基于偏微分方程的GAC水平集圖像分割模型

劉 晨，李丙春，王文龍，張宗虎

(喀什大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,新疆 喀什 844006)

圖像分割[1]是計(jì)算機(jī)視覺的基礎(chǔ)，是圖像目標(biāo)識(shí)別、檢測(cè)和分析等后續(xù)處理的第一步，同時(shí)也是圖像處理中的難題.基于曲線演化理論和水平集方法的幾何活動(dòng)輪廓(geometric active contour，簡(jiǎn)稱GAC)模型[2-5]廣泛應(yīng)用于邊緣檢、圖像分割等領(lǐng)域.在平面圖像分割中，其將2維演化曲線表達(dá)為高一維的3維連續(xù)函數(shù)的零水平集，水平集函數(shù)定義為演化曲線的符號(hào)距離函數(shù)，能夠較好地處理曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化.但傳統(tǒng)的GAC模型在曲線演化迭代過程中需要重新初始化，難以檢測(cè)出弱邊緣輪廓，容易受到噪聲的干擾.

GAC模型有基于變分水平集方法的演化方程和以偏微分方程(partial differential equation,簡(jiǎn)稱PDE)驅(qū)動(dòng)的水平集方法的演化方程[6-7]，論文所研究模型屬于后者.近年來，出現(xiàn)了較多基于PDE的GAC水平集方法的改進(jìn)方法.文獻(xiàn)[8]提出利用氣球力和梯度向量場(chǎng)混合作用改進(jìn)GAC模型，并且利用半隱式方案加性算子分裂算法對(duì)新模型進(jìn)行加速運(yùn)算.文獻(xiàn)[9]定義一種新的符號(hào)壓力函數(shù)，利用具有圖像增強(qiáng)能力的局部區(qū)域信息，從而取代GAC模型的邊界停止函數(shù)，并且使用選擇性二進(jìn)制和高斯濾波水平集方法，取代水平集函數(shù)的重新初始化.文獻(xiàn)[10]采用基于區(qū)域信息的水平集方法，結(jié)合GAC模型和Chan-Vese模型提出一種新的活動(dòng)輪廓模型，提高圖像分割的精確性.

傳統(tǒng)的GAC水平集方法的圖像分割，水平集函數(shù)必須周期性地重新初始化使水平集函數(shù)保持為一個(gè)符號(hào)距離函數(shù).論文在原先能量泛函模型中引入一個(gè)約束能量，解決了水平集函數(shù)在演化過程中需重新初始化的問題.但引入的約束能量是基于變分水平集方法的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動(dòng)的水平集方法，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的分割結(jié)果，論文在此基礎(chǔ)上在引入反應(yīng)擴(kuò)散方程，將水平集方程的求解劃分為兩部分來解決上述問題.傳統(tǒng)的GAC模型水平集方程中停止函數(shù)直接基于圖像梯度信息，論文提出一種新的邊緣檢測(cè)算子，應(yīng)用到邊緣停止函數(shù)中，對(duì)邊緣停止函數(shù)給予重新定義.

1 GAC模型

設(shè)零水平集函數(shù)φ(x,t)，其中x表示平面位置，t為時(shí)間參數(shù).定義封閉曲線C(t)，C(t)={x|φ(C(t),t)=0}，因?yàn)棣?C(t),t)=0，兩邊對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)得到方程

(1)

初始水平集函數(shù)為φ0(x)=φ(x,t=0)， 則GAC模型的水平集函數(shù)演化方程為

(2)

2 論文模型

2.1 無需重新初始化GAC模型

在傳統(tǒng)的水平集方法中，為了確?；顒?dòng)輪廓模型的穩(wěn)定性，防止水平集函數(shù)在靠近邊緣時(shí)候過于平坦或者過于陡峭，初始水平集函數(shù)通常將曲線生成符號(hào)距離函數(shù)，并且在曲線演化迭代過程中必須周期性地重新初始化，使得水平集函數(shù)重新變成帶符號(hào)的距離函數(shù)，如果水平集函數(shù)發(fā)生退化，將導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算的迭代過程趨向不穩(wěn)定，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的分割結(jié)果.重新初始化的計(jì)算量大，分割速度慢.重新初始化工作[11-12]可以求解PDE方程得

(3)

文獻(xiàn)[13]提出一種符號(hào)距離懲罰能量函數(shù)為

(4)

此能量泛函只與水平集函數(shù)φ有關(guān)，使得在演化過程水平集分割模型中的約束水平集函數(shù)保持為一個(gè)符號(hào)距離函數(shù)，從而曲線在演化過程中不用反復(fù)對(duì)水平集函數(shù)進(jìn)行重新初始化.其梯度下降流為

(5)

論文將符號(hào)距離懲罰能量函數(shù)結(jié)合GAC模型，得到相應(yīng)的梯度下降流為

(6)

這種符號(hào)距離懲罰能量函數(shù)是基于變分水平集方法提出來的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動(dòng)的水平集方法中，不能有效地正確分割圖像.將公式(6)改寫成

(7)

可以用圖1中左邊所示的圖來說明這個(gè)問題.圖中紅色箭頭表示水平集方程中的推力函數(shù)F，藍(lán)色箭頭表示規(guī)則化推力函數(shù)Fw.在零水平集到達(dá)目標(biāo)邊緣時(shí)，水平集推力函數(shù)F接近于0，當(dāng)Fw等于0時(shí)，水平集曲線停留在目標(biāo)邊緣.而有些時(shí)候，當(dāng)水平集推力函數(shù)F等于0、Fw不一定等于0時(shí)，零水平集會(huì)繼續(xù)演化，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的分割.

圖1 水平集方程演化推力函數(shù)

為了解決上述問題，將反應(yīng)擴(kuò)散方程理論應(yīng)用到公式中，得到新的水平集演化方程為

φt=εΔφ+ε-1L(φ),

(8)

從而將水平集方程的求解劃分為擴(kuò)散部分εΔφ和反應(yīng)部分ε-1L(φ).根據(jù)反應(yīng)擴(kuò)散理論研究可知，第一步求解反應(yīng)方程部分φn+1/2=φn+t1L(φn)，第二步求解擴(kuò)散方程部分φn+1=φn+1/2+t2φn+1/2.這里忽略ε這一小的正常數(shù)，因?yàn)樵诰唧w的求解過程中可以將參數(shù)ε整合進(jìn)時(shí)間參數(shù)t1和t2，在具體數(shù)值計(jì)算中t1和t2都很小，從而得到t1ε-1→t1，t2ε→t2.

可以通過圖1右圖來說明這個(gè)問題.圖中紅色箭頭、藍(lán)色箭頭分別表示水平集方程推力函數(shù)F和規(guī)則化推力函數(shù)Fw.論文將反應(yīng)擴(kuò)散方程應(yīng)用到上述無需重新初始化的GAC模型中.新的模型分為兩步：第一步求解反應(yīng)方程部分，但是其懲罰函數(shù)是基于變分方程理論提出的，直接應(yīng)用于偏微分方程并不完全適合；第二步求解擴(kuò)散方程，修正規(guī)則化推力Fw與推力函數(shù)F的方向不一致問題，如圖中綠色箭頭所示.從而新的水平集演化方程為

(9)

2.2 新的邊緣停止函數(shù)

GAC水平集模型其邊緣停止函數(shù)是基于圖像梯度信息的，難以分割圖像不同區(qū)域間模糊的弱邊緣和灰度漸進(jìn)圖像目標(biāo)，并且易受到噪聲的影響，抗噪聲能力弱.根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知，二階導(dǎo)數(shù)能夠有效地區(qū)別邊緣和漸變區(qū)域.定義

并且提出了一種差分曲率的邊緣檢測(cè)算子，表示為D=||uηη|-|uξξ||，其中|*|表示絕對(duì)值運(yùn)算.經(jīng)過試驗(yàn)，提出一種新的邊緣檢測(cè)算子，應(yīng)用到邊緣停止函數(shù)g中.參考uηη和uξξ定義

(10)

省略原先定義形式的歸一化操作，定義

(11)

從而提出一種新的邊緣檢測(cè)算子為

(12)

從圖2(a1)～(a3)可以看出，在無噪聲情況下，3種算子都能有效地檢測(cè)出漸變圖像的邊緣，相較于梯度算子和差分算子，論文定義的算子能很好地檢測(cè)出邊緣所在，不受圖像其他區(qū)域信號(hào)影響.如圖2(b1)～(b3)所示，在圖像受到較為輕微的噪聲影響下，論文定義算子幾乎不受噪聲影響，和無噪聲情況下的邊緣檢測(cè)效果一致，而梯度算子和差分算子只有在人工目視情況下可見，受到較為嚴(yán)重的噪聲影響.在圖像受到較為嚴(yán)重噪聲影響下各種邊緣加測(cè)算子比較如圖2(c1)～(c3)所示.論文定義算子依然可以檢測(cè)出圖像邊緣，而此時(shí)的梯度算子和差分算子在人工目視情況下圖像邊緣都已不可見.通過上述實(shí)驗(yàn)，可知論文提出的邊緣檢測(cè)算子，能有效地檢測(cè)出圖像的邊緣，特別是在圖像受到噪聲的影響下，相較于傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算子具有更好的魯棒性.論文將提出的邊緣檢測(cè)算子應(yīng)用到水平集模型中的停止函數(shù)，重新定義邊緣停止函數(shù)，表示為

(13)

圖2 無噪圖像和噪聲圖像及邊緣檢測(cè)比較

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證論文所提出模型的有效性.論文對(duì)比方法有:在原先基于偏微分方程驅(qū)動(dòng)的GAC模型中直接加上基于變分水平集模型的懲罰能量,得到方法1;文獻(xiàn)[15]所提出的方法2.在第一個(gè)試驗(yàn)中還將添加重新初始化的方法.論文模型參數(shù)選取為μ=0.01，υ=0.5，λ=0.8，t1=0.1，t2=0.001.方法1中的參數(shù)與論文模型中的參數(shù)選取一致,方法2中的參數(shù)取其默認(rèn)參數(shù)，可參考文獻(xiàn)[15].

實(shí)驗(yàn)1針對(duì)含有較多復(fù)雜邊緣的多目標(biāo)圖像進(jìn)行試驗(yàn)，如圖3(a)所示.圖3(a)中的紅色方框表示初始水平集函數(shù)的零水平集,圖3 (b)～(e)分別對(duì)應(yīng)重新初始化方法、方法1,2和論文方法的分割結(jié)果.從分割結(jié)果來看，重新初始化方法分割結(jié)果錯(cuò)誤，并且耗時(shí).在后面的實(shí)驗(yàn)比較中，將不再參與方法的比較.方法1最終的零水平集位置離圖像真正邊緣還有一定距離，并且在兩處邊緣中間位置產(chǎn)生了額外的假邊緣，如圖3(c)所示，說明方法1的分割效果不理想.方法2和論文提出的模型都可以較好地得到分割結(jié)果.

圖3 原始圖像及不同方法下的分割比較

實(shí)驗(yàn)2針對(duì)弱邊緣圖像及其受到噪聲影響的情況.圖4(1)為無噪聲圖像，圖4(2)是添加低噪聲水平(噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為8的高斯噪聲)的噪聲圖像，圖4(3)是添加高噪聲水平(噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為16的高斯噪聲)的噪聲圖像.圖4(a)～(c)是對(duì)無噪聲圖像圖4(1)的分割比較.從圖中可以看出：方法1出現(xiàn)了錯(cuò)誤的零水平集，也就是錯(cuò)誤的邊緣，如圖4(a)所示；方法2能較好地得到分割結(jié)果，但是在弱邊緣處分割結(jié)果有點(diǎn)瑕疵，如圖4(b)右邊細(xì)胞上方弱邊緣處；而論文方法能得到比較好的分割結(jié)果，如圖4(c)所示；在低噪聲和高噪聲影響下，方法1都出現(xiàn)了錯(cuò)誤的分割結(jié)果，如圖4(a)，(d)，(g)所示；方法2隨著噪聲水平的增加，分割結(jié)果錯(cuò)誤率越來越大，不能有效地分割弱邊緣目標(biāo)，如圖4(b)，(e)，(h)所示；而論文方法，不僅在無噪聲情況下正確得到弱邊緣目標(biāo)的分割結(jié)果，在低噪聲和高噪聲水平的影響下，也能得到較為正確的分割結(jié)果，幾乎不受噪聲的影響，如圖4(c)，(f)，(i)所示.

圖4 原始圖像、噪聲圖像及不同方法下的分割結(jié)果

論文采用Jaccard相似系數(shù)(Jaccard coefficient,簡(jiǎn)稱JC)和骰子相似系數(shù)(dice similarity coefficient,簡(jiǎn)稱DSC)[16]對(duì)分割結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，分別定義為

(14)

其中：N(R)表示區(qū)域R內(nèi)像素點(diǎn)的個(gè)數(shù);R1,R2分別表示基準(zhǔn)目標(biāo)區(qū)域和分割得到的目標(biāo)區(qū)域;JC，DSC的取值范圍為[0,1]，取值越大說明該分割方法的分割結(jié)果越精確.

實(shí)驗(yàn)3是針對(duì)不同模型下圖3(a)、圖4(1)～(3)無噪聲和不同強(qiáng)度高斯噪聲污染圖像的分割精度做定量分析，結(jié)果如表1,2所示.從JC和DSC兩個(gè)量化指標(biāo)結(jié)果可以看出，在無噪聲環(huán)境下，論文模型分割結(jié)果高于重新初始化方法、方法1，2.在不同強(qiáng)度高斯噪聲環(huán)境下，論文模型和無噪聲環(huán)境下分割結(jié)果數(shù)據(jù)大致相同，而方法1，2隨著噪聲水平的增加分割精度隨之下降.從量化指標(biāo)的數(shù)據(jù)結(jié)果分析可以得出論文模型的有效性和適應(yīng)性.

表1 圖3(a)不同模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果的JC與DSC比較

表2 圖4(a)，(b)，(c)不同模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果的JC與DSC比較

4 結(jié)束語(yǔ)

論文針對(duì)基于偏微分方程驅(qū)動(dòng)的GAC模型，提出一種新的水平集圖像分割方法.引入一個(gè)約束能量，解決了水平集函數(shù)在演化過程中需重新初始化的問題.但引入的約束能量是基于變分水平集方法的，直接應(yīng)用于基于偏微分方程驅(qū)動(dòng)的水平集方法，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的分割結(jié)果.論文在此基礎(chǔ)上引入反應(yīng)擴(kuò)散方程，將水平集方程的求解劃分為兩部分，解決了此問題.并且提出一種新的邊緣檢測(cè)算子，重新定義邊緣停止函數(shù).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，論文提出方法對(duì)弱邊緣及其受噪聲影響圖像分割更具魯棒性，得到較好的分割結(jié)果.