基于經(jīng)緯儀的光束平差法定向方法改進(jìn)

王偉瑤 尤智偉 黃 劍

(上海航天設(shè)備制造總廠有限公司，上海 200240)

1 引 言

經(jīng)緯儀工業(yè)測(cè)量系統(tǒng)因其測(cè)角精度高、測(cè)試無接觸、測(cè)量范圍大、便攜性好等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于大尺寸空間三維點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量、準(zhǔn)直立方鏡姿態(tài)測(cè)量等檢測(cè)任務(wù)中。所謂系統(tǒng)定向，是指確定單臺(tái)經(jīng)緯儀與測(cè)量基準(zhǔn)坐標(biāo)系之間的空間六自由度位置關(guān)系，即沿坐標(biāo)系三坐標(biāo)軸方向的平移、旋轉(zhuǎn)參數(shù)。精確互瞄法和光束平差法是兩種經(jīng)緯儀系統(tǒng)定向的主要方法。其中，基于前方交會(huì)原理的精確互瞄法大量運(yùn)用于航天、航空、軍工等領(lǐng)域中，基于透視投影原理的光束平差法由于照準(zhǔn)精度要求高、解算需要迭代、解算存在危險(xiǎn)角度等缺點(diǎn)，使用率不高。然而，隨著工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，在許多情況下，經(jīng)緯儀測(cè)量系統(tǒng)需要在非通視條件下進(jìn)行測(cè)試[1]。以通視條件為前提的精確互瞄法無法實(shí)現(xiàn)非通視條件下的系統(tǒng)定向。

圖1所示為某航天器總裝精度測(cè)試中的測(cè)站布局示意圖，按設(shè)計(jì)要求需保證艙體內(nèi)部設(shè)備與艙體外部設(shè)備之間的空間位置參數(shù)，艙內(nèi)外多臺(tái)測(cè)站間的互瞄光路被產(chǎn)品隔絕。本文所提及的非通視條件，均為圖1所示的部分非通視條件，即僅隔絕互瞄光路。

圖1 航天器艙體精測(cè)布局圖

光束平差法不需要測(cè)站之間精確互瞄，可選擇具備公共視野的地點(diǎn)放置基準(zhǔn)完成定向，可以適應(yīng)圖1的測(cè)試環(huán)境。在場(chǎng)地適應(yīng)性上，脫離了互瞄光路的限制，較之精確互瞄法更加靈活。但是這種定向方法難以消除基準(zhǔn)點(diǎn)的照準(zhǔn)誤差，每一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)的兩個(gè)觀測(cè)角誤差都會(huì)累積影響解算，往往無法得到滿足測(cè)試精度的定向結(jié)果。針對(duì)這種現(xiàn)狀，筆者提出了一種結(jié)合兩種定向模型的改進(jìn)方法，在光束平差法的基礎(chǔ)上加入經(jīng)過互瞄并解算基線長度的兩臺(tái)測(cè)站作為基站，修正儀器照準(zhǔn)基準(zhǔn)公共點(diǎn)時(shí)的觀測(cè)角誤差，實(shí)現(xiàn)在系統(tǒng)內(nèi)除基站以外所有儀器非通視的限制條件下，維持不低于精確互瞄法的測(cè)試精度，完成系統(tǒng)定向。

2 基礎(chǔ)定向方法分析

2.1 光束平差法的簡(jiǎn)化

如圖2所示，根據(jù)透視投影理論[2]，將經(jīng)緯儀的水平角、豎直角觀測(cè)值轉(zhuǎn)換為虛擬像平面坐標(biāo)。以經(jīng)緯儀T1的垂直大地水平向下為+Y，T1的水平角零位方向?yàn)?X，通過右手定則擬合出+Z方向，得到一個(gè)測(cè)量坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1，同理可得T2的測(cè)站坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2。P點(diǎn)在測(cè)站坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)如下:

圖2 光束平差模型示意圖

(1)

式中：x、y、z——分別P點(diǎn)的坐標(biāo)值；H——兩臺(tái)測(cè)站的水平角讀數(shù)；V——兩臺(tái)測(cè)站的豎直角讀數(shù)；i=1,2。

如果提出一個(gè)限制條件，限定所有測(cè)站在精確整平后測(cè)試，測(cè)站2相對(duì)測(cè)站1的旋轉(zhuǎn)關(guān)系只繞y軸旋轉(zhuǎn)α°。該限制條件將極大地簡(jiǎn)化模型后續(xù)的計(jì)算，同時(shí)也符合大多數(shù)場(chǎng)所的測(cè)試工狀，經(jīng)緯儀的電子水泡與補(bǔ)償器可以精確整平儀器。根據(jù)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移關(guān)系，P點(diǎn)在左右測(cè)站坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(2)

式中：t1、t2、t3——測(cè)站1坐標(biāo)系原點(diǎn)在測(cè)站2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。將矩陣轉(zhuǎn)換為等價(jià)的方程組：

(3)

(t1-X2×t3)×[Y2×(-sinα×X1+cosα)-Y1]=

(t2-Y2×t3)×[X2×(-sinα×X1+cosα)-(cosα×X1+sinα)]

(4)

若將等式兩邊同除以t3[3]，并將旋轉(zhuǎn)角的正弦值作為變量，余弦值按正負(fù)號(hào)分情況討論，可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為如下形式(假設(shè)余弦值為正)：

(5)

公式(5)包含了3個(gè)未知參數(shù)L1、L2、r，使用測(cè)站1與測(cè)站2瞄準(zhǔn)1個(gè)空間點(diǎn)和一根長度為d的基準(zhǔn)尺的兩側(cè)端點(diǎn)，可以得到3組類似式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將這三組關(guān)系式聯(lián)立成方程組，通過牛頓迭代法解算出旋轉(zhuǎn)角r和平移比值L1、L2。根據(jù)基準(zhǔn)尺長度d，以下式解算t3，從而得到兩測(cè)站間的所有定向參數(shù)：

(6)

(7)

式中：X1、X2、Y1、Y2——分別為測(cè)站1與測(cè)站2觀測(cè)空間點(diǎn)P時(shí)的角度讀數(shù)相關(guān)三角函數(shù)，X11、X12、Y21、Y22——分別為兩臺(tái)測(cè)站觀測(cè)基站尺兩端點(diǎn)時(shí)的角度讀數(shù)相關(guān)三角函數(shù)。

2.2 定向誤差的實(shí)用性分析

通過三組測(cè)試數(shù)據(jù)，由公式(5)改寫為以下關(guān)系式：

F=f1+f2+f3=0

(8)

式中：f1、f2、f3——分別對(duì)應(yīng)一組觀測(cè)值。代入公式(5)得到的多項(xiàng)式

將F以泰勒級(jí)數(shù)展開，假設(shè)觀測(cè)角的測(cè)量誤差在±3″區(qū)間內(nèi)，可將觀測(cè)角讀數(shù)與迭代所得定向參數(shù)視為近似值，忽略二次項(xiàng)以上多項(xiàng)式，得到以下關(guān)系式：

(i=1,2,j=1,2,3)

(9)

從公式(9)可見，如果六項(xiàng)觀測(cè)角多項(xiàng)式的任意一項(xiàng)存在誤差，為了滿足和為0的條件，都將使三項(xiàng)定向參數(shù)產(chǎn)生偏差，三個(gè)空間點(diǎn)的測(cè)量誤差將累積影響定向參數(shù)。光束平差法直接將帶有照準(zhǔn)誤差的測(cè)角讀數(shù)作為方程組系數(shù)，方程組的解指向錯(cuò)誤的定向位置。在該位置，測(cè)站視準(zhǔn)軸以帶有照準(zhǔn)誤差的測(cè)角讀數(shù)在空間點(diǎn)P處完美交會(huì)。模型內(nèi)缺少其他精度更高的參數(shù)構(gòu)造約束條件來判斷照準(zhǔn)誤差、定位誤差。

3 改進(jìn)方法

3.1 引入約束

為了解決這個(gè)問題，在多臺(tái)儀器聯(lián)機(jī)測(cè)試模型內(nèi)添加兩臺(tái)已經(jīng)精確互瞄并解算基線長度的經(jīng)緯儀作為基站。在測(cè)試圖1所示的艙體時(shí)，因?yàn)榧骖櫜⑿泄ば虻囊笠约艾F(xiàn)場(chǎng)場(chǎng)地的限制，為了滿足測(cè)試艙體內(nèi)部基準(zhǔn)立方鏡與艙外設(shè)備的相對(duì)位置關(guān)系的設(shè)計(jì)要求，在諸多限制下只得如圖3所示布局儀器，組成測(cè)量坐標(biāo)系。僅艙內(nèi)的兩臺(tái)測(cè)站T1、T2具備互瞄條件，艙外其余測(cè)站所有的互瞄光路被隔絕。將T1、T2精確互瞄并選作基站，在具備公共視野的區(qū)域與基站同時(shí)測(cè)量基準(zhǔn)尺兩端與兩個(gè)空間點(diǎn)位靶標(biāo)，用光束平差法解算各測(cè)站相對(duì)T1、各測(cè)站相對(duì)T2的旋轉(zhuǎn)、平移參數(shù)。該方法在完成初步定向的同時(shí)，兩臺(tái)基站T1、T2可對(duì)其余測(cè)站形成虛擬互瞄軸約束。

3.1.1虛擬互瞄軸約束

如圖3所示，以修正T3的定向參數(shù)為例，當(dāng)三個(gè)式(5)形成的方程組有解時(shí)，T1與T3的視準(zhǔn)軸必定以指定角度的水平角、豎直角兩兩相交，且交點(diǎn)位于基準(zhǔn)尺兩端與空間點(diǎn)位靶標(biāo)。根據(jù)三角形相似原理可證以T1、T3的連線上任意一點(diǎn)作為測(cè)站中心，以相同零位、水平、豎直角讀數(shù)形成的視準(zhǔn)軸都將與T1的視準(zhǔn)軸相交。同理，T2與T3照準(zhǔn)相同的基準(zhǔn)點(diǎn)后也能指定一條相同的連線。當(dāng)T1、T2照準(zhǔn)基準(zhǔn)點(diǎn)的觀測(cè)角為真值時(shí)，T3的測(cè)站坐標(biāo)必定位于T1-T3連線與T2-T3連線的交點(diǎn)處。這兩條連線即T1、T2與T3互瞄時(shí)的互瞄視準(zhǔn)軸線，在非通視條件下是無法測(cè)量到的，但可以通過光束平差法解算得到的平移參數(shù)比值確定，因此將這兩根軸線稱之為虛擬互瞄軸。該條件是T1、T2兩臺(tái)儀器同時(shí)對(duì)T3形成的，約束了T3相對(duì)基準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)與平移參數(shù)比例，即T3初始零位固定，且測(cè)站中心位置與虛擬互瞄軸交點(diǎn)重合。

圖3 測(cè)站定向投影示意圖

3.1.2基線長度約束

同時(shí)基線長度對(duì)T3的測(cè)站位置形成另一個(gè)約束。如圖4所示，在虛擬互瞄軸上，T3存在唯一位置滿足照準(zhǔn)軸交點(diǎn)間的點(diǎn)距與基準(zhǔn)尺長度d相等。該條件建立了T1或T2單臺(tái)儀器與T3的空間關(guān)系，約束了T3與該儀器之間的基線長度，確定了T3在虛擬互瞄軸上的具體位置。

3.1.3定位精度判定條件

通過牛頓迭代法分別解算T1與T3、T2與T3的光束平差方程組，可以得到兩組滿足基線長度約束的T3測(cè)站坐標(biāo)。如果T3不存在照準(zhǔn)誤差，則這兩組T3測(cè)站坐標(biāo)與虛擬互瞄軸交點(diǎn)必定三點(diǎn)重合。然而，考慮到照準(zhǔn)誤差的累積，部分交會(huì)角不理想，滿足三點(diǎn)重合條件的測(cè)站位置并不唯一。為了剔除粗差、方便后續(xù)平差，因此T3與T1、T2還需觀測(cè)第四個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，以此驗(yàn)證在滿足三點(diǎn)重合條件的測(cè)站位置上，以規(guī)定角度形成的視準(zhǔn)軸能否與T1、T2的視準(zhǔn)軸在第四點(diǎn)交會(huì)，確保測(cè)站位置的唯一性。所以，三點(diǎn)重合條件與第四點(diǎn)交會(huì)條件可當(dāng)作解算、編程時(shí)的判定條件，來判斷光束平差法的定位精度是否符合要求。

圖4 視準(zhǔn)軸相交示意圖

3.2 約束條件的計(jì)算

3.2.1 虛擬互瞄軸的單位向量

如上文虛擬互瞄軸約束介紹，雖然基站T1、T2與T3無法互瞄，但仍能解算出T1、T2指向T3時(shí)的單位矢量。以T1為例，根據(jù)公式(4)，建立T1與T3的定向關(guān)系，兩邊同除以t2：

(10)

以三組空間點(diǎn)位的觀測(cè)數(shù)代入式(10)中，以牛頓迭代法求解，可得到T3相對(duì)T1的平移參數(shù)對(duì)t2方向分量的比值M1、M3。同理，由式(5)的解算結(jié)果，可得到T3相對(duì)T1的平移參數(shù)對(duì)t3分量的比值L1、L2。按符號(hào)象限分別計(jì)算T1指向T3時(shí)的水平角θ和豎直角ε：

(11)

(12)

根據(jù)水平角θ與豎直角ε，同時(shí)通過建立基準(zhǔn)時(shí)的互瞄值已知該測(cè)站零位相對(duì)基線的旋轉(zhuǎn)角φ，可得T1的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(13)

矩陣R第一列元素是X軸的三個(gè)分量，即為虛擬互瞄軸的單位矢量：

(14)

3.2.2兩虛擬互瞄軸的最短距離中點(diǎn)

假設(shè)T1虛擬軸矢量為μ，T2虛擬軸矢量為γ。T1測(cè)站坐標(biāo)指向T2測(cè)站坐標(biāo)的矢量為ω。當(dāng)兩虛擬軸在T1-T2測(cè)量坐標(biāo)系下取到最短距離時(shí)，各自直線上的最近點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)向量為：

(15)

兩點(diǎn)距離為最大不相交誤差，它們的中點(diǎn)為虛擬互瞄軸的相交坐標(biāo)，下文簡(jiǎn)稱虛擬相交坐標(biāo)。

3.3 照準(zhǔn)誤差的修正

比較虛擬相交坐標(biāo)與光束平差方程解算坐標(biāo)，若虛擬相交坐標(biāo)與解算坐標(biāo)重合，且T3與T1、T2在基準(zhǔn)點(diǎn)P4上的交會(huì)，則說明T3的照準(zhǔn)誤差符合精度要求；反之，若以上兩個(gè)條件有其中之一沒有達(dá)成，則說明定位誤差過大，照準(zhǔn)基準(zhǔn)點(diǎn)的水平角、豎直角讀數(shù)需要修正。

假設(shè)T3的照準(zhǔn)精度存在±2″的誤差，將這組照準(zhǔn)讀數(shù)視為近似值。筆者在本文提出以1″為精度遍歷T3的6個(gè)觀測(cè)角讀數(shù)在±2″區(qū)間內(nèi)所有數(shù)值，對(duì)每一個(gè)數(shù)值都進(jìn)行三點(diǎn)重合與第四點(diǎn)交會(huì)判定，循環(huán)執(zhí)行直到找到一組符號(hào)定向精度的照準(zhǔn)讀數(shù)，使之對(duì)應(yīng)的解算結(jié)果同時(shí)滿足上文提到的約束條件。該方法計(jì)算量大，迭代次數(shù)多且耗時(shí)。但是判斷條件明確，如果測(cè)量誤差在規(guī)定的區(qū)間內(nèi)，必定可以得到高精度的定向數(shù)據(jù)。通過編程可以大量節(jié)省運(yùn)行時(shí)間，預(yù)設(shè)的遍歷區(qū)間越大，運(yùn)行時(shí)間越久。使用clock函數(shù)計(jì)算執(zhí)行一次迭代所消耗的時(shí)間為0.025s。遍歷±2″的所有值，理論上每層循環(huán)需要遍歷-2″至+2″的5個(gè)浮點(diǎn)型數(shù)字，6層循環(huán)需要執(zhí)行15625次迭代，運(yùn)行時(shí)間為390.625s。

3.4 基準(zhǔn)最大不相交誤差分配

上文所示的約束計(jì)算方法中，T1、T2的測(cè)點(diǎn)角度讀數(shù)都是作為方程組系數(shù)加入解算，如公式(9)分析，是影響解算精度的誤差來源之一，需要較高的測(cè)量精度。然而點(diǎn)位的測(cè)試精度依靠測(cè)試人員的人眼保證，可靠性有待驗(yàn)證。為了提高觀測(cè)質(zhì)量，不僅需要作多余觀測(cè)，同時(shí)也需要將最大不相交誤差平均分配給兩臺(tái)基站，以消除兩臺(tái)基站點(diǎn)位不交會(huì)的矛盾。如圖5所示，假設(shè)T1、T2的以滿足最大不相交誤差的前提下測(cè)量基準(zhǔn)點(diǎn)，得到符合兩根視準(zhǔn)軸最短不相交距離的中點(diǎn)坐標(biāo)。分別連接T1、中點(diǎn)與T2、中點(diǎn)，得到的兩根新的照準(zhǔn)軸對(duì)應(yīng)的觀測(cè)角即為修正后的值。

圖5 視準(zhǔn)軸交會(huì)誤差示意圖

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證上文方法的實(shí)用性，本文將通過一組定向?qū)嶒?yàn)，以精確互瞄法作為參照，對(duì)比新方法修正后的定向效果。將六臺(tái)經(jīng)緯儀以及基準(zhǔn)尺、基準(zhǔn)點(diǎn)按圖3所示方位布置，模擬圖1所示的艙體測(cè)量環(huán)境。先使用精確互瞄法標(biāo)定測(cè)站，通過測(cè)試軟件MetroIn[4]得到的觀測(cè)值和解算結(jié)果如表1所示。

表1 精確互瞄法定向結(jié)果Tab.1 Orientationresultofmutualcollimationmodel測(cè)站名X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1000002.3158T23006.6400-0.0050-0.27800032.3361T3-1762.90703657.65104.14300.00060.000797.4402T4-1400.6380-2130.66208.5910359.99930.0004203.2849T54429.06403503.598020.47600.00050.000149.8925T64008.2380-2183.981010.0580359.9992359.9995129.8623

以1～2測(cè)量坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，假設(shè)除T1、T2以外其他測(cè)站皆無法互瞄，且只能觀測(cè)到相應(yīng)單側(cè)基準(zhǔn)。表2為牛頓迭代法解算得到的測(cè)站關(guān)系轉(zhuǎn)換到1～2測(cè)量坐標(biāo)系下的結(jié)果，每臺(tái)儀器都存在±3″的照準(zhǔn)誤差。

表2 光束平差法定向結(jié)果Tab.2 Orientationresultofbundleadjustmentmodel測(cè)量坐標(biāo)系下X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T3-1762.89303657.30494.22180097.4165T1^T4-1400.6599-2130.60168.569400203.2865T1^T54426.65803503.342320.47100049.9227T1^T64008.0456-2183.748110.047000129.8573T2^T3-1760.24613657.39684.22000097.4021T2^T4-1400.2166-2129.95278.561800203.3043T2^T54427.04353503.187720.46720049.9134T2^T64008.2188-2184.016110.045700129.8635

計(jì)算約束條件，T1、T2指向其它測(cè)站的虛擬互瞄軸相交坐標(biāo)表3所示：

表3 虛擬互瞄軸相交坐標(biāo)Tab.3 Intersectingpointcoordinateofvirtualmutualcollimationaxises測(cè)量坐標(biāo)系下X(mm)Y(mm)Z(mm)T3-1761.18153658.11454.2218T4-1400.2411-2129.96458.5643T54427.3183503.864620.4726T64008.1127-2183.784710.0459

從數(shù)據(jù)判斷，迭代所得的測(cè)站坐標(biāo)與虛擬互瞄軸相交坐標(biāo)不重合，并且與精確互瞄法的定位參數(shù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)存在毫米級(jí)的定位偏差。對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，修正后的定向參數(shù)如表4所示：

兩種定向方法的效果對(duì)比如表5、表6所示。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，光束平差法在未修正前，3″的照準(zhǔn)誤差將使測(cè)站零位角度偏離2′，測(cè)站坐標(biāo)偏離2mm以上。修正后的角度精度可控制在10″以內(nèi)，測(cè)站坐標(biāo)精度約為0.1mm。

5 結(jié)束語

本文在經(jīng)緯儀光束平差法的基礎(chǔ)上，對(duì)解算模型加以簡(jiǎn)化，以兩臺(tái)已經(jīng)定向完成的測(cè)站作為新的基準(zhǔn)，建立了新的約束條件，修正了其余測(cè)站定向階段基準(zhǔn)點(diǎn)照準(zhǔn)的累積誤差，有效提升了定向精度。然而改進(jìn)后的光束平差法解算效率低、照準(zhǔn)精度要求高的缺點(diǎn)依然存在，對(duì)于基準(zhǔn)點(diǎn)觀測(cè)角誤差與定位誤差之間的函數(shù)關(guān)系有待進(jìn)一步的研究總結(jié)，以生成新的算法代替遍歷法更高效地修正誤差。

表4 修正結(jié)果Tab.4 Modifiedorientationresultofbundleadjustmentmodel點(diǎn)距坐標(biāo)X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)1^3-1762.90763657.64944.14260097.43962^3-1762.90753657.65024.14280097.43981^4-1400.6171-2130.63268.579400203.28572^4-1400.6189-2130.63358.579100203.28561^54428.99733503.440620.45300049.89362^54428.99833503.442420.45320049.89361^64008.2738-2183.927710.048100129.86032^64008.2734-2183.930710.048700129.8604

表5 修正前數(shù)據(jù)偏差Tab.5 Unreviseddeviationrelativetomutualcollimationmodel修正前X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T3-0.01390.3460-0.07880.00060.00070.0237T1^T40.0219-0.06030.0216359.99930.0004-0.0015T1^T52.40590.25560.00500.00050.0001-0.0301T1^T60.1923-0.23280.0110359.9992359.99950.0049T2^T3-2.66080.2541-0.07700.00060.00070.0380T2^T4-0.4213-0.70920.0292359.99930.0004-0.0194T2^T52.02040.41020.00880.00050.0001-0.0209T2^T60.01910.03510.0123359.9992359.9995-0.0011

表6 修正后數(shù)據(jù)偏差Tab.6 Modifieddeviationrelativetomutualcollimationmodel修正后X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T30.00060.00150.00030.00060.00070.0005T1^T4-0.0208-0.02930.0115359.99930.0004-0.0007T1^T50.06660.15730.02290.00050.0001-0.0011T1^T6-0.0358-0.05320.0098359.9992359.99950.0019T2^T30.00050.00070.00010.00060.00070.0004T2^T4-0.0190-0.02840.0118359.99930.0004-0.0007T2^T50.06560.15550.02270.00050.0001-0.0011T2^T6-0.0355-0.05020.0092359.9992359.99950.0018