中考路徑長(zhǎng)問(wèn)題之直線型路徑

□福建省安溪銘選中學(xué) 劉菲芬

一、目標(biāo)點(diǎn)到定點(diǎn)的連線與定直線所夾角為定值（定夾角得直線）

【題型剖析】目標(biāo)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終到某個(gè)定點(diǎn)的連線與某條定直線的夾角保持不變，而這個(gè)定點(diǎn)經(jīng)常就是目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)，這時(shí)目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是該目標(biāo)點(diǎn)與起點(diǎn)所在的直線，即為直線型路徑。此時(shí)只要找到目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，路徑長(zhǎng)為以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)。

【范例點(diǎn)睛】例1：在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作DE的垂線交AB于點(diǎn)F。在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊，在EF上方作等邊△EFG，求邊EG的中點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。

【典例解析】通過(guò)B，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共圓可得∠HBE=30°，即目標(biāo)點(diǎn)H到定點(diǎn)B所在定直線BC的夾角為定值，而矩形ABCD中AB=3，AD=3得∠DBC=30°，因而點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為BD所在的直線。

【方法總結(jié)】①夾角法：1。找定點(diǎn)(一般為目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)或中點(diǎn)或某個(gè)臨界位置)；2。找目標(biāo)點(diǎn)的過(guò)程點(diǎn)(可鎖定題目所給圖形的位置點(diǎn))，然后連接過(guò)程點(diǎn)和定點(diǎn)，證明此連線與某條定直線夾角為定值；第三步：找目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，求這兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)度即可。另附②解析法：題目中出現(xiàn)了正方形、矩形、直角三角形、等邊三角形等為建立直角坐標(biāo)系奠定了天然條件時(shí)可用解析法來(lái)證明目標(biāo)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，并用兩點(diǎn)間的距離公式求路徑長(zhǎng)。第一步：以直角頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)建直角坐標(biāo)系；第二步：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，求解析式為一次函數(shù)，從而得到點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線。第三步：求起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求路徑長(zhǎng)。

二、目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為三角形（或梯形）中位線

（一）定距離得平行線

【題型剖析】此類題型中，過(guò)程點(diǎn)均為線段的中點(diǎn)，過(guò)程點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到定線段的距離始終保持不變，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得過(guò)程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與定線段平行，再加上中點(diǎn)即可證運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為三角形（或梯形）的中位線。另：此類題也可通過(guò)四點(diǎn)共圓的幾何證法，得角相等，再根據(jù)同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等，兩直線平行得中位線。

【范例點(diǎn)睛】例2：已知：如 圖 ，△ ABC∽ △ ADE，∠BAC＝ ∠DAE＝90°AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，設(shè)P為線段DE的中點(diǎn)，求在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。

【方法總結(jié)】第一步：求出過(guò)程點(diǎn)到定線段的距離（或以過(guò)程點(diǎn)為頂點(diǎn)的角與某定角）相等，根據(jù)平行線的判定得出過(guò)程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與定直線平行。第二步：找出過(guò)程點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)中位線的定義，判斷其運(yùn)動(dòng)路徑為三角形（或梯形）的中位線。第三步：利用中位線的性質(zhì)求出路徑長(zhǎng)。

（二）到兩定點(diǎn)距離為定值得垂直平分線

【題型剖析】此類題的目標(biāo)點(diǎn)常為某定線段的中點(diǎn)，而目標(biāo)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與另一定線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，即目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在該線段的垂直平分線上，從而可知該目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為直線型路徑，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)都為定線段的中點(diǎn)，得目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為這兩線段所構(gòu)成的三角形(或梯形)的中位線。

【范例點(diǎn)睛】例3：在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1。將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF。探究：將直尺從圖中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止。在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。

【典例解析】解：如圖設(shè)線段EF的中點(diǎn)為O，連接OP，OB，∵在Rt△EPF中OP=EF，在Rt△EBF中OB=

【方法總結(jié)】第一步：證目標(biāo)點(diǎn)到某定線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等（目標(biāo)點(diǎn)常為兩個(gè)直角三角形公共斜邊上的中點(diǎn)），得出目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在該線段的垂直平分線上，從而印證直線型路徑；第二步：找出目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)為三角形（或梯形）兩邊上的中點(diǎn)，得出目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為三角形（或梯形）的中位線；第三步：利用中位線定理求出路徑長(zhǎng)。