局部低秩提升法MIMO雷達(dá)成像*

胡仁榮，童寧寧，何興宇，陳 橋

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051)

0 引言

MIMO成像是近年來(lái)國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，成像時(shí)通過(guò)多陣元發(fā)射、多陣元接收的形式來(lái)滿足空間采樣的需要，將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用于MIMO成像，可大幅提升雷達(dá)成像分辨率。將壓縮感知理論應(yīng)用于雷達(dá)成像需要解決信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法三大關(guān)鍵技術(shù)。傳統(tǒng)的算法比如基追蹤算法、貪婪算法等，能對(duì)傳統(tǒng)稀疏信號(hào)實(shí)現(xiàn)高效的重構(gòu)。然而傳統(tǒng)基于壓縮感知的MIMO雷達(dá)成像都是將目標(biāo)考慮為點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行成像，可能無(wú)法真實(shí)反映目標(biāo)的真實(shí)結(jié)構(gòu)尺寸等信息，這是由于目標(biāo)連續(xù)區(qū)域的回波信號(hào)往往會(huì)表現(xiàn)出塊稀疏結(jié)構(gòu)特性[1]，基于塊稀疏恢復(fù)理論的MIMO雷達(dá)成像可更好的重構(gòu)恢復(fù)目標(biāo)像，進(jìn)一步反映目標(biāo)的真實(shí)信息。許多學(xué)者針對(duì)其特殊的結(jié)構(gòu)，提出塊稀疏算法。文獻(xiàn)[2]提出塊正交匹配追蹤算法；文獻(xiàn)[3]提出l2/l1范數(shù)最小化算法；文獻(xiàn)[4]提出了具有模式耦合思想的PCSBL算法(pattern-coupled sparse bayesian learning)；文獻(xiàn)[5]提出了局部低秩提升(localized low-rank promoting，LOOP)算法，根據(jù)回波信號(hào)塊局部結(jié)構(gòu)平滑現(xiàn)象所表達(dá)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)系數(shù)的相關(guān)性，將目標(biāo)稀疏回波信號(hào)的連續(xù)系數(shù)劃分為多個(gè)2×2維矩陣，通過(guò)局部低秩提升函數(shù)和對(duì)數(shù)行列式函數(shù)等工具，利用最小優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對(duì)稀疏信號(hào)的高效重構(gòu)。

文中引入局部低秩提升LOOP算法，并將其應(yīng)用到MIMO雷達(dá)成像中，充分挖掘目標(biāo)回波信號(hào)的低秩和塊稀疏結(jié)構(gòu)特性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)MIMO雷達(dá)目標(biāo)像的高質(zhì)量重構(gòu)。

1 MIMO線陣回波模型

圖1 MIMO雷達(dá)陣列模型示意圖

建立MIMO陣列信號(hào)回波模型。如圖1中均勻線陣組成是It個(gè)發(fā)射陣元和Mr個(gè)接收陣元。間距分別為dt和dr。三維坐標(biāo)系的原點(diǎn)是第一個(gè)發(fā)射陣元，X-Y平面與陣列對(duì)應(yīng)，其中發(fā)射陣為Y軸。第i個(gè)發(fā)射陣元的位置用Ti表示，第m個(gè)接收陣元位置用Rm表示，坐標(biāo)原點(diǎn)是T0。

(1)

式中:T為信號(hào)子脈沖長(zhǎng)度；fc為信號(hào)載頻。不同發(fā)射信號(hào)之間相互正交，即

(2)

第m個(gè)接收陣元的回波信號(hào)，是第i個(gè)發(fā)射陣元的信號(hào)被目標(biāo)散射中心P散射后經(jīng)過(guò)匹配濾波分離的信號(hào)，可表示為:

(3)

式中：發(fā)射波形的自相關(guān)函數(shù)是αi(t)；延時(shí)是τp,i,m=(TiP+PRm)/c；第i個(gè)發(fā)射陣元到散射中心P的距離為TiP和第m個(gè)接收陣元到散射中心P的距離為PRm。

指定目標(biāo)散射中心O為參考點(diǎn)且O為相對(duì)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，P點(diǎn)在該相對(duì)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(Px,Py)，那么目標(biāo)運(yùn)動(dòng)不會(huì)改變坐標(biāo)(Px,Py)。因此式(3)可近似為:

(4)

式中：相位中心參考點(diǎn)為O，發(fā)射信號(hào)的波長(zhǎng)為λ，回波信號(hào)經(jīng)過(guò)相位補(bǔ)償后可表示為：

(5)

由文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]中的引理進(jìn)行推導(dǎo)，可得到具有D個(gè)散射中心的目標(biāo)回波信號(hào)為:

(6)

式中:σp=ζp(-j2π(OP)T(T0O/T0O+OR0/OR0)/λ)，(xp,yp)為包含目標(biāo)散射中心P的位置信息(Px,Py)的位置參數(shù)。

2 局部低秩提升算法

2.1 MIMO成像算法評(píng)價(jià)方法

衡量各個(gè)算法的成像性能時(shí)，應(yīng)采用定性和定量分析相結(jié)合的辦法，既要觀察成像結(jié)果是否反映目標(biāo)真實(shí)信息，還要對(duì)成像結(jié)果相接近的進(jìn)行定量分析，可以采用圖像熵(image entropy, IE)和圖像對(duì)比度兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)一步定量分析成像效果。兩個(gè)指標(biāo)定義為：

(7)

(8)

式中：目標(biāo)圖像用I表示，和值用Sum{·}表示，圖像中元素值平均值用Ave{·}表示。IE和IC值均反映圖像中目標(biāo)的聚集特征，熵值IE越低，對(duì)比度IC越高，代表著成像性能越好。

2.2 局部低秩信號(hào)模型

結(jié)合MIMO雷達(dá)實(shí)際成像場(chǎng)景，考慮一個(gè)塊稀疏信號(hào)x∈RM×1恢復(fù)問(wèn)題。

y=Ax+w

(9)

圖2 矩陣X轉(zhuǎn)置示意圖

定義Xi(1≤i≤N)為2×2維矩陣，由矩陣X的第i行和第(i+1)行構(gòu)成，則

(10)

顯然，如果xi-1、xi和xi+1是非0且局部平滑的，則是一個(gè)近似秩為1的矩陣。通過(guò)觀察圖2這個(gè)模型可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)提高矩陣Xi的低秩性來(lái)尋求塊稀疏和局部平滑的解x。更精確的說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題可以描述為：

(11)

(12)

式中：E是一個(gè)正定矩陣，用來(lái)確保對(duì)數(shù)函數(shù)滿足定義。因此可以將E設(shè)置為：

(13)

式中：δ為一個(gè)非常小的正數(shù)，κ(-1<κ<1)為一個(gè)參數(shù)，則式(12)可最終表示為一個(gè)沒(méi)有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題。

(14)

式中：λ為控制低秩和適應(yīng)誤差的權(quán)衡參數(shù)。

(15)

(16)

令θi表示兩個(gè)矢量[xi-1,xi]T和[xi,xi+1]T的夾角，則式(16)的第二項(xiàng)可以表示為:

log(1-cos2θi)=2log|sinθi|

(17)

因此

(18)

式(18)中的右邊的第一項(xiàng)表示交叉系數(shù)的對(duì)數(shù)和函數(shù)，用來(lái)促進(jìn)塊稀疏化的求解。式(16)中的第二項(xiàng)傾向于|sinθi|值較小的解，從而可能實(shí)現(xiàn)解的局部平滑。

2.3 迭代加權(quán)算法

利用文獻(xiàn)[9]提出最小優(yōu)化(majorization-minimization，MM)算法，通過(guò)迭代最小化目標(biāo)函數(shù)的上界來(lái)求解。文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]表明對(duì)數(shù)行列式函數(shù)的代理函數(shù)為:

(20)

令

(21)

把式(10)和式(21)代入式(20)得:

(22)

最后，使式(14)中的目標(biāo)函數(shù)具體化的代理函數(shù)可表示為:

(23)

因此，優(yōu)化式(14)可以通過(guò)迭代最小化式(23)來(lái)代替，式(20)的最優(yōu)解為：

x=(ATA+λ-1W)-1ATy

(24)

通過(guò)迭代最小化Q(x|x(t))，能保證目標(biāo)函數(shù)L(x)在每次迭代過(guò)程中不遞增。

歸納上述分析過(guò)程，總結(jié)出基于LOOP算法的MIMO雷達(dá)成像流程如下：

輸入：觀測(cè)信號(hào)y，感知矩陣A以及參數(shù)λ和κ；

輸出：雷達(dá)信號(hào)x。

1)給出一個(gè)初始雷達(dá)信號(hào)x(0)，并且設(shè)置t=0；

2)當(dāng)未達(dá)到收斂條件時(shí)，循環(huán)；

4)計(jì)算新的稀疏雷達(dá)估計(jì)信號(hào)，記為x(t+1)；

6)δ(t+1)=δ(t)/10；

7)停止迭代，否則

8)t=t+1；

9)結(jié)束循環(huán)。

3 仿真與結(jié)果分析

MIMO陣列排布如圖1所示。仿真目標(biāo)的點(diǎn)散射模型如圖3所示，目標(biāo)質(zhì)心O(0,0,20 000)，單位m。設(shè)發(fā)射天線It=4個(gè)，陣元間距為dt=12 m，接收天線Mr=25個(gè)，接收天線間距為dr=12 m。雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的載波頻率為10 GHz，雷達(dá)采樣頻率為5 GHz，發(fā)射信號(hào)采用4個(gè)正交性和接收正交分離性均較好的正負(fù)LFM信號(hào)，以發(fā)射陣列第一個(gè)陣元T0作為測(cè)量坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，以參考相位中心點(diǎn)O為相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)。

圖3 散射點(diǎn)模型

圖4是包括LOOP算法在內(nèi)的各種算法對(duì)目標(biāo)模型的成像效果。

圖4 各算法成像效果圖

分別計(jì)算圖4中各算法成像圖的IE和IC值，可得

IEFFT=5.291 5，IEOMP=5.423 5，IESBL=3.713 7，IELOOP=5.193 9;

ICFFT=7.664 7，ICOMP=7.653 2，ICSBL=7.433 7，ICLOOP=7.703 2。

通過(guò)對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，基于LOOP算法的MIMO雷達(dá)成像方法較傳統(tǒng)的壓縮感知算法能更好的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)像的重構(gòu)。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)的壓縮感知算法往往無(wú)法實(shí)現(xiàn)塊稀疏信號(hào)重構(gòu)，應(yīng)用到MIMO成像時(shí)會(huì)影響精度，從而無(wú)法較精確的反應(yīng)目標(biāo)的真實(shí)信息，文中通過(guò)局部低秩提升算法挖掘MIMO雷達(dá)回波信號(hào)的塊稀疏特性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)目標(biāo)像的高質(zhì)量重構(gòu)。