基于直覺模糊的雙誤差“邏輯與”多粒度粗糙集

葉楚瑤，汪小燕

（安徽工業(yè)大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽馬鞍山243032）

經(jīng)典粗糙集理論模型是由波蘭學(xué)者Pawlak[1]于1982年提出的一種不完整、不確定的數(shù)據(jù)表達方式。之后，衍生出許多相關(guān)理論，如在一定范圍內(nèi)允許分類誤差的程度粗糙集及變精度粗糙集理論、從多個層次出發(fā)分析問題的多粒度粗糙集理論等。程度粗糙集及變精度粗糙集解決了經(jīng)典粗糙集分類時過于嚴(yán)格的問題，在處理一些實際決策問題時允許存在一定程度的誤差。因此，程度粗糙集及變精度粗糙集具有較高的應(yīng)用價值。

直覺模糊集[2]同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度信息，拓展了傳統(tǒng)模糊集。郭慶等[3]從多粒度視角下，利用優(yōu)勢關(guān)系研究了直覺模糊信息系統(tǒng)的粗糙集和決策，不涉及到分類誤差；汪小燕等[4]考慮分類誤差，提出變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集；陳華峰等[5]利用等價關(guān)系研究了變精度與程度“邏輯與”多粒度粗糙集，提出一種雙量化多粒度粗糙集模型，不適合直覺模糊信息系統(tǒng)；紀(jì)霞等[6]在經(jīng)典粗糙集基礎(chǔ)上，不涉及分類的相對誤差和絕對誤差，考慮粒度權(quán)值，提出了粒度加權(quán)的多粒度直覺模糊粗糙集模型；胡猛等[7]提出了直覺模糊序信息系統(tǒng)下基于精度與程度的單粒度粗糙集；薛占熬等[8]提出了基于優(yōu)勢關(guān)系的程度粗糙直覺模糊集，也是一種單粒度粗糙集。本文基于直覺模糊信息系統(tǒng)，結(jié)合優(yōu)勢關(guān)系，同時兼顧分類的相對誤差和絕對誤差，提出基于直覺模糊的變精度與程度“邏輯與”樂(悲)觀多粒度粗糙集，給出一種新的二進制矩陣，并利用新矩陣計算所提多粒度粗糙集的上下近似集，對多粒度粗糙集的研究有重要意義。

1 相關(guān)概念

定義1[2]設(shè)U 為一給定論域，稱A=(uA(x),vA(x))( x ∈U)為U 上的直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中uA:U →[0,1],vA:U →[0,1]且滿足0 ≤uA(x)+vA(x)≤1，uA(x)和vA(x)為U 中元素x 屬于A 的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，U 中所有IFS 記為IFS(U)，稱πA(x)=1-uA(x)-vA(x)，表示x 屬于A 的猶豫度。當(dāng)πA(x)=0，則A退化成傳統(tǒng)的模糊集。

定義2[9]設(shè)a1=＜u1,v1＞與a2=＜u2,v2＞，為兩個直覺模糊數(shù)(intuitionistic fuzzy number，IFN)，則a1≥a2且僅當(dāng)u1≥u2，且v1≤v2。

定義3[3]設(shè)I=(U,AT,V,f) 為直覺模糊信息系統(tǒng)(intuitionistic fuzzy information system，IFIS)，AT=A ?D，其中A 為條件屬性集，D 為決策屬性集，定義I 中的優(yōu)勢類。

定義4[10]設(shè)I=(U,AT,V,f)為一信息系統(tǒng)，X?U，k ∈N，那么X 依程度k 的上下近似集有如下定義:

在粒計算的觀點中，傳統(tǒng)粗糙集由論域上單個粒度定義，由Qian等[12]提出的多粒度粗糙集采用一族而非一個等價關(guān)系來進行概念的定義，其中包括樂觀多粒度粗糙集與悲觀多粒度粗糙集。

定義6[12]設(shè)I=(U,AT,V,f)為一信息系統(tǒng)，A={A1,A2,…,Am}為AT的m 個屬性子集，對于?X ?U 定義X 關(guān)于屬性子集A 的樂觀多粒度粗糙集的下近似、上近似分別為:

定義7[12]設(shè)I=(U,AT,V,f)為一信息系統(tǒng)，A={A1,A2,…,Am}為AT的m 個屬性子集，對于?X ?U 定義X 關(guān)于屬性子集A 的悲觀多粒度粗糙集的下近似、上近似分別定義為:

2 直覺模糊信息系統(tǒng)下變精度與程度“邏輯與”多粒度粗糙集

定義8設(shè)I=(U,AT,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS，A={A1,A2,…,Am}為AT的m 個屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β ∈[ 0,0,5) ，(i=1,2,3,…,n)表示I 中的優(yōu)勢關(guān)系,則對?X ?U，直覺模糊信息系統(tǒng)的X 變精度與程度的“邏輯與”粗糙集的下近似、上近似分別定義為:

定理1設(shè)I=(U,AT,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS，?X?U，β ∈[ 0,0.5 )，k 為任意自然數(shù)，（x)為I上的優(yōu)勢類，則有:

定義9設(shè)I=(U,AT,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS，A={A1,A2,…,Am}是AT的m 個屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β ∈[ 0,0.5 )，(i=1,2,3,…,n)表示I 中的優(yōu)勢關(guān)系，則對?X ?U，直覺模糊信息系統(tǒng)的X 變精度與程度的“邏輯與”樂觀多粒度粗糙集的下近似、上近似分別定義為:

定義10設(shè)I=(U,AT,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS，A={A1,A2,…,Am}為AT的m 個屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β ∈[ 0,0.5 )，(i=1,2,3, …, n)表示I 中的優(yōu)勢關(guān)系，則對?X ?U，直覺模糊信息系統(tǒng)的X 變精度與程度的“邏輯與”悲觀多粒度粗糙集的下近似、上近似分別定義為:

3 變精度與程度“邏輯與”多粒度粗糙集的二進制矩陣

定義11設(shè)I=(U,AT,V,f)為直覺模糊信息系統(tǒng)IFIS，A={A1,A2,…,Am}為AT的m 個屬性子集，U/D={D1,D2,…,Dn}，k為任意自然數(shù)，β ∈[ 0,0.5 )，i(i=1,2,3,…,n)表示I 中的優(yōu)勢關(guān)系，則變精度與程度的“邏輯與”多粒度粗糙集的二進制矩陣M={mij(y)}(mij(y))表示(xi,Aj)單元格中的第y 位，y ∈[1,n])定義如下:

4 案例分析

表1[3]為一完備的直覺模糊決策表。其中:xi∈U(i=1,2,3,4,5）為被評估的對象；a1,a2,a3,a4,a5為對象的各個評估指標(biāo)即條件屬性；A1={a1,a2},A2={a3,a4},A3={a5}分別為3 個專家對評估對象感興趣的指標(biāo)；j5i0abt0b為決策屬性集合，專家的決策等級分為1，2兩級。所有專家的評估值均用IFN表示。

表1 直覺模糊決策Tab.1 Intuitionistic fuzzy decision

U 中每個元素的優(yōu)勢類如下:

計算優(yōu)勢關(guān)系下的變精度與程度“邏輯與”多粒度粗糙集，選取k=1，β=0.4。根據(jù)定義11構(gòu)建二進制矩陣，如表2。

由推論3可知

由推論5可知

表2 二進制矩陣Tab.2 Binary matrix

由推論4可知

由推論6可知

5 結(jié) 論

基于直覺模糊信息系統(tǒng)，對變精度與程度“邏輯與”粗糙集進行研究，同時考慮相對分類誤差和絕對分類誤差，提出在優(yōu)勢關(guān)系下的變精度與程度“邏輯與”多粒度粗糙集的上下近似集定義，設(shè)計一種新型二進制矩陣，通過二進制矩陣直觀地求取多粒度粗糙集上下近似集，最后通過一個案例驗證了該理論的正確性。