由聯(lián)系到區(qū)別 從過程到方法

朱挺紅 陳喜衛(wèi)

【摘 ? 要】同一個單元不同課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容往往是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性與思維方式的遷移性?！俺恕⒊ǖ囊饬x和各部分間的關(guān)系”與“加、減法的意義和各部分間的關(guān)系”一起，構(gòu)建了四則運算的知識結(jié)構(gòu)，因此，此課的教學(xué)結(jié)構(gòu)與上一課基本相同，而且有了更多的自主學(xué)習(xí)時間，讓上一節(jié)課獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗得到了應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】乘、除法意義;聯(lián)系到區(qū)別;過程到方法

“乘、除法的意義和各部分間的關(guān)系”這一課時的教學(xué)結(jié)構(gòu)與“加、減法的意義和各部分間的關(guān)系”的教學(xué)基本相同。同時，教師在教學(xué)時還要進(jìn)一步思考：乘法的意義從哪里來？除法之于乘法的關(guān)系和減法之于加法的關(guān)系有哪些結(jié)構(gòu)上相同的地方，是否可以從上一節(jié)課所獲得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中進(jìn)行合理的遷移？在設(shè)計練習(xí)時，又可以從哪幾個維度進(jìn)行練習(xí)，以深化學(xué)生對于乘、除法意義的理解與關(guān)系的建立？帶著這些問題，我們進(jìn)行了實踐。

一、乘法意義的理解

在學(xué)習(xí)乘法的初步認(rèn)識時，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到乘法與相同加數(shù)連加的關(guān)系，并結(jié)合具體的計算感受到乘法比多個相同加數(shù)連加更簡單。因此，在概括乘法意義時，可從計算不同類型的加法入手，讓學(xué)生在計算體驗的過程中逐步概括出乘法的意義。

（一）在加法計算中概括乘法的意義

1.計算

教師出示題目，要求學(xué)生直接寫出得數(shù)，完成后和同桌說一說思考過程。

（1）9+9= ? ? ? （2）3+7+8=

（3）4+3= ? ? ? ?（4）3+3+3+3=

（5）[7+7+7+……+711個7=]

2.分類

請學(xué)生說一說是怎樣快速算出得數(shù)的。當(dāng)學(xué)生說可以把第（1）（4）（5）題轉(zhuǎn)化成乘法計算時，教師在相應(yīng)的題目下面板書乘法算式并請學(xué)生進(jìn)行分類，呈現(xiàn)乘法與加法的區(qū)別（如圖1）。

3.概括

通過圖1左右兩種加法算式的比較，學(xué)生概括出了右邊這列算式可以用乘法計算的特征，并在計算過程中概括出乘法的定義。

一般地，數(shù)學(xué)概念有兩種解釋形式，一種是舉例子，一種是下定義。為了概括定義，在舉例子時，還要設(shè)法去除非本質(zhì)特征，為此需要列舉具有非本質(zhì)特征的例子進(jìn)行比較。乘法意義的概括，正是經(jīng)歷了這樣的過程。

（二）在不斷比較中理解關(guān)系式

為促使學(xué)生進(jìn)一步思考，在編制比較題時，教師特別重視凸顯本質(zhì)特征的一些細(xì)節(jié)。在概括出乘法的定義后，教師讓學(xué)生對圖1中的第（3）題與第（4）題進(jìn)行比較，說說這兩題有什么相同的地方與不同的地方。根據(jù)學(xué)生的回答，概括出乘法的表達(dá)式：因數(shù)×因數(shù)=積。

在此基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生用線段圖分別表示“3+4=7”與“3×4=12”的含義，能夠用幾種方法就用幾種方法。學(xué)生獨立完成后交流，形成如圖2的線段圖組。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對圖示進(jìn)行橫向比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法與乘法中都有“合并”與“比較”兩種不同的意義。在“合并”關(guān)系中，加法是“兩個加數(shù)的和”，進(jìn)一步概括出關(guān)系式：部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)。乘法的關(guān)系式則是每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。在“比較”關(guān)系中，加法的關(guān)系式是較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)。乘法的關(guān)系式則是1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)。

比較是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思維方式，通過比較可以尋找到不同數(shù)學(xué)知識中的相同點，可以發(fā)現(xiàn)相同數(shù)學(xué)知識中的不同處，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)。

（三）依據(jù)關(guān)系式編制數(shù)學(xué)問題

在依據(jù)圖2的線段圖概括出關(guān)系式后，教師又要求學(xué)生依據(jù)線段圖中的數(shù)據(jù)，提出具體的問題，以進(jìn)一步加深對加法含義與乘法含義的理解。

這樣的比較在二年級上冊“表內(nèi)乘法”教學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)過（如圖3）。

以此類推，在三年級下冊“倍的認(rèn)識”教學(xué)時，也可以與相差關(guān)系的應(yīng)用問題進(jìn)行比較。本節(jié)課教學(xué)中的比較與編寫應(yīng)用問題只是更加綜合地加以回顧。如對于“比較”關(guān)系的加法與乘法有學(xué)生編制如下問題。

倍數(shù)關(guān)系：弟弟今年4歲，哥哥的年齡是弟弟的3倍，哥哥今年幾歲？

相差關(guān)系：弟弟今年4歲，哥哥的年齡比弟弟大3歲，哥哥今年幾歲？

依據(jù)以上關(guān)系編制出加法與乘法意義的應(yīng)用問題后，教師出示如下問題：一個長方形長4米，寬3米，面積多少平方米？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一題也用乘法計算，得到的關(guān)系式是：長×寬=長方形的面積。教師提問：“它可以歸納到哪一類乘法中？”學(xué)生結(jié)合圖示發(fā)現(xiàn)它可以歸納到合并關(guān)系之中，但又與原來的數(shù)量關(guān)系有所區(qū)別，可以看成一種新的乘法意義下的合并關(guān)系。教師出示圖4，請學(xué)生觀察，這是小學(xué)階段乘法意義的結(jié)構(gòu)圖，其中左上角是它的基本意義，其余的是乘法基本意義的延伸，右下角虛線框中的內(nèi)容則是六年級上冊“分?jǐn)?shù)乘法”單元中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的關(guān)系式與圖式，后續(xù)學(xué)習(xí)時需要補充。

以上的乘法概念的理解過程，是從加法計算出發(fā)，學(xué)生在邊計算、邊觀察、邊體驗的過程中，概括出乘法的定義，再通過畫線段圖與列關(guān)系式的方式進(jìn)一步揭示乘法意義，最后編制具體的應(yīng)用問題，再一次認(rèn)識乘法的意義。

二、除法意義的理解

與減法的定義由來相同，除法的定義也是由乘法的定義逆推而來的。有了減法定義建構(gòu)的經(jīng)驗，教師可以放手讓學(xué)生自主探究除法意義，再組織評析總結(jié)。同時，從乘法定義推導(dǎo)得到的除法定義是抽象的、形式化的，因此，需要用各個層次的具體事例加以詮釋，才能真正體現(xiàn)除法意義的價值。

（一）自主概括除法的定義

在學(xué)生理解了乘法的意義后，教師請學(xué)生想一想，與乘法有聯(lián)系的還有哪一種運算，怎樣定義除法的運算，并依據(jù)已有乘法算式舉例說明。

如果學(xué)生獨立探究除法的定義有困難，教師可以出示課件，讓學(xué)生回顧減法的定義（如圖5），再讓學(xué)生類比與遷移，自主建構(gòu)乘法與除法的結(jié)構(gòu)圖示，通過展示與交流，形成圖6。

數(shù)學(xué)中知識之間可以類比與遷移是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化的體現(xiàn)?；趩卧w設(shè)計，教師要努力尋找單元內(nèi)各個課時的聯(lián)系，從知識結(jié)構(gòu)、思維方式等方面尋找它們的相同點。

（二）自主構(gòu)建除法關(guān)系式

除法定義來源于乘法概念，同樣地，除法關(guān)系式也可以由乘法關(guān)系式推導(dǎo)而來。教師可以結(jié)合線段圖，讓學(xué)生感受到除法關(guān)系式是由乘法關(guān)系式推導(dǎo)得到的，構(gòu)建起乘法與除法關(guān)系的結(jié)構(gòu)圖，并把乘法關(guān)系式作為基本關(guān)系式。形成這樣的思維方式，就能為后續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決問題中尋找數(shù)量關(guān)系打好基礎(chǔ)。

教師指著圖4的內(nèi)容，請學(xué)生想一想，怎樣依據(jù)乘法關(guān)系式寫出除法關(guān)系式。學(xué)生完成后交流完善，形成如圖7所示的板書。用箭頭在乘法關(guān)系式中表示出除法關(guān)系式，以此體現(xiàn)除法是乘法的逆運算。

（三）自主改編應(yīng)用問題

作為理解除法意義的應(yīng)用問題編寫，主要是讓學(xué)生結(jié)合具體例子再一次認(rèn)識除法中“均分”的含義。因此，在學(xué)生把之前編寫的“3×4”的應(yīng)用問題改編成除法的應(yīng)用問題后，教師要求學(xué)生選擇“包含除”的例子，在相同情境下編寫用算式“12-3”或“12-4”表示的應(yīng)用問題，從比較中發(fā)現(xiàn)“分”與“均分”的區(qū)別。

如學(xué)生根據(jù)乘法應(yīng)用問題改編了除法應(yīng)用問題：有12個蘋果，每3個裝一盤，可以裝這樣的幾盤？

教師要求學(xué)生同樣用“蘋果裝盤”的情境，編寫一道用“12-3”表示的應(yīng)用問題。學(xué)生編寫如下：有12個蘋果，裝成兩盤，其中一盤裝3個，另外一盤裝幾個？

接著畫出相應(yīng)的線段圖，比較除法中的“每份數(shù)”與減法中的“部分?jǐn)?shù)”的區(qū)別。

顯然，除法意義的理解是基于上節(jié)課中減法意義理解的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，強(qiáng)調(diào)采用自主學(xué)習(xí)來獲得新知，形成知識結(jié)構(gòu)。這種學(xué)習(xí)經(jīng)驗也可以遷移到有類似結(jié)構(gòu)的單元整體設(shè)計之中，如多邊形面積計算公式的推導(dǎo)，可以提供結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，把平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)經(jīng)驗運用到后續(xù)三角形與梯形面積公式的推導(dǎo)過程之中。

三、課堂練習(xí)的設(shè)計

在練習(xí)過程中有新收獲，這是檢驗練習(xí)有效性的重要標(biāo)準(zhǔn)。利用乘法與除法兩種運算的相互轉(zhuǎn)化解決問題，弄明白有余數(shù)除法與乘法的相互關(guān)系，是實現(xiàn)新收獲的切入點。

（一）概括有余數(shù)除法的關(guān)系式

教師出示如下算式，先請學(xué)生說一說各個算式中括號里表示什么數(shù)，怎樣求，然后獨立計算。

（1）60×（ ? ）=540 ? ?540÷（ ? ）=90

（2）（ ? ）÷6=90 ? ? ? ?2+（ ? ）=6

（3）（ ? ）÷18=23……6

（4）420÷（ ? ?）=16……4

學(xué)生完成后，教師要求學(xué)生概括第（2）（3）題中求被除數(shù)和商的關(guān)系式，概括第（3）（4）題中求被除數(shù)、除數(shù)以及商的關(guān)系式。

（二）嘗試分步算式列成綜合算式

上面的第（1）（2）題是題組，第（1）題兩個算式中均有“540”，但它們的意思不同;第（2）題第二個算式中的和，剛好是第一個算式的除數(shù)。依據(jù)這樣的關(guān)系，請學(xué)生分別把第（1）（2）題列成綜合算式：60×9÷6;540÷（2+4）。

把有聯(lián)系的兩道一步計算列成綜合算式，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感。這里特別要注意的是，由第（2）題組改變而來的綜合算式需要增加小括號，改變原來的運算順序，也為下一節(jié)課學(xué)習(xí)“中括號”做了準(zhǔn)備。

（三）利用綜合算式編題

第二層次的練習(xí)是在第一層次的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。再進(jìn)一步，教師可要求學(xué)生把第一層次的四題編成某一類情境下的應(yīng)用問題。由四人小組合作完成，先集體討論用什么情境來編寫，每一個數(shù)代表哪一個信息比較合適。然后分工完成，組內(nèi)交流，最后集體反饋。

可以發(fā)現(xiàn)，以上三個層次的練習(xí)層層推進(jìn)，學(xué)生在不斷應(yīng)用新知解決問題的過程中又有新發(fā)現(xiàn)，積累新經(jīng)驗。

回顧本節(jié)課的教學(xué)過程，并與前一節(jié)課進(jìn)行比較后，我們發(fā)現(xiàn)，有一些課的教學(xué)內(nèi)容雖然不同，但是它們之間的教學(xué)思路可以相同。這樣做，有利于學(xué)習(xí)經(jīng)驗的遷移，有利于學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識，也有利于形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學(xué) ? 311254）