為“錯”說理

郜舒竹

【摘 ? 要】以學習活動為中心的數(shù)學教學，必然會面對學生個性化的生成，這樣的生成具有多樣性和差異性，自然也會有錯誤。因此，如何面對這樣的生成，對教師來說是一種挑戰(zhàn)?；居^點是：生成是創(chuàng)新，生成必多樣，生成是財富;錯誤是必然的，錯誤是普遍的，錯誤是有理的，錯誤是有用的。為錯誤找到理由，使之成為教學資源，是教學研究的重要課題。

【關鍵詞】錯誤;生成;異樣生成

在某培訓機構的網(wǎng)絡課程中，看到一個一年級小學生的錯題講解。題目是：“小猴子說：我吃了3個桃子，還剩下4個桃子，原來有多少個桃子？”學生的答案為：7-3=4（個）（如圖1）。

教師講解的大意是，這樣列式計算是錯誤的，正確答案應當是“3+4=7（個）”。此類“加減混淆”的現(xiàn)象在低年級學生中極其普遍，這是不同于教師預設的生成，不妨叫作“異樣生成”。如今的教學倡導“變教為學”，將以教師教的活動為主的課堂教學，改變?yōu)橐詫W生學習活動為主的課堂教學。主旨是“育人為本，活動中心，多樣生成”。育人為本是實施教學的指導思想，活動中心是踐行指導思想的途徑與方法，多樣生成是活動中心教學必然的結(jié)果。多樣生成自然包括異樣生成，教師在“變教為學”教學改革中面臨的一個挑戰(zhàn)，就是如何面對異樣生成。

一、如何看待異樣生成

面對學生的異樣生成，教師如果采用“是非分明”的態(tài)度，將不同于標準答案的生成一律視為“錯誤”，歸因為學生“沒學好、不認真聽講”或“粗心、馬虎、不認真”，簡單地讓學生對照標準答案改錯，在學生面前表現(xiàn)出“憤怒+指責+厭惡”，那么帶給學生的自然是“恐懼+盲從+氣餒”的負面效應。

學生學習過程中出現(xiàn)不同于預設的異樣生成，是正常的，還是反常的？是好事情，還是壞事情？如果把異樣生成視為學生經(jīng)過自主思考產(chǎn)生的獨特的、個性的想法，當然就是多樣的，符合育人為本、活動中心的教學主旨。因此面對異樣生成，包括錯誤，教師應當采取肯定和接納的態(tài)度，異樣生成可以成為研究學生思維規(guī)律的“數(shù)據(jù)（Data）”，進而成為教師的教學資源。這樣的教學研究至少應當包括“辨別、解釋、應用”三個方面的內(nèi)容。

所謂“辨別”，就是需要回答“錯沒錯”的問題。錯沒錯的辨別標準，往往會以教科書或教學參考書、命題專家給出的標準答案為參照，簡言之就是以成人事先預設為標準，而這樣的標準明顯具有主觀性和局限性。學生的認知是復雜的過程，具有動態(tài)的過程性和多樣的差異性。錯誤的答案可能蘊含著合理的思維，錯誤的過程可能得到正確的結(jié)果，獨特的生成可能隱藏著創(chuàng)新的思維。因此，辨別錯誤應當站在學生的立場上，從學生的思維過程中尋找規(guī)律，尋找其合理成分。

在辨別的基礎上解釋學生的生成，指的是需要回答“為什么”的問題。任何事物都有存在的理由，任何現(xiàn)象都有出現(xiàn)的原因。學生的生成是認知過程的結(jié)果，這個結(jié)果必然與認知過程中的某些規(guī)律相關。努力尋找并發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律，為學生的生成找到原因，對于教師了解學生的學習認知規(guī)律，提升教學水平，無疑是重要的。

有了相對準確的辨別和解釋，就可以應用生成開展學習活動的教學，讓學生的生成包括錯誤，成為教學資源。讓學生之間有機會交流、分享，讓學生有機會自我反思，讓學生能夠在反思、交流中自我評價、自我否定。應當相信：

l生成是創(chuàng)新

l生成必多樣

l生成是財富

二、“錯誤”的合理性

人的認知活動通常體現(xiàn)為三個方面：第一是對情境的感知;第二是在感知過程中頭腦中無意識的判斷;第三是符號表征。法國的格拉德·沃格諾德（Gérard Vergnaud）把這樣三個方面的綜合叫作“理解域（Conceptual Field）”[1]。就是說，感知、思維和表征三個過程并不是依照時間順序進行的，而是交互著相互影響的。

前面“猴子吃桃”的情境，是在時間、空間和數(shù)量三個方面，體現(xiàn)運動與變化的“事件（Event）”。任何事件都有一個從始到終的過程，從時間順序上涉及三個要素：起始狀態(tài)、變化過程、終極狀態(tài)。這三個要素表現(xiàn)在“猴子吃桃”情境中，分別為：

l起始狀態(tài)：原有桃子

l變化過程：吃掉桃子

l終極狀態(tài)：還剩桃子

如果把起始狀態(tài)“原有桃子”的全體視為一個“類”，個別桃子視為“類”中的對象或元素，聯(lián)系到熟悉的容器思維（容器圖式），這個事件在頭腦中的意境就成為：

l起始狀態(tài)：容器中有物品

l變化過程：取出部分物品

l終極狀態(tài)：還剩部分物品

應用格拉德·沃格諾德所說的理解域，頭腦中會無意識地形成如下判斷，容器中的物品數(shù)量：

l放入會增加

l取出會減少

“放入會增加”指的是起始狀態(tài)和終極狀態(tài)之間的數(shù)量關系，也就是如果變化過程是向容器中放入物品，那么終極狀態(tài)的數(shù)量應當多于起始狀態(tài)的數(shù)量。反過來說，起始狀態(tài)的數(shù)量應當少于終極狀態(tài)的數(shù)量。同樣，“取出會減少”指的是終極狀態(tài)的數(shù)量應當少于起始狀態(tài)的數(shù)量，或起始狀態(tài)的數(shù)量應當多于終極狀態(tài)的數(shù)量。

格拉德·沃格諾德把這樣在情境感知中，不知不覺的判斷，叫作“行動中的定理（Theorem in Action）”，是支配后續(xù)行為的重要因素。頭腦中形成了這種判斷，接下來是用符號表征這樣的事件。延續(xù)前面“放入會增加、取出會減少”的判斷，自然推理出新的判斷：

l增加應當用“加”

l減少應當用“減”

“猴子吃桃”事件與“從容器中取出”相對應，頭腦中起支配作用的判斷自然是容器中數(shù)量減少，減少應當用減法。這樣的思維過程自然就會導致“7-3=4”的符號表征。

另外，用算式表征情境，相當于涉身認知中的“隱喻（Metaphor）”，指的是不同領域之間的“對應（Mapping）”，也可以認為是“類比（Analogy）”推理。這樣的對應通常會遵循“同構（Isomorphism）”的對應原則（同構就是結(jié)構相同的意思），表現(xiàn)為三個方面的“一一對應（One-One Mapping）”：

l對象與對象對應

l動作與動作對應

l關系與關系對應

“猴子吃桃”情境中，“桃子”與“數(shù)”的對應可以認為是對象與對象的對應，“吃了”與“減”的對應是動作與動作的對應，情境中的時間順序與符號表征從左到右的順序保持一致，可以認為是關系與關系的對應。具體表現(xiàn)為，起始狀態(tài)的“原有”與“被減數(shù)”對應，“吃了的桃子”與“減數(shù)”對應，終極狀態(tài)的“還?！迸c“差”對應，保持了事件“發(fā)生—發(fā)展—結(jié)束”的時間順序，與算式中被減數(shù)、減號、減數(shù)、差從左向右的空間位置關系保持一致。這種在隱喻映射中保持不變的內(nèi)容，在認知科學中叫作“不變量（Invariance 或 Uniformities）”[2]。

[事件 起始狀態(tài) 變化過程 終極狀態(tài) 猴子吃桃 原有 吃了 還剩 容器 原有 取出 還剩 算式 7 -3 =4 ]

因此，這個對應完全符合“對象與對象、屬性與屬性、關系與關系”的同構原則。學生對于“猴子吃桃”問題列出算式“7-3=4”，符合涉身認知中隱喻思維規(guī)律。從時間順序上說，是從起始開始，經(jīng)歷變化，到終極結(jié)束;從屬性上說，是從多到少的變化過程;從事件發(fā)生、發(fā)展上說，是從開始到結(jié)束?？梢杂脠D2直觀表示這樣的隱喻過程。

像這樣同構對應的思維方式，在語言轉(zhuǎn)換或互譯中也很普遍。比如英語學習中“Nice to meet you”這句話，對于母語為漢語的中國人不會感覺困難，因為它與漢語“很高興見到你”的字詞及其順序基本相同，也即英語表達與漢語表達相互之間的對應符合同構原則（如圖3）。

中文的“謝謝你”轉(zhuǎn)換為英文“Thank you”，如果“謝謝”對應“Thank”，“你”對應“You”，同樣具有同構的對應，也很容易理解。反過來，中文中回應感謝時常說“不用謝”，在英文中就不存在具有同構對應的說法，回應“Thank you”時，不能說“Not thank”或“No thanks”。說法可能是“You are welcome”“Its okey”“No problem”。

這些說法都無法與“不用謝”建立同構對應，自然就會成為英語學習的難點。因此可以說，同構對應思維會成為違背同構關系對象認知的障礙。這也就解釋了在“猴子吃桃”情境中，為什么學生對“3+4=7”難以接受，原因就在于算式“3+4=7”，破壞了從情境到算式的同構對應。元素之間的對應，打亂了時間順序關系以及數(shù)量增加、減少的屬性變化規(guī)律（如圖4）。

三、互逆關系

接下來的問題是，如何將算式“3+4=7”與“猴子吃桃”情境之間建立起合乎思維規(guī)律的聯(lián)系？原題事件整個過程是由于“吃掉”，從而“減少”的過程，與符號表征“7-3=4”具有同構對應關系。而“3+4=7”需要想象反過來的過程，也即“補回”，進而“增加”的過程（如圖5）。

這個反過來的過程在“猴子吃桃”事件中并未發(fā)生，屬于“虛構（Fictive）”的事件，具有“想象（Imaginary）”的特征，把想象的過程用算式描述出來，實際是兩步計算：

7-3+3

=4+3

=7

第一步“7-3=4”對應“吃掉”或“減少”3個，還剩4個;第二步“4+3”對應“補回”或“增加”3個，得到原有桃子數(shù)量。這樣的過程，對于一年級學生顯然具有難以理解的復雜性。加與減作為運算的“互逆（Inversion）”關系，需要許多涉身活動經(jīng)驗的積累才有可能逐步理解。比如：

l前進10步后，倒退10步，回到原地。“前進”與“倒退”具有互逆關系。

l上學是從家到學校，下學就是原路返回，回到家中?！吧蠈W”與“下學”具有互逆關系。

l收拾書包準備上學是向書包中放入書本，到學校準備上課，從書包中取出書本?！胺湃搿迸c“取出”具有互逆關系。

l工資的“收入”與消費的“支出”，具有互逆關系。

諸如此類的涉身活動，都可以成為隱喻加、減運算互逆關系的涉身經(jīng)驗。這種“增”與“減”的互逆關系，是溝通這兩個運算聯(lián)系的基本規(guī)律。數(shù)學家建構代數(shù)結(jié)構時，運算的互逆關系起著基礎性的重要作用。

四、預見錯誤

通過解釋學生的異樣生成，可以幫助教師預測學生的認知困難以及可能出現(xiàn)的錯誤。以上案例分析可以得到一個結(jié)論：凡違背隱喻同構對應的現(xiàn)象，學生都會出現(xiàn)類似的理解困難，進而寫出與教師期望不同的算式。將“猴子吃桃”推廣到一般的事件，其基本結(jié)構可以用圖6表示。

從時間順序關系上看，分別為起始狀態(tài)在“前”，變化過程在“中”，終極狀態(tài)在“后”。事件發(fā)生、發(fā)展的順序遵從“從前到中”和“從中到后”規(guī)律。學生熟悉的問題自然是符合事件發(fā)生發(fā)展順序的“知前想后”（如圖7）：已知有7個桃子，小猴子吃了3個，還剩幾個？可以輕易得到“7-3=4”的算式。

前面“猴子吃桃”問題之所以難，是已知“中、后”，求“前”（如圖8）。

這相當于時間倒流，與學生熟悉的“知前想后”順序相悖。如果題目更改為：有7個桃子，小猴子吃了一些，還剩4個，問小猴子吃了幾個？信息結(jié)構為已知“前、后”，求“中”，同樣破壞了事件的時間順序（如圖9）。

可以預測，一定會有學生寫出“7-3=4”的算式，而不是期望的“7-4=3”。原因就在于按照從左到右的順序看，“7-3=4”符合題目敘述事件的順序。有了這樣的理解，就不難預測下面幾個問題對于學生的難易程度，以及可能出現(xiàn)的異樣生成。

l小明有5塊巧克力，需要增加多少塊，才能擁有8塊巧克力？

l小明有8塊巧克力，給了小紅一些后還剩5塊。小明給了小紅多少塊巧克力？

l小明有8塊巧克力，給了小紅3塊。小明還剩多少塊巧克力？

l小明有一些巧克力，小紅給了小明3塊后，小明共有8塊。小明最初有多少塊巧克力？

五、情境與語言的復雜性

與自然數(shù)加、減運算相關的問題類型，除了前面的“事件”類型之外，典型的還有“局部—整體（Part—Whole）”以及“比較（Comparing）”。“局部—整體”結(jié)構的問題通常包括一個整體和兩個局部，其基本關系可以用圖10示意。

如果已知兩個局部的數(shù)量，則運用加法可以計算出整體的數(shù)量。與之對應的減法問題就是知道整體和一個局部的數(shù)量，求另外一個局部的數(shù)量（如圖11）。

用文字敘述這個問題可以是：小明有8塊巧克力，5塊是黑色的，其余是白色的。他有多少塊白色的巧克力？

這種整體與局部關系的情境不涉及空間位置和時間順序的變化，從結(jié)構上看相對單一。較為復雜且對于低齡學生不易理解的類型，是不同對象間進行比較與變換的數(shù)量關系，以及前面介紹的事件中運動與變化的類型。[3]會出現(xiàn)同樣的算式對應不同的情境，以及同樣的情境對應不同的語言表述的情況，表現(xiàn)出語言表述與情境的多樣性和復雜性。

比較關系的故事情境需要有兩個對象，各自的數(shù)量不同，因此就會出現(xiàn)“多多少”或者“少多少”的問題。比如對于“5+3=？”這樣一個算式，可以對應下面不同的語言表征。

l小紅有5塊巧克力，小明比小紅多3塊。小明有多少塊巧克力？

l小紅有5塊巧克力，如果小明減少3塊就和小紅一樣多。小明有多少塊巧克力？

還可以交換主語和賓語的位置敘述為：

l小紅有5塊巧克力，比小明少3塊。小明有多少塊巧克力？

l小紅有5塊巧克力，如果小紅再增加3塊就和小明一樣多。小明有多少塊巧克力？

利用加法和減法的互逆關系，從這些加法算式的情境，還可以衍生出用減法算式計算的情境。

l小明有8塊巧克力，小紅有5塊巧克力。小明比小紅多多少塊巧克力？

l小明有8塊巧克力，小紅有5塊巧克力。小明減少多少塊就和小紅一樣多？

l小明有8塊巧克力，小紅有5塊巧克力。小紅比小明少多少塊巧克力？

l小明有8塊巧克力，小紅有5塊巧克力。小紅需要得到多少塊巧克力才能和小明一樣多？

l小明有8塊巧克力，如果小紅再得到3塊就和小明一樣多。小紅有多少塊巧克力？

l小明有8塊巧克力，如果減少3塊就和小紅一樣多。小紅有多少塊巧克力？

表面看都是相同的情境，但由于語言表述以及順序差異，會給學生帶來不同的認知困難。因此“運算”作為一類數(shù)學學習活動，是多元的、復雜的。計算教學僅限于針對算式的算法和算理是遠遠不夠的。把計算拓展為運算，把運算與涉身認知活動聯(lián)系起來，實質(zhì)是“情境、判斷、符號”之間的互動過程。

在這樣的過程中，學生會出現(xiàn)多樣的生成，包括錯誤。教師應本著“育人為本”的指導思想，秉承“錯誤是必然的，錯誤是普遍的，錯誤是有理的，錯誤是有用的”信念，用寬容、接納和研究的態(tài)度面對學生的異樣生成和錯誤。

應當承認，我國社會目前對于基礎教育中的學科教學的認識仍然囿于“應試”思維，“辦老百姓滿意的教育”就成為順應這種思維的教育。評價學校教育質(zhì)量看分數(shù)，評價教師教學質(zhì)量看分數(shù)，教學“質(zhì)量”的高低與“分數(shù)”的高低成了正比例關系。

在這樣的現(xiàn)實中，家長、教師厭惡學生的“錯”，是順理成章的，因為“錯”是“低分”的根源。因此，教學的改變需要時間，需要政府管理和評價的改變，需要家長乃至社會觀念的改變，需要學校教學管理的改變，由此才有可能帶來教師教學真正的改變。

作為最基層、最普通的教師，不妨從“收集、解釋、應用”學生錯誤入手，讓“錯”發(fā)揮教學資源的作用，這樣的做法或許會獲得“素質(zhì)教育”與“應試教育”的雙豐收。

參考文獻：

[1]VERGNAUD G. Cognitive and Developmental Psychology and Research in Mathematics Education： Some Theoretical and Methodological Issues[J]. For the Learning of Mathematics， 1982， 3（2） ： 31-41.

[2]LAKOFF G. Women， Fire， and Dangerous Things. What Categories Reveal about the Mind[M]. Chicago： The University of Chicago Press， 1987： 211.

[3]ROMBERG， COLLIS， GROUWS. Learning to Add and Subtract[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1987（2）.

（首都師范大學初等教育學院 ? 100048）