簡諧勢中非對角AAH晶格上費(fèi)米氣體的基態(tài)性質(zhì)

張奮華,王利,張云波

(山西大學(xué) 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

1958年,Anderson首次提出了安德森局域化現(xiàn)象[1],引起了物理學(xué)界的廣泛興趣和關(guān)注。直至現(xiàn)在,無序問題仍然是凝聚態(tài)物理中一個相當(dāng)重要和熱門的研究課題。人們期望物理體系中的無序能夠誘發(fā)出更多有趣的物理現(xiàn)象。對于完全隨機(jī)的外勢來說,一維系統(tǒng)中的費(fèi)米氣體會一直處于絕緣態(tài)。只要存在無序,不論無序的強(qiáng)度多小,體系的波函數(shù)都會變成指數(shù)化局域態(tài)(exponentially localized state),不存在有限值的相變點(diǎn)。這種完全隨機(jī)的外勢,在具體研究中通常用數(shù)值算法產(chǎn)生多組隨機(jī)數(shù)來模擬物理系統(tǒng)中的無序。此外還有一種方式是利用準(zhǔn)周期的格點(diǎn)勢來模擬物理系統(tǒng)中的無序。對于用準(zhǔn)周期勢模擬的無序來說,情況會有所不同。AAH模型[2]是描述準(zhǔn)周期勢系統(tǒng)的一個重要模型,已經(jīng)得到了物理學(xué)家們的廣泛關(guān)注與深入研究。在一維AAH模型中,當(dāng)準(zhǔn)周期勢的強(qiáng)度λ<2t時,體系處于擴(kuò)展態(tài),而當(dāng)λ>2t時,體系處于局域態(tài)。即在λ=2t處,一維AAH模型可以發(fā)生從擴(kuò)展態(tài)到局域態(tài)的量子相變[2-3]。得益于超冷原子物理及光波導(dǎo)實驗技術(shù)的發(fā)展,這一無序?qū)е碌木钟蚧孔酉嘧円呀?jīng)在超冷原子實驗[4-5]及光波導(dǎo)實驗中得到了證實[6-8]。隨著無序問題得到越來越廣泛的研究,AAH模型出現(xiàn)了很多推廣版本。比如在體系的躍遷項中引入準(zhǔn)周期調(diào)控項,就得到了非對角AAH模型, 同時包含非對角準(zhǔn)周期調(diào)控項和準(zhǔn)周期格點(diǎn)勢就得到廣義的AAH模型[9-11]。這些模型的變形大大豐富了無序問題的理論研究。

對于無外加束縛勢的非對角AAH模型來說,當(dāng)非對角無序的強(qiáng)度逐漸增加時,體系也會發(fā)生無序?qū)е碌牧孔酉嘧僛12-13],在相變點(diǎn)處,非對角無序的強(qiáng)度λod=t。相對于許多已有的基于單粒子系統(tǒng)展開的研究工作,本文將重點(diǎn)關(guān)注一維非對角AAH模型的多粒子基態(tài)性質(zhì)。而且我們在體系中引入外加的簡諧束縛勢,研究了處于簡諧勢中的一維非對角AAH晶格上費(fèi)米氣體的基態(tài)性質(zhì)?；跓o相互作用費(fèi)米子系統(tǒng)的嚴(yán)格基態(tài),我們計算了體系晶格被低密度填充時多粒子基態(tài)的逆參與率(inverse participation ratio,簡記為IPR)[14-15]、實空間粒子數(shù)密度分布及動量空間中的粒子密度分布,分析了這些物理量隨非對角無序強(qiáng)度增加而發(fā)生的變化。計算結(jié)果表明,非對角無序強(qiáng)度的增加會使簡諧勢中費(fèi)米氣體的基態(tài)性質(zhì)發(fā)生許多有趣的變化。比如,基于費(fèi)米氣體的單粒子密度矩陣的計算結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)體系的單體關(guān)聯(lián)函數(shù)會從冪函數(shù)衰減行為轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)衰減,這標(biāo)志著費(fèi)米氣體進(jìn)入了不同的基態(tài)量子相。

1 理論模型及研究方法

通常在單帶緊束縛近似下,一維廣義AAH晶格上的N個費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)可以用如下哈密頓量描述,

(1)

其中,

Ji=t+λodcos(2παi+φ) ,

(2)

N個無自旋費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)的基態(tài)可以通過對角化(1)式得到,可以表示為,

(3)

其中Pin是對角化(1)式得到的第n個單粒子本征態(tài)的第i個元素。為了描述Fermi氣體的基態(tài)性質(zhì),我們計算了體系的單粒子密度矩陣,

(4)

根據(jù)單粒子密度矩陣,我們可以得到體系在實空間的粒子數(shù)密度分布,

(5)

此外,簡諧勢阱中費(fèi)米氣體的動量分布可以通過對單粒子密度矩陣做傅立葉變換得到,

(6)

2 AAH晶格中費(fèi)米氣體的基態(tài)性質(zhì)

首先,我們計算簡諧勢阱中非對角AAH晶格上費(fèi)米氣體的逆參與率(IPR)。IPR可以很好地描述一個量子態(tài)的局域化程度。對于一個單粒子本征態(tài)φr,其IPR定義為

(7)

(8)

如圖1所示,我們計算了體系多粒子基態(tài)的IPR。計算以L=10 000,N=2 000的系統(tǒng)為例,簡諧勢的強(qiáng)度取為VHa2=3×10-7t。從圖1可以看,費(fèi)米氣體多粒子基態(tài)的IPR在λod<1時是非常小的,而當(dāng)λod>1之后,體系基態(tài)的IPR值明顯變大。

圖1 L=10 000,N=2 000時系統(tǒng)多粒子基態(tài)的IPR隨著非對角無序強(qiáng)度λod的變化

(9)

其中2M+1為統(tǒng)計局域平均粒子數(shù)密度的區(qū)域長度,且M?L。對于L=10 000的晶格,我們?nèi)=100。圖2中的(b)、(d)、(f)是我們對粒子數(shù)分布按(9)式做局域平均后得到的粒子數(shù)密度分布圖。對于無序強(qiáng)度為λod=0的情形,局域平均的粒子數(shù)密度分布和原始的粒子數(shù)分布基本一樣,此時費(fèi)米氣體處于擴(kuò)展態(tài),粒子數(shù)密度分布呈圓弧狀。隨著無序強(qiáng)度的增大,在圓弧的兩肩上會逐漸出現(xiàn)平臺,在平臺區(qū)域內(nèi),粒子數(shù)密度分布保持恒定值,如圖2(d)所示。而且隨著無序的繼續(xù)增大,該平臺區(qū)域會變得越來越大,見圖2(f),平臺的數(shù)量及位置是與粒子數(shù)和簡諧勢的強(qiáng)度有關(guān)的。這些平臺是由無序誘導(dǎo)出來的,所以可稱為安德森平臺[17]。

圖2 簡諧勢阱中粒子密度分布(左欄)和局域平均粒子密度分布(右欄)隨非對角無序強(qiáng)度的變化。

圖3 對于L=10 000,N=2 000的系統(tǒng),平均粒子數(shù)漲落隨著非對角無序強(qiáng)度λod的變化

而對于填充粒子密度大于臨界密度ρc的情形,非對角無序?qū)w系密度分布的影響與低填充密度時類似。如圖4所示,我們計算了L=10 000,N=6 000的系統(tǒng)的局域平均粒子數(shù)密度分布。當(dāng)非對角無序λod=0時,在勢阱中心區(qū)域存在Mott平臺,每個格點(diǎn)上的粒子占據(jù)數(shù)為1,而在Mott平臺兩側(cè)是擴(kuò)展態(tài)區(qū)域。當(dāng)非對角無序逐漸增強(qiáng)時,在Mott平臺兩側(cè)會逐漸出現(xiàn)粒子占據(jù)數(shù)為非整數(shù)的Anderson平臺,而且Anderson平臺區(qū)域會隨無序強(qiáng)度增加逐漸擴(kuò)大。當(dāng)非對角無序λod>1時,Anderson平臺的區(qū)域?qū)挾葎t基本保持不變。

圖4 不同的非對角無序強(qiáng)度下,L=10 000,N=6 000的體系基態(tài)的局域平均粒子密度分布

在圖5中我們分析了簡諧勢阱中AAH晶格上費(fèi)米氣體的關(guān)聯(lián)性質(zhì),我們?nèi)葳逯行母顸c(diǎn)為參考點(diǎn),考察單粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)隨距離的變化規(guī)律。當(dāng)不存在非對角無序時,勢阱中費(fèi)米氣體的單粒子關(guān)聯(lián)存在非常明顯的振蕩。但是單粒子關(guān)聯(lián)的大小總體與格點(diǎn)間的空間距離呈冪函數(shù)關(guān)聯(lián),此時費(fèi)米氣體處于擴(kuò)展態(tài)。圖5中的黑色實線是對λod=0時的單粒子關(guān)聯(lián)冪函數(shù)擬合。當(dāng)體系中存在非對角無序且λod<1時,單粒子關(guān)聯(lián)的主體部分仍然遵從冪函數(shù)行為。但是當(dāng)非對角無序強(qiáng)度λod>1時,費(fèi)米氣體的單粒子聯(lián)隨空間距離的衰減速度明顯快于冪函數(shù)行為。由圖2(f)我們可以知道,當(dāng)λod>1時,簡諧勢中費(fèi)米氣體的主體為Anderson平臺,此時圖5展示的關(guān)聯(lián)性質(zhì)主要是Anderson平臺的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。在圖5的插圖中,我們對λod>1時體系的關(guān)聯(lián)函數(shù)在對數(shù)線性坐標(biāo)系中進(jìn)行了擬合,可以看出關(guān)聯(lián)函數(shù)雖然有很多振蕩但整體上以指數(shù)函數(shù)行為衰減,圖中相應(yīng)的擬合方程為ln|ρij|=-0.165 3|i-j|-1.759.

圖5 不同非對角無序強(qiáng)度下的單粒子關(guān)聯(lián)函數(shù)的對數(shù)-對數(shù)坐標(biāo)圖,系統(tǒng)中有2 000個費(fèi)米子,10 000個格點(diǎn),關(guān)聯(lián)函數(shù)的參考點(diǎn)取為i=5 001。

圖6 不同的非對角無序強(qiáng)度下系統(tǒng)的動量分布(a)和動量分布一階導(dǎo)數(shù)(b)的圖,其中L=10 000,N=2 000。(a)中的插圖是λod=0時,L=1 000,N=20的系統(tǒng)的動量分布

在圖6中我們給出了簡諧勢阱內(nèi)費(fèi)米氣體的動量分布隨非對角無序增強(qiáng)的變化情況。與硬核玻色氣體不同,費(fèi)米氣體的動量分布不存在零動量處的尖鋒[17]。在λod=0時,動量分空間中粒子分布的輪廓與實空間中的輪廓類似,都是圓弧狀。但不同的是,動量空間中的粒子分布曲線上有許多小突起,突起與凹陷交替出現(xiàn)。小突起的個數(shù)與系統(tǒng)中的粒子數(shù)對應(yīng),在粒子數(shù)比較少時,這種小突起可以比較清晰地看到,如圖6(a)內(nèi)插圖,圖中給出了L=1 000,N=20時系統(tǒng)的動量分布曲線。隨著非對角無序的增加,這種突起與凹陷將會從零動量點(diǎn)開始逐漸抹平變平滑。當(dāng)λod>1時,費(fèi)米氣體的動量分布曲線將會變得非常平滑。為了更清楚地展示這種規(guī)律性,我們對動量分布曲線的一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了分析。圖6(b)中可以清楚地看到,當(dāng)λod<1時,動量分布的一階導(dǎo)數(shù)會出非常多的振蕩。隨著非對角無序的增強(qiáng),這種振蕩會從零動量點(diǎn)開始,逐漸消失。當(dāng)λod>1以后,費(fèi)米氣體的動量分布的一階導(dǎo)數(shù)將變成非常平滑的曲線,這標(biāo)志著系統(tǒng)進(jìn)入了一個不同于擴(kuò)展態(tài)的新的量子態(tài)。

3 結(jié)論

本文研究了非對角無序?qū)喼C勢阱中一維晶格上的費(fèi)米氣體基態(tài)性質(zhì)的影響。通過嚴(yán)格的數(shù)值計算,我們可以看到,在無序強(qiáng)度λod=t附近,費(fèi)米氣體基態(tài)的IPR值會明顯增強(qiáng)。隨著非對角無序的增強(qiáng),在費(fèi)米氣體的實空間粒子分布中逐漸出現(xiàn)Anderson平臺。當(dāng)無序強(qiáng)度λod>t時,Anderson平臺將占主導(dǎo)并保持基本不變。此外,體系單粒子關(guān)聯(lián)及動量分布的計算結(jié)果進(jìn)一步表明,當(dāng)非對角無序強(qiáng)度λod>t時,簡諧勢阱中的費(fèi)米氣體將進(jìn)入一個新的量子態(tài)。