由部分到整體 從方法到策略

張梅英 韓雪

【摘 ? 要】“租船問題”是一類基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的應(yīng)用問題，對于培養(yǎng)學生的合情推理能力與應(yīng)用意識有著重要的作用。教師可以從“基于信息提出數(shù)學問題”“嘗試解決完善思路”“多維練習優(yōu)化思路”三個方面展開教學，讓學生在經(jīng)歷從部分到整體的過程中，不斷豐富解題策略。

【關(guān)鍵詞】租船問題;問題群;方法;策略

“租船問題”是一類基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的應(yīng)用問題。教師在實際教學中應(yīng)注重結(jié)合具體情境培養(yǎng)學生的合情推理能力與應(yīng)用意識。那么，怎樣組織教學，讓學生體會到“租船問題”的現(xiàn)實意義？如何結(jié)合具體的事例總結(jié)出尋找“最優(yōu)租船方案”的一般步驟？如何結(jié)合具體的情境，選擇合理的解決問題的方案？筆者進行了教學實踐。

一、基于信息提出數(shù)學問題

人教版教材中有關(guān)基于數(shù)量關(guān)系的較復(fù)雜的應(yīng)用問題，步驟相對較多，體現(xiàn)了現(xiàn)實問題的復(fù)雜性。如“租船問題”，要完整地表述整個解答過程，至少需要經(jīng)歷9個一步計算，這遠遠超過了《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中關(guān)于四則混合運算的步數(shù)規(guī)定——兩步運算為主，不超過三步。那么，如何引導學生進行這么多步驟的分析呢？筆者認為，可先對信息進行整理分類，然后選擇有聯(lián)系的信息盡量多地提出問題，再把問題進行分類，尋找聯(lián)系，形成問題串，解決問題的思路就在這個過程中形成了。

（一）分析信息提出問題

教師課件出示“租船問題”中的主題圖（教材第10頁例5），并提出問題：“從圖中你能得到哪些數(shù)學信息？”指名學生回答，相互補充完善，得到如下信息：①一共有32人。②大船每條30元，限乘6人。③小船每條24元，限乘4人。教師追問：“根據(jù)這些信息你能提出哪些數(shù)學問題？”學生提出如下問題：①租一條大船每人需要多少錢？②租一條小船每人需要多少錢？③如果32人全部坐小船，共需多少錢？④如果32人全部坐大船，共需多少錢？⑤怎樣租船最劃算？

只出示教材例題中的信息，讓學生在梳理信息后提出各個層次的問題，這實際上是基于數(shù)量關(guān)系解決問題中利用綜合法分析問題的思路。此時還沒有具體要解決問題的指向，學生可以更開放地提出問題。由于信息較多，有一些問題是選擇了其中的部分信息提出的，有一些則是在聽到了別的同學回答后提出的。

（二）比較問題歸類整理

上面的五個問題中，第⑤個最有價值，其余的大部分是解決第⑤個問題的中間問題。把以上的問題進行歸類整理，可逐步明晰這些問題之間的層次與關(guān)系。

教師請學生觀察問題群，提出新的要求：“把上面的問題分一分類，可以分成哪幾類？為什么？”學生獨立思考后先在小組中交流，最后反饋。

實際教學中有兩類整理的結(jié)果，如圖1與圖2所示。教師請學生分別說一說這樣分類的理由。

[①租一條大船每人需要多少錢？

②租一條小船每人需要多少錢？

③如果32人全部坐大船，共需多少錢？

④如果32人全部坐小船，共需多少錢？

⑤怎樣租船最劃算？

] [①租一條大船每人需要多少錢？

②如果32人全部坐大船，共需多少錢？

③租一條小船每人需要多少錢？

④如果32人全部坐小船，共需多少錢？

⑤怎樣租船最劃算？

通過問題分類，學生發(fā)現(xiàn)不論如何分，總是要把第⑤個問題分成獨立的一類，而且前面兩類問題，只是涵蓋了其中的部分信息，或者只是求出一個結(jié)果。而第⑤個問題卻要綜合應(yīng)用上面的一些問題，更有價值。

（三）嘗試解決規(guī)劃思路

依據(jù)信息提出問題與整理問題，學生初步感知了問題之間的聯(lián)系，并通過比較發(fā)現(xiàn)怎樣的問題更有價值，也就是說第⑤個問題才是“租船問題”。在此基礎(chǔ)上，教師引導學生解決最有價值問題，并逐步概括出解決“租船問題”的基本思路。

生1：先判斷租哪一種船便宜就租哪一種。

師：大家能夠依據(jù)生1的回答，從其余的四個問題中選出需要的問題，并把它們排一排嗎？

生2：我的順序是①②→③→⑤，就是先算出兩種船的座位單價，哪一種便宜就租哪一種。

生3：我的順序是②④→⑤，先算出全租大船或小船的總費用，再比較哪一種劃算。

教師組織辨析生2、生3的思路哪一種更合理，討論后認同生2的思路。

由此，筆者認為“租船問題”的教學，不僅僅是為了解決“怎樣租更便宜”的問題，而是要讓學生體會到現(xiàn)實問題的復(fù)雜性，培養(yǎng)學生依據(jù)信息發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及評價問題的能力。

二、嘗試解決完善思路

顯然，利用生2的思路，并不能保證解決問題，但可以為正確解決問題提供進一步思考的生長點。因此，教師可以讓學生用生2的思路嘗試解決，然后結(jié)合圖示進行評析，以完善思路。

（一）依據(jù)圖示發(fā)現(xiàn)問題

實際教學中有如下兩種計算過程（如圖3、圖4）。請學生說說它們有哪些相同與不同的地方。學生回答后概括，第一步是判斷——優(yōu)先租哪一種船;第二步是計算——全租這一種船的總價。

教師出示圖5，要求學生結(jié)合圖示進行辨析，發(fā)現(xiàn)問題。雖然圖3中的租金便宜，但實際上租大船時，第6條船上會有空位，所以應(yīng)該按照圖4中的運算方法。

在此基礎(chǔ)上，教師進一步追問：請觀察第6條船，你發(fā)現(xiàn)什么問題？在教師的啟發(fā)下，學生發(fā)現(xiàn)第6條船上只有兩位同學，思考如果換成小船是否可以便宜一些。

（二）調(diào)整過程完善思路

依據(jù)學生發(fā)現(xiàn)的問題，教師請學生獨立完成。有部分學生按照圖6的方法解決問題，教師邊巡視邊提示：“能不能換成小船后沒有空位呢？試一試，會不會更省錢？”依據(jù)教師的提示，學生結(jié)合圖示有了圖7的計算方法。

經(jīng)過比較才能夠說明哪一種租船方案更便宜。學生通過對四種不同的租船方案的比較，可以得到圖7的租船方案是合理的，同時也是最便宜的。

（三）回顧過程總結(jié)步驟

從依據(jù)信息提出問題，到整理問題嘗試解決，再到完善思路形成結(jié)果，整個過程均是依據(jù)學生解決租船問題應(yīng)有的思維過程而設(shè)計的。教師可以整體展示從圖3至圖7的過程，請學生四人小組交流討論，最后逐步形成如下步驟。

一判斷。判斷租哪一種船更便宜。

二計算。全租便宜的船需要多少錢？注意沒有坐滿的也要按整條算租金。

三調(diào)整。對不坐滿情況進行調(diào)整。

四比較。比較各種方案，找到最省錢的方案。

對于調(diào)整的思路，按教材中的例題，均要調(diào)整到?jīng)]有空位才是最省錢的，但也應(yīng)引導學生思考，是否有把多出來的人調(diào)整到另外一種船后，雖然還有空位也是最省錢的情況。

三、多維練習優(yōu)化思路

“租船問題”其實是“租船類問題”中的一個特例。因此，在后續(xù)練習過程中，在基本練習的基礎(chǔ)上，要通過變式練習使學生的思維更縝密，改變情境，擴大其應(yīng)用范圍，體會利用數(shù)學知識解決問題的模型化與復(fù)雜性。

（一）基本練習鞏固步驟

“租車問題”與“租船問題”在問題的情境與結(jié)構(gòu)上基本相同?？勺寣W生獨立解決后反饋評析，隨著問題情境的變化，逐步從“租船問題”向“租船類問題”轉(zhuǎn)變。

學校要租車組織師生春游，現(xiàn)有14名老師和326名學生參加。大車可坐40人，租金900元;小車可坐30人，租金750元。請問：怎樣租車最劃算？

本題中包含的信息量更大，總?cè)藬?shù)沒有直接告知，大車每人的租金不是整數(shù)，這些變化適當增加了“租船類問題”的復(fù)雜性。但在解決問題的過程中可以發(fā)現(xiàn)，它們的思考步驟是相同的。

（二）變式練習縝密思維

由于有前面兩題的經(jīng)驗，學生會認為都要調(diào)整到如圖7的形式才是最省錢的。這樣，把原來需要多種方案比較的過程，變成了直接遷移一種方案得出結(jié)論。顯然，這是一種不完全歸納，需要用實際例子加以糾正。

教師出示如下問題，請學生獨立完成后反饋交流。

要運輸32噸煤，用大卡車運輸每次最多可運10噸，收費300元;用小卡車運輸每次最多可運4噸，收費160元。請問：怎樣租車最劃算？

當學生直接將租車方案調(diào)整成如圖7的形式，教師出示如圖6的調(diào)整形式：3輛大車1輛小車，300×3+160×1=1060（元）。通過比較發(fā)現(xiàn)這樣的調(diào)整更省錢。教師進一步追問：“那么有沒有可能不進行調(diào)整，直接都租大車便宜的情況呢？”在學生感到困惑、不能肯定的時候，教師把總運煤噸數(shù)改為“36噸”。學生計算三種租車方案后，發(fā)現(xiàn)只租大車反而最便宜。

上面的例子說明，數(shù)學思維的優(yōu)化并不是簡單的簡化，需要建立在縝密的思維過程中。在平時的學習過程中，當學生在解決問題時從特例中歸納出不合理的思路時，教師要提供變式，防止學生思維出現(xiàn)簡單化現(xiàn)象。

（三）改變情境擴大應(yīng)用

從基礎(chǔ)到變式，讓學生比較多種可能的方案是解決“租船類問題”的基本步驟。在此基礎(chǔ)上，進一步改變情境，把多方案的比較作為解決問題的一般策略。為此，教師出示如下問題，讓學生嘗試解決后反饋交流。

旅行社推出“××風景區(qū)一日游 ”的兩種價格方案。方案一：成人150元/人，兒童60元/人;方案二：團體10人以上（包括10人），每人100元。問題：（1）成人6人，兒童4人，選哪種方案合算？（2）成人4人，兒童6人，選哪種方案合算？

以上是由兩個問題組成的題組，總?cè)藬?shù)不變，但隨著成人與兒童人數(shù)的變化，選擇的方案會不相同，這需要通過比較才可以確定。

總之，小學數(shù)學問題解決的教學，應(yīng)該讓學生經(jīng)歷在具體情境中提出問題，并逐步解決和完善的過程。教師在教學中要適時發(fā)揮引領(lǐng)作用，重在讓學生體會問題的價值，注重解決問題思路的一般化，從部分到整體，最終實現(xiàn)由方法向策略的提升。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學 ? 311254

浙江省杭州市蕭山信息港小學 ? 311215）