基于博弈的私營-公有混合路網(wǎng)定價

江 楠,鄭 煜, 張小寧

(1.中國人民銀行杭州中心支行,杭州310001;2.同濟大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院,上海200092)

在傳統(tǒng)的道路擁擠收費的研究中,一般假設(shè)整個網(wǎng)絡(luò)由一個中央管理者實施.然而在實際情況下,交通網(wǎng)絡(luò)的運營管理者卻不唯一.道路私有化模式的興起造成了道路網(wǎng)絡(luò)隸屬于不同運營者的情況.私有化的道路運營者著眼于最大化自身利潤,當(dāng)市場中存在多個私有運營者時,競爭將不可避免地發(fā)生.同樣,這種競爭也是傳統(tǒng)的道路收費模式無法表達(dá)的.

當(dāng)人們意識到道路供給與定價的競爭越來越普遍時,相關(guān)研究就應(yīng)運而生. de Vany等[1]較早研究了競爭狀態(tài)下的道路收費問題;Haurie等[2]則考慮了更加一般的情況,認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中存在一些不合作的古諾-納什(Cournot-Nash,CN)博弈主體,這些博弈主體由出行者組成,其內(nèi)部是相互合作的,而不同的古諾-納什博弈主體之間則是完全競爭的關(guān)系;Harker[3]研究了同時擁有了用戶均衡(user equilibrium,UE)和CN出行者的混合均衡路網(wǎng)的出行行為,并提出和證明了該條件下的網(wǎng)絡(luò)均衡的存在性和唯一性條件;Yang等[4]證明了UE和CN混合網(wǎng)絡(luò)上最優(yōu)匿名收費的存在性;Zhang等[5]考慮了多用戶類別多標(biāo)準(zhǔn)混合均衡的統(tǒng)一收費框架,探討了促使系統(tǒng)最優(yōu)的匿名均一收費的存在性,并給出了線性的收費集合.

Wang等[6]研究了多區(qū)域規(guī)劃設(shè)計交通網(wǎng)絡(luò)時的博弈行為;Jiang等[7]分析了公有和私營混合交通網(wǎng)絡(luò)上同時優(yōu)化道路收費和通行券時的理論方法;肖玲等[8]建立了公共停車場與私營停車場的博弈定價模型;Zhang等[9]分析了交通網(wǎng)絡(luò)上多區(qū)域競爭和合作收費策略.由于這類公有-私營混合路網(wǎng)中不同路段由不同屬性的實體所運營,這將使得競爭-合作關(guān)系變得更加復(fù)雜.目前來看,這種不同屬性的運營者之間的博弈是否存在均衡解,對系統(tǒng)是否有影響等問題還缺乏理論研究.同時現(xiàn)有的對收費博弈的研究大多局限于私營企業(yè)之間的古諾-納什博弈,缺乏更多對不同博弈模式的研究和對比.

本工作對“私營-公有”混合路網(wǎng)的收費博弈問題進行了研究并建立了模型,理論推導(dǎo)和研究了以下問題:在由私營企業(yè)和公有企業(yè)控制的平行路網(wǎng)中,私營-公有企業(yè)收費博弈的均衡解的存在性和性質(zhì).與此同時我們比較不同博弈模式對社會福利、收費、流量等的影響.

1 平行路網(wǎng)“私營-公有”混合收費博弈

這里,除證明平行路網(wǎng)中“私營-公有”混合收費博弈(混合寡頭博弈)的純策略納什均衡解的存在性,還將比較寡頭收費博弈、混合寡頭博弈以及社會最優(yōu)合作對社會福利、收費等的影響.

1.1 平行路網(wǎng)建模

圖1為n路段平行路網(wǎng)示意圖.圖1中,O-D對1-2之間有n條平行路段,路段集合記為K.對路段i,i∈K的出行時間函數(shù)為ti(vi),vi為路段i,i∈K的流量.假設(shè)ti(vi)為連續(xù)可導(dǎo)且單調(diào)遞增的凸函數(shù).路段i,i ∈K的收費記為τi,另計為收費向量. 此外,定義B(Q)為出行流量時的邊際社會出行收益,為出行量的反函數(shù),N為一個任意集合;假設(shè)B(Q)為連續(xù)可導(dǎo)的減函數(shù),B′=dB(Q)/dQ<0.

對于用戶均衡條件下的交通狀態(tài),有

圖1 n路段平行路網(wǎng)示意圖Fig.1 Diagram of n section parallel road network

對任意2條不同的路段i,j∈K,j?=i,當(dāng)2條路段都有流量時,

分別對式(1),(2)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

參考文獻[10],由式(3),(4)可得

由于B′<0,>0,故有: ?vi/?τi>0,?i∈ K;?vj/?τi>0,?i,j ∈ K,j ?=i.

1.2 “私營-公有”完全競爭博弈

假設(shè)圖1中有m條公有路段,公有路段集合記為P.公有企業(yè)對其進行收費的目的是追求社會福利的最大化.路段i/∈P,i∈K為私營路段,私營路段集合記為B,收費的目的是追求自身收入的最大化.

在“私營-公有”混合收費博弈中,路網(wǎng)社會福利為所有出行者的出行收益減去所有出行者的出行成本:

公有路段i,i∈P調(diào)節(jié)收費τi以達(dá)到社會福利的最大化:

對式(7)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

命題1 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi)是vi的線性函數(shù),則S是τi,?i∈P的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(6)和命題假設(shè),?vi/?τi為小于0的常數(shù),t′i為大于0的常數(shù),根據(jù)式(7)對S求τ1的2階偏導(dǎo)數(shù),得

S求τi的2階偏導(dǎo)數(shù)小于0,因此S為τi的凹函數(shù),得證.

在“私營-公有”混合收費博弈中,私營企業(yè)i∈B的收入為

私營企業(yè)(i?=1,i∈N)調(diào)節(jié)收費τi以達(dá)到收入的最大化:

對式(11)求τi的偏導(dǎo)數(shù),有

命題2 對τi,i∈B,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則Πi是τi的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(5)和命題假設(shè),?vi/?τi是小于0的常數(shù),

命題3 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),則“私營-公有”混合博弈存在納什均衡解.

證明 B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),因此命題1和2成立,私營企業(yè)和公有企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)對其決策變量均為凹函數(shù).可見,混合博弈存在納什均衡解.

根據(jù)式(10),對于公有路段i,?i∈P,有

1.3 私營寡頭競爭博弈

這里,所有的路段均為私營路段,即B=K,且所有私營路段通過調(diào)節(jié)自身收費達(dá)到自身收入最大化,并與其他私營路段進行競爭,這種競爭稱之為私營寡頭競爭.市場與經(jīng)濟學(xué)中的寡頭博弈類似.

在私營寡頭競爭博弈中,私營路段(?i∈K)收入為私營企業(yè)(?i∈K)調(diào)節(jié)收費τi以達(dá)到收入的最大化:

根據(jù)命題2和3的論證,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則寡頭博弈存在納什均衡解.記寡頭博弈的納什均衡解為,此時均衡流量為路網(wǎng)均衡流量為社會福利記為

根據(jù)式(15),對于私營路段?i∈K有

1.4 社會最優(yōu)合作

在社會最優(yōu)合作博弈中,一個中央管理者將協(xié)同調(diào)節(jié)所有路段上的收費以達(dá)到社會福利的最大化目的:

社會最優(yōu)合作的模型也可以看成是所有路段為公有路段的博弈情形,P=K.

在社會最優(yōu)合作博弈中,B(Q)可導(dǎo)且單調(diào)遞減.當(dāng)ti(vi)為可導(dǎo)遞增的凸函數(shù)時,路段收費存在路段邊際成本定價的解,達(dá)到社會福利的最大化[11].

1.5 私營寡頭組團競爭模型

假設(shè)圖1所示的平行路網(wǎng)中存在一個公有運營者,管理了m條路段,公有路段集合記為P.公有企業(yè)對其控制的路段進行了收費,目標(biāo)為社會福利的最大化.另外,n?m條路段為私營路段,私營路段集合記為B,在這里假設(shè)所有的私營路段形成聯(lián)盟,同時與公有企業(yè)進行競爭.

在私營寡頭競爭博弈中,私營路段聯(lián)盟的收入為

私營路段聯(lián)盟通過調(diào)節(jié)收費τi以達(dá)到收入的最大化:

公有企業(yè)則通過調(diào)節(jié)收費τi,?i∈P以達(dá)到社會福利的最大化:

通過命題2和3的論證可得,如果ti(vi)是vi的線性函數(shù),則私營寡頭組團競爭博弈存在納什均衡解.這時記私營寡頭組團競爭寡頭博弈的納什均衡解為此時均衡流量為路網(wǎng)均衡流量為社會福利記為SC.

對于私營路段聯(lián)盟,通過求式(21)對τi的偏導(dǎo)數(shù)可得到其最優(yōu)條件,有

對于公有路段,通過求式(23)對τi的偏導(dǎo)數(shù)可得到其最優(yōu)條件,有

2 不同博弈模式效率對比

引理1 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則vi可以表達(dá)為τi的線性函數(shù).

證明 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則根據(jù)式(5)和(6),對任意路段?i∈K,vi對任意路段收費的偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù).因此vi可以表達(dá)為τi的線性函數(shù),得證.

特別地,有

在式(26)中,γi可以看成是路段i,i∈K網(wǎng)絡(luò)無收費下的納什均衡流量.

在“私營-公有”完全競爭博弈下,根據(jù)式(14),(15)和(26)可以得到混合博弈收費:

在私營寡頭競爭博弈下,根據(jù)式(18)和(21)得到了寡頭博弈收費:

在社會合作博弈下,根據(jù)(20)和(26)可以得到如下解集:

在私營寡頭組團博弈下,根據(jù)式(24)～(26)得到了寡頭博弈收費:

引理2 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則2αii<0,?i∈ K.

證明 根據(jù)式(5),有

命題4 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則QN

證明 用反證法證明QNQM,則B(QN)6 B(QM).

當(dāng)?i∈B時,有

代入式(15)和(18)得

根據(jù)QN>QM及式(36)可知,必定存在路段i∈P:

由命題4得

與假設(shè)條件中的B(QN)

命題5如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則QM

證明 用反證法證明QMQ?,則B(QN)6 B(Q?).

由于QM>Q?,故必存在一個

情況1 如果i∈B,則有

將式(15)代入式(40)有

情況2 如果i∈P,則有

由于ti(·)是關(guān)于變量的單調(diào)遞增函數(shù)且>0,則有

命題6 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈K是vi的線性函數(shù),則

當(dāng)?i∈B時,有

代入式(18)和式(24),有

與假設(shè)的B(QN)>B(QC)矛盾,因此有QC

命題7 如果B(Q)是Q的線性函數(shù),且ti(vi),?i∈N是vi的線性函數(shù),則SC

3 算例

本小節(jié)將探討當(dāng)平行路網(wǎng)中所有路段是對稱時,不同博弈模式的效率.所謂對稱路段是指路段的出行時間函數(shù)完全相同,故有

對于“私營-公有”完全競爭博弈,根據(jù)式˙(15),(16),(43)和(44)我們得到如下平衡條件:

對于私營道路完全競爭博弈,所有路段均為私營路段且由不同公司經(jīng)營,根據(jù)式(18)和(50),

對于私營路段i,?i∈B,有

當(dāng)所有路段均為公有路段且只有一個部門管理時,根據(jù)式(20),對于每條路段i,?i∈P,有

對于私營寡頭競爭組團博弈,根據(jù)對式(24),(25),(43)和(44)求偏導(dǎo)數(shù)得到其最優(yōu)條件

根據(jù)式(55),(57)可以看出,公有路段收費的實質(zhì)是針對本路段進行邊際成本收費.

根據(jù)式(56),私營路段合作收費可以看成是一個邊際成本收費項的收費項,系數(shù)可以看成是私營路段聯(lián)盟的每條路段對其他路段的平均需求溢價系數(shù)之和.當(dāng)路網(wǎng)中私營路段的總數(shù)量增加或公有路段數(shù)量減少時,系數(shù)都會增大,使得私營聯(lián)盟合作收費增加.

特別地,當(dāng)路網(wǎng)中路段的數(shù)目足夠大時可以發(fā)現(xiàn),對于“私營-公有”完全競爭博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

此時,“私營-公有”完全競爭博弈收費與社會最優(yōu)的邊際成本收費一致.

對于私營寡頭競爭博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

此時“私營-公有”完全競爭博弈收費與社會最優(yōu)的邊際成本收費一致.

對于私營寡頭競爭組團博弈,當(dāng)路段數(shù)量n→∞時有

當(dāng)私營路段數(shù)量n?m有限或者公有路段的數(shù)量足夠大(m→∞)時,有

因此,當(dāng)路段總數(shù)足夠大且私營路段數(shù)量有限時,“私營-公有”完全競爭博弈收費與社會最優(yōu)的邊際成本收費一致.

4 結(jié)束語

本工作證明了在平行路網(wǎng)中,如果路段出行時間函數(shù)和反需求函數(shù)滿足線性條件,則“私營-公有”混合博弈存在均衡解.與此同時,對比混合博弈、寡頭博弈和社會最優(yōu)福利可以發(fā)現(xiàn):寡頭博弈下各路段將收取最高的費用,產(chǎn)生最低的總出行流量和社會福利;社會最優(yōu)福利博弈各路段的收費最低,但是流量和社會福利最高;混合博弈的收費、總出行流量和社會福利介于其他2種博弈之間.此外,當(dāng)平行路網(wǎng)中的數(shù)量足夠大時,“私營-公有”完全競爭博弈,對于私營寡頭競爭博弈的均衡收費會趨向于邊際最優(yōu)收費,社會福利會趨向于社會最優(yōu)福利.而對于私營寡頭,競爭組團則需要同時滿足公有路段和總路段數(shù)都足夠大時,才能使均衡收費趨向于邊際最優(yōu)收費,社會福利會趨向于社會最優(yōu)福利.