基于問題鏈的高三數(shù)列不等式證明設(shè)計

方愛珍

【摘要】《普通高中課程標準》提出把“立德樹人”的要求落實到課堂教學中，以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為教學目的。數(shù)學育人要靠數(shù)學內(nèi)在的力量，即從課堂教學中落實核心素養(yǎng)。學生對數(shù)學存在恐懼心理，常常聽得懂，做不來?！笆谌艘贼~不如授人以漁”，數(shù)學教學以“問題鏈”形式引導學生主動探究，積極思考，合作交流在學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的過程中，培養(yǎng)學生思維能力。本文以問題鏈在高三數(shù)學數(shù)列復(fù)習中的運用展開研究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)列不等式 問題鏈

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-171-02

蘇霍姆林斯基也曾說過：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，即希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者，研究者，探索者”。從心理學角度分析，知識的獲得是一種主動的認知活動，學習者不應(yīng)該是信息的被動接受者，而應(yīng)該是知識獲取過程的主動參與者。所以在數(shù)學課堂教學中，讓學生的思維動起來，體驗數(shù)學問題從產(chǎn)生到解決的過程尤為重要。高三復(fù)習要避免“炒冷飯”式的重復(fù)，所以“問題鏈”教學模式，引導學生將知識轉(zhuǎn)化為探索問題的問題點，能力點形成問題鏈，激發(fā)學生的數(shù)學學習的興趣，提高學生參與課堂的機會。通過知識點的設(shè)疑、質(zhì)疑、激思、解疑，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高學生核心素養(yǎng)。

一、問題鏈的概念及作用

“問題鏈”是指課堂上呈現(xiàn)給學有序的主干問題串.它既為學生提供數(shù)學學習的框架，讓學生能經(jīng)過這一問題鏈中獲得高水平的數(shù)學知識，同時問題鏈中的每一個問題及問題間的跨度又為學生的高水平思維提供了可能性。通俗地講，教師為了實現(xiàn)教學目標、教學內(nèi)容，根據(jù)學生已有的知識水平，針對學生可能出現(xiàn)的困惑設(shè)計一系列問題，以知識的形成、發(fā)現(xiàn)、探索和解決為主線培養(yǎng)學生思維，通過師生互動復(fù)習數(shù)學知識，使學生積極參與到探索復(fù)習活動中，形成自主復(fù)習的能力。問題鏈以問題為基礎(chǔ)，以學生為中心，激發(fā)起學生探索欲望和思考的積極性，為學生提供了發(fā)現(xiàn)、思考、探索、實踐、運用的機會，能使學生在自主學習、合作交流中提高學生對高三數(shù)學復(fù)習的積極性和主動性。其次，問題鏈教學還能啟發(fā)學生數(shù)學思維，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

二、基于問題鏈的高三數(shù)學復(fù)習——以數(shù)列不等式證明為例

1.組織合作交流，啟發(fā)式問題鏈

在開始復(fù)習前，教師可以組織學生分組總結(jié)數(shù)列這一單元知識，從基礎(chǔ)知識.基本問題、基本方法、數(shù)學思維四個方面繪制思維導圖，數(shù)列復(fù)習已具備等差等比數(shù)列基本量計算、數(shù)列通項方法、求和方法，為問題鏈的設(shè)計提供準確依據(jù)。在數(shù)列不等式證明中，引入人口較低的可以直接求和，但學生卻不能輕易解決的的數(shù)列求和證明不等式。

問題1數(shù)列常用求和方法有哪些？

設(shè)計意圖：對于學生來說，數(shù)列只具備常規(guī)的通項方法，求和方法，如等差等比數(shù)列，裂項法，錯位相減法，倒序相加法，分組求和法。引導學生觀察通項，學會排除法，從已有方法中尋找相類似的形式。

問題2觀察數(shù)列通項的分母形式有什么特點？能不能找到相鄰兩項間的關(guān)系？

設(shè)計意圖：觀察分母會發(fā)現(xiàn)，如果分子分母同時約去2得到

，而此時的分母前后有遞進關(guān)系，一步一步向裂項法靠攏。

問題3像上式這樣的形式，類似于相鄰兩項有遞進關(guān)系的式子，試試能不能求和？如果能，用什么求和形式？

設(shè)計意圖：引導學生大膽猜想，試用已有的裂項方法解決新問題，完成從知識到解決新問題的跨越。

問題1觀察所求式子通項是什么形式？

設(shè)計意圖：不管所求式子能否求和，引導學生觀察通項的特點，來決定是否能夠求和或放縮。

問題2形如

不能求和的通項，顯然不能求和，結(jié)論卻要用求和形式，可以把通項轉(zhuǎn)化成能求和的通項嗎？

問題3不能求和時，一般考慮放縮法，那么前面例1帶來的啟示是什么？

設(shè)計意圖：利用例1的引導作用，啟發(fā)學生用放縮思維去改變分母的大小，讓分母的兩個因式有遞進關(guān)系，裂項達到求和的目的。激發(fā)學生探索欲望，學會自我分析已有知識方法，通過遷移解決新的問題，提出對于數(shù)學不能求和時，對通項進行適當變形。

2.借助數(shù)列變換，遞進式問題鏈

數(shù)列復(fù)習的主要內(nèi)容是通項與求和，學生對常規(guī)題型基本能掌握，但對陌生問題或不等式形式很容易找不到方向。其實知識間有一定的聯(lián)系，不等式也是從等式中變形而來。教師可以從基本知識人手，通過知識點變換的方式豐富問題鏈的內(nèi)容，引導學生主動探索數(shù)列知識間的聯(lián)系，幫助學生鞏固復(fù)習教學知識，以此來深化學生對數(shù)列的理解和掌握。

問題1如果把條件中的絕對值去掉，不等號改成等號，會做嗎？

設(shè)計意圖：數(shù)列的不等式問題，學生比較害怕。但事實上不等式也是等式的一種變形，把不等式變?yōu)榈仁教幚?，降低思維難度，在學生最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題.把陌生情境轉(zhuǎn)化為熟悉問題。

問題2.觀察條件和結(jié)論，條件中的aⁿ怎么從絕對值中跳出來呢？

設(shè)計意圖：教學生聯(lián)系條件和結(jié)論，結(jié)論需要什么，我們要從條件中變形得到，從而想到要用絕對值三角不等式處理。 .由于學生已有問

題1的鋪墊，會用構(gòu)造法求通項，過渡到不等式的證明，也滲透了放縮的基本方向：不等式問題與等式之間的密切聯(lián)系。

3.激發(fā)深度思維，逆向問題鏈

由于前兩個問題都是著眼于數(shù)列的通項，從條件出發(fā)，把陌生通項與似曾相識的裂項法的通項轉(zhuǎn)化。問題有時候也常常從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題的突破口。

第一小題直接構(gòu)造數(shù)列求得 看通項公式顯然不能求和，要用放縮法。而放縮的方向是難點，所以從通項上看，它接近一個等比數(shù)列，從結(jié)論上分析，也像是等比數(shù)列求和.所以設(shè)置如下問題：