推廣到了N≥3的情形.

本文的結(jié)論如下：

定理1若a,b≥0，a+b>0,q∈(0,3)， 并且假設(shè)條件(f), (h)和(g)成立， 那么對(duì)任意的λ,μ∈R+， 問題(1)有一個(gè)正解且該解為I的一個(gè)全局極小值.

1 引 理

為了證明本文的主要結(jié)果， 需要如下引理.

‖h‖2*/(2*-1-γ)-c1‖h‖1-c5‖u‖1+q.

(7)

因?yàn)?-α∈(0,1),q∈(0,3)且h(x)>0,a.e.x∈Ω， 從而當(dāng)t>0且足夠小時(shí)， 可得I(tφ)<0， 也就是說m<0.

由h∈L2*/(2*-1-γ)(Ω)， 可知

(9)

根據(jù)Fatou引理， 可得

(10)

因此， 由范數(shù)的弱下半連續(xù)性和式(8)～式(10)， 可得

I(u0)≥m,

即I(u0)=m.

2 定理1的證明

令t→0+， 可得

因此， 由Fatou引理和引理2， 可得

(11)

接下來證明u0確為問題(1)的一個(gè)解， 即u0滿足式(6)，

(12)

定義函數(shù)Ψ∶R→R，Ψ(t)=I(u0+tu0), 即

由上面的討論可知，Ψ(t)在t=0時(shí)達(dá)到極小值. 根據(jù)引理3， 可知Ψ(t)在t=0處可微， 且ψ(0)=0， 即

(13)

Ω+={x∈Ω∶u0+εv>0},

Ω-={x∈Ω∶u0+εv<0}，

上式表明

(14)

(15)