數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵意蘊(yùn)及培養(yǎng)策略

顧曉東

【摘 ? 要】數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是指依托數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)兩者的互化互用，使數(shù)量的精確刻畫和圖形的直觀表征和諧統(tǒng)一，從而有效地解決問題。小學(xué)數(shù)學(xué)教材從以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個維度廣泛滲透了數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)中教師要做到適度引領(lǐng)、循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從體驗(yàn)感受出發(fā)，通過積累走向初步遷移運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;教學(xué);培養(yǎng)策略

基本思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的“四基”之一。數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的數(shù)學(xué)概念和技能，它需要在教學(xué)中長期滲透和影響才能夠形成。抽象、推理和建模是三大基本數(shù)學(xué)思想，另外還有如分類、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。其中數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的意義。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵意蘊(yùn)

數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)?？陀^世界中現(xiàn)實(shí)具體的數(shù)量及其關(guān)系被抽象為數(shù)學(xué)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)，主要以符號化語言呈現(xiàn)，包括數(shù)、數(shù)量關(guān)系式、運(yùn)算式、方程、函數(shù)等;物質(zhì)的空間形式則被抽象為數(shù)學(xué)中的幾何結(jié)構(gòu)，主要包括幾何圖形、坐標(biāo)系、函數(shù)圖象等?！皵?shù)”和“形”存在著密切聯(lián)系，在內(nèi)容上相互關(guān)聯(lián)，方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚非常重視“數(shù)形結(jié)合”，他說：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！毙蜗蟆⑸鷦?、深刻地指出了“數(shù)形結(jié)合”思想的價值，也揭示了“數(shù)形結(jié)合”思想的本質(zhì)，是解決問題的一種特殊思想方法。

“數(shù)”“形”之間往往存在著對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系是數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，體現(xiàn)為兩種互補(bǔ)的思維方式，即“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”。前者指以“形”為手段、“數(shù)”為目的，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，化抽象為直觀;后者指以“數(shù)”為手段、“形”為目的，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，化直觀為精確。[1]

需要指出的是，數(shù)學(xué)意義上的“形”，主要是指幾何圖形和圖象。劉加霞認(rèn)為，借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，但這一方法與數(shù)學(xué)意義上的數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵不一致。[2]比如學(xué)習(xí)3+2=5時，通過擺實(shí)物或幾何圖片來幫助學(xué)生理解算理，這里的實(shí)物、幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合中的“形”，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小，并沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化特征，甚至不用圖片而用小棒等材料也能起到相同的作用。因而這種直觀模型至多只能是數(shù)形結(jié)合思想的雛形。如果用數(shù)軸，使數(shù)和形在數(shù)軸上形成對應(yīng)關(guān)系，從而進(jìn)行累加得出結(jié)果，那么這才是真正意義上的數(shù)形結(jié)合。當(dāng)然，在準(zhǔn)確把握數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)的基礎(chǔ)上，再從廣義的角度來理解數(shù)形結(jié)合也未嘗不可，即借助實(shí)物、圖形來理解數(shù)、運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系，都可以理解為是一種數(shù)形結(jié)合。[3]下文中所提及的數(shù)形結(jié)合均指廣義層面上的數(shù)形結(jié)合。

小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，受知識經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，常常很難用語言解釋清楚一些概念、性質(zhì)以及一些較復(fù)雜的實(shí)際問題的解決，這時教師利用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形圖象實(shí)現(xiàn)直觀表達(dá)，就可使抽象問題直觀化、繁難問題簡捷化。小學(xué)階段是滲透和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的初始階段，教師應(yīng)加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵特質(zhì)的研究，善于結(jié)合合適的教學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合來進(jìn)行合理準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)思考，讓原本需要抽象思維解決的問題可以借助形象思維得以解決，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的理解，提高問題解決能力，同時也有利于小學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，有利于其數(shù)感、幾何直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理等學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透應(yīng)用

作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的滲透，下面從“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個維度，分類列舉一些滲透應(yīng)用例子。

（一）“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的“以形助數(shù)”

1.數(shù)概念教學(xué)中以形助數(shù)促理解

認(rèn)數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要部分，自然數(shù)的產(chǎn)生和形成包含著數(shù)形結(jié)合的基本思想。如自然數(shù)在抽象過程中，先用半抽象半直觀的圖形符號來取代具體事物，最終用抽象數(shù)字來表示，在這個認(rèn)識過程中，以形助數(shù)的思想方法得到了自然運(yùn)用。再如計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生和形成，其原始的想法也體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。人們在記錄捕獲獵物數(shù)量時，先用小石子記錄，隨著數(shù)量的增多，每滿十顆小石子就換成一顆稍大一些的中石子，滿十顆中石子又換成再大一些的大石子……在這個“形”的變化過程中產(chǎn)生了自然數(shù)的不同計(jì)數(shù)單位。在研究數(shù)的組成時，教材通常用若干個小正方形來直觀表示多個“一”，用多個直條（10個小正方形組成1條）來表示若干個“十”，用一個大正方形（10×10個小正方形）來表示一個“百”，這種數(shù)形結(jié)合的方式能夠讓學(xué)生直觀地理解計(jì)數(shù)單位和數(shù)的組成。

隨著學(xué)生數(shù)概念的不斷拓展和豐富，教材引入了數(shù)軸（數(shù)線），讓學(xué)生理解自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等各種數(shù)都能在數(shù)軸上找到對應(yīng)的點(diǎn)，這為數(shù)的可觀測、可比較提供了直觀的圖象支撐。數(shù)可以視為點(diǎn)，點(diǎn)可以視為數(shù)，為數(shù)的運(yùn)算概念理解和法則解釋提供了直觀的幾何化支持。

2.運(yùn)算教學(xué)中以形助數(shù)探算理

學(xué)生在掌握計(jì)算法則、理解算理時也需要借助于直觀的“形”。不管學(xué)習(xí)的是加減法還是乘除法，是整數(shù)的運(yùn)算還是分?jǐn)?shù)、小數(shù)的運(yùn)算，都離不開圖形（包括小棒、小方片等實(shí)物），如自然數(shù)的加減法，就可以通過小棒、小方片等實(shí)物的操作來感受運(yùn)算的意義，探索運(yùn)算的方法，形成運(yùn)算的技能;在探索分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算方法時，更是需要借助線段、長方形等幾何圖形來幫助學(xué)生進(jìn)行自主探索，學(xué)生在具體可見的圖形操作中對抽象的算法有了直觀的理解。再如探索乘法分配律時，學(xué)生在不完全歸納中認(rèn)識了規(guī)律。教師為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解規(guī)律的本質(zhì)，在教學(xué)中通常也會采用“以形助數(shù)”的方法，利用長方形圖展開數(shù)形結(jié)合的推理，培養(yǎng)學(xué)生初步的演繹推理能力。

3.問題解決中以形助數(shù)悟思路

第二環(huán)節(jié)：體會“圖形”的適切性。教師改動例題數(shù)據(jù)：“另一臺拖拉機(jī)每小時耕地[34]公頃，[25]小時耕地多少公頃？”繼續(xù)讓學(xué)生用自己喜歡的圖形來表示題意并求出結(jié)果。此時仍有一些學(xué)生嘗試畫線段圖來思考，但是感覺很麻煩，不能直觀地表達(dá)出“[34]公頃的[25]是多少公頃”。而畫長方形圖的學(xué)生，則能夠像解決上一題那樣很自然順暢地畫出圖形（如圖3），并作算理推導(dǎo)。進(jìn)而，教師啟發(fā)學(xué)生對兩種圖進(jìn)行比較和選擇，學(xué)生體會到針對這個具體問題，采用面積圖更容易表達(dá)。這個教學(xué)過程讓學(xué)生初步積累了由數(shù)到形轉(zhuǎn)譯時要注意選取合適圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生今后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題。

2.提高學(xué)生對“形”的特征感知和數(shù)式表述等直觀推理能力

“以形助數(shù)”包含兩個方面，一是由數(shù)及形作直觀構(gòu)造，二是由形對數(shù)作分析推理。教師要指導(dǎo)學(xué)生敏銳、準(zhǔn)確地把握圖形的整體特征，開展后續(xù)的比較、分析和想象等直觀推理活動，以洞察數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，并由“形”還原到“數(shù)”，獲取解決問題的基本思路。

如這樣一道題：“一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，這批鋼材有多少噸？”這個問題中條件比較少，學(xué)生解答存在一定困難，教師可以啟發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想來嘗試解決問題。學(xué)生受到以往用長方形面積來表征乘法問題的啟發(fā)，在教師的指導(dǎo)下畫出了直觀圖（如圖4，為了文中表述需要，交叉點(diǎn)標(biāo)上了字母）。圖中，AG表示小卡車每輛裝載噸數(shù)、AE表示小卡車45輛，AD表示大卡車每輛裝載噸數(shù)，AB表示大卡車36輛，則GD表示大卡車比小卡車每輛多裝4噸，BE表示小卡車比大卡車多9輛，長方形ABCD和AEFG的面積都表示這批鋼材的噸數(shù)。

學(xué)生接下來就需要尋找圖形中各部分組成結(jié)構(gòu)與面積的關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)小長方形BEFH與小長方形GHCD面積是相同的（因?yàn)閮烧叻謩e加上長方形ABHG，都表示這批鋼材的噸數(shù)），學(xué)生根據(jù)已知的GD邊和DC邊的長度得出兩個小長方形的面積為4×36=144（噸）;再根據(jù)BE是9，可以求出邊AG=EF為144÷9=16（噸），這就是小車每輛裝載的噸數(shù);最后可以算出這批鋼材的噸數(shù)是16×45=720（噸）。

上述解題過程很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，使原先比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得直觀，當(dāng)然推理也很關(guān)鍵，需要學(xué)生依靠“圖感”去發(fā)現(xiàn)和分析。因此，滲透和培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想時，教師不僅要關(guān)注學(xué)生的構(gòu)圖能力，還應(yīng)結(jié)合各種具體的實(shí)際問題培養(yǎng)學(xué)生的“用圖”能力。

（三）遷移應(yīng)用期：在遷移和構(gòu)造中提升數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能力

隨著學(xué)生對運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題優(yōu)越性的體會不斷加深，經(jīng)驗(yàn)不斷豐富，他們將從聽教師指令嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，逐漸走向在自我意識支配下主動運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法。在遇到一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生能夠有意識地進(jìn)行數(shù)形互譯，作出直觀分析推理，尋求巧妙的解題方法。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想的主動運(yùn)用往往需要由一些比較復(fù)雜的、用常規(guī)思路較難解決的數(shù)學(xué)問題來引發(fā)，因而在這個階段，教師要有意識地提供給學(xué)生一些能利用數(shù)形結(jié)合思想解決的典型題，讓學(xué)生結(jié)合以往解決問題的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地以形助數(shù)或以數(shù)解形，從“被動用”走向“主動用、創(chuàng)造用”。

例如，計(jì)算[12]+[14]+[18]+[116]+[132]時，學(xué)生感受到采用常規(guī)的異分母分?jǐn)?shù)加法法則來計(jì)算十分麻煩，便引發(fā)巧算妙算的念頭。想到異分母分?jǐn)?shù)加減法是借助平均分圖形來幫助思考的，所以他們能自然地將這種數(shù)形結(jié)合的方法遷移運(yùn)用。學(xué)生利用題中前后相鄰兩個分?jǐn)?shù)之間的特殊關(guān)系，比較輕松地實(shí)現(xiàn)了構(gòu)圖（如圖5）。借助直觀圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這5個分?jǐn)?shù)的和比“1”少了[132]，于是這個特殊的連加就轉(zhuǎn)化為1-[132]，化繁為簡，巧妙地解決了問題。

小學(xué)階段運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時，“以形助數(shù)”居多，“以數(shù)解形”較少。教師教學(xué)時應(yīng)以滲透、啟發(fā)為主，讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合解題的一般方法，為他們今后深入運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]段安陽，嚴(yán)微.從“形同虛設(shè)”到“美麗邂逅”——“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)涵詮釋與實(shí)踐重構(gòu)[J].教育科學(xué)論壇，2019（4）：54-57.

[2]劉加霞.“數(shù)形結(jié)合”思想及其在教學(xué)中的滲透（上）[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2008（4）：47-48.

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