具有輸入飽和的光電伺服平臺的滑?？刂?/h1>
2020-07-08 09:24:22鐘銘亮段倩文陳興龍
激光技術(shù) 2020年4期
喬 琦，鐘銘亮，任 維，段倩文，陳興龍，毛 耀*
（1.中國科學(xué)院光束控制重點實驗室，成都610209；2.中國科學(xué)院 光電技術(shù)研究所，成都610209；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049）
引 言
光電伺服平臺是一種集光、機、電為一體的復(fù)雜高精度定向跟蹤系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于海陸空等領(lǐng)域中，主要用來實現(xiàn)對運動目標(biāo)的實時精密跟蹤和測量［1-3］。在各種應(yīng)用場景中，光電伺服平臺在實際運行過程中又會受到摩擦力矩、電機力矩波動、風(fēng)載擾動以及其它各種非線性因素的影響，造成系統(tǒng)的跟蹤性能降低。采用傳統(tǒng)的比例-積分-微分（proportional-integral-derivative，PID）控制技術(shù)，在建模時一般做近似處理，忽略系統(tǒng)中存在的一些非線性因素，建立一個線性的數(shù)學(xué)模型，由此設(shè)計的控制器，光電伺服平臺的閉環(huán)性能很難獲得較大的提升［4］。而滑模控制（sliding mode control，SMC）對系統(tǒng)參量變化和各類擾動不敏感，具有魯棒性好、響應(yīng)速度快及物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點［5］，可以對上述不確定因素進行有效抑制。參考文獻［6］中采用積分滑模變結(jié)構(gòu)控制消除了高精度光電伺服穩(wěn)定平臺由非線性摩擦所引起的低速“爬行”現(xiàn)象。參考文獻［7］中提出了一種基于有限時間擾動觀測器的連續(xù)非奇異終端滑?？刂品椒ǎ沟孟到y(tǒng)輸出即使在多源擾動存在情況下，也可在有限時間內(nèi)快速收斂到平衡點，從而提高光電跟蹤系統(tǒng)的抗干擾能力與穩(wěn)態(tài)控制精度。然而當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，系統(tǒng)的初始誤差較大，控制器會輸出一個較大的控制量，同時由于伺服電機受電流、轉(zhuǎn)速等因素的影響以及出于安全考慮而人為加入的限幅器，都會導(dǎo)致電機的輸出被限制在一定的允許范圍內(nèi)，這種情況下系統(tǒng)就會產(chǎn)生輸入飽和問題［8］。通過一些方法可以避免產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，如適當(dāng)降低控制器增益，將控制器輸出限制在線性區(qū)域內(nèi)，但是該方法會導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低［9］。因此，研究一種能夠有效解決飽和問題的控制方法具有重大的工程應(yīng)用價值。
針對輸入飽和問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)有了很多研究［10-14］。參考文獻［15］中提出了一種指令濾波器法來解決無人駕駛飛行器的飽和問題，但是該方法的設(shè)計過程過于復(fù)雜，不易于工程實現(xiàn)。參考文獻［16］中提出了抗飽和控制來解決具有執(zhí)行器飽和現(xiàn)象的航天器大角度姿態(tài)控制問題，然而該方法無法從理論上證明其穩(wěn)定性。因此，設(shè)計一種形式簡單、易于實現(xiàn)且能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定的控制方法來解決飽和問題是十分必要的。本文中采用滑模控制算法設(shè)計外環(huán)控制器，提出一種新的過渡過程算法（transition process，TP）來解決飽和問題。過渡過程算法通過將一個快速變化的階躍信號變?yōu)橐粋€緩慢上升的輸入信號，減小系統(tǒng)初始跟蹤誤差，從而使控制器輸出一個較小的控制量，避免了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。經(jīng)過大量理論仿真和實驗驗證，該算法在光電伺服平臺上取得了較好的控制效果。
1 光電伺服平臺的數(shù)學(xué)模型
光電伺服平臺是由俯仰軸和方位軸共同組成的，結(jié)構(gòu)如圖1所示。由于俯仰軸和方位軸在空間上是相互獨立，控制方法一致，因此本文中選擇方位軸作為研究對象。
Fig.1 The optoelectronic servo platform
其位置開環(huán)模型可以描述為如下2階被控對象模型：
式中，θ（t）是實驗平臺的視軸相對于載體基座的相對角位移；u（t）為控制量；d（t）為系統(tǒng)所受到的總外部擾動；a0，a1和b是簡化后的系數(shù)，可以通過實驗測得。
令x1＝θ（t），x2＝θ·（t），將上述微分方程（1）式轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：
假設(shè)1：外界擾動d（t）是可觀測的和有界的，且滿足 ~D≥ d（t）max。其中，~D是外界總擾動的上界值。
2 滑?？刂破鞯脑O(shè)計
光電伺服平臺在實際運行過程中會受到模型參量變化和眾多外部擾動的影響，造成系統(tǒng)的閉環(huán)性能降低。而滑?？刂茖ο到y(tǒng)參量變化和各類外部擾動不靈敏，具有魯棒性好、響應(yīng)速度快及物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于這一類控制系統(tǒng)中。
滑?？刂票举|(zhì)上是一類特殊的非線性控制，與其它控制的不同之處在于系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”不固定，可以在動態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)沿預(yù)定“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動［5］。
對于（2）式，按如下步驟設(shè)計滑?？刂破?。
首先，定義系統(tǒng)跟蹤誤差為：e＝r-x1，＝-x2，。其中，和分別是目標(biāo)位置信號、位置跟蹤誤差、速度跟蹤誤差和加速度跟蹤誤差。
選取線性滑模面為：
式中，系數(shù)c＞0。
對（3）式進行求導(dǎo)可得：
20世紀(jì)，中國學(xué)者GAO院士提出了趨近律的概念，其目的是通過設(shè)計不同的趨近律，改善系統(tǒng)趨近過程的動態(tài)品質(zhì)［17］。采用指數(shù)趨近律：
式中，k和ε都是正數(shù)。可以通過調(diào)整參量k和ε的大小來改變趨近速度和抖振程度。
結(jié)合（4）式和（5）式可得如下控制器：
式中，q＞ε+~D。
對滑動模態(tài)的穩(wěn)定性進行分析，考慮如下李雅普諾夫函數(shù)：
對V求導(dǎo)可得：
函數(shù)V是正定的，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性條件只要其導(dǎo)數(shù)負(fù)定就能保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，即V·＜0。
結(jié)合（4）式、（6）式和（8）式可得：
因為q＞~D≥d，所以：
3 飽和現(xiàn)象的產(chǎn)生
盡管滑?？刂茖ν饨绺蓴_具有強魯棒性的優(yōu)點，但是在光電伺服平臺上使用滑?？刂破鬟M行大幅值階躍信號跟蹤時，系統(tǒng)依然會產(chǎn)生執(zhí)行器飽和現(xiàn)象。
從（3）式可知，系統(tǒng)誤差越大，滑模面s就越大。結(jié)合（6）式可知，此時控制量u也就越大。當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，由于系統(tǒng)的初始誤差較大，滑?？刂破鲿敵鲆粋€較大的控制量，同時由于執(zhí)行機構(gòu)的物理限制以及出于安全考慮而人為加入的限幅器，電機的驅(qū)動量被限制在一定范圍內(nèi)，此時系統(tǒng)就會產(chǎn)生執(zhí)行器飽和現(xiàn)象。
Fig.2 Three-loop closed-loop simulation block diagram based on SMC
Fig.3 Output of each variable using SMC control strategya—position outpu—drive outpu—sliding mode surfac—error
為了充分說明飽和問題，可以將滑?？刂破鲬?yīng)用到光電伺服平臺上，搭建如圖2所示的仿真框圖。內(nèi)環(huán)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，加速度環(huán)和速度環(huán)采用傳統(tǒng)的PID控制器，位置環(huán)采用本文中提出的滑?？刂破鳌Ｓ捎诒緦嶒炂脚_的執(zhí)行機構(gòu)允許輸出的驅(qū)動量范圍是-1024～1024，因此仿真中設(shè)計的飽和器的輸出上限是1024，輸出下限是-1024。仿真結(jié)果如圖3所示。
從圖3a中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用滑?？刂破鲿r，系統(tǒng)輸出可以快速無超調(diào)地跟蹤上輸入信號。但是從圖3b中可以看出，系統(tǒng)的驅(qū)動輸出發(fā)生了飽和現(xiàn)象，和上面的理論分析保持一致。執(zhí)行器飽和是一種非線性特性，會導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，因此需要在實際工程中避免掉。
4 過渡過程的設(shè)計
為了解決上述問題，本文中提出使用合適的過渡過程方法，來減小系統(tǒng)的初始跟蹤誤差，從而消除驅(qū)動飽和現(xiàn)象?；跁r間最優(yōu)控制理論，本文中提出了一種新的過渡過程算法。通過使跳變的輸入信號r變?yōu)橐粋€緩慢上升的信號，從而讓系統(tǒng)在跟蹤輸入信號的整個過程中都保持一個較小的誤差，避免了輸入飽和現(xiàn)象。
考慮如下系統(tǒng)狀態(tài)方程：
式中，x1＝rTP，x2＝。
隨著人們生活水平的提高，人們對旅游業(yè)的要求也越來越高。旅游者已經(jīng)不再滿足普通的游玩和觀光模式，所以相關(guān)的航空公司和旅游地區(qū)可以根據(jù)自身的實際情況開通一些航空旅游項目，航空公司也可以開設(shè)跳傘等一些極限運動項目。而且在實際情況當(dāng)中，我國很多地區(qū)的航空公司都已經(jīng)開通了相關(guān)的旅游業(yè)，并且取得了顯著的成果，也在一定程度上推動了航空公司的發(fā)展并提高了相關(guān)的經(jīng)濟水平。
系統(tǒng)初始條件和終端條件分析為：
式中，ra是階躍信號的幅值，初始時間為0，tf是終止時間。
從實際應(yīng)用角度出發(fā)，系統(tǒng)控制輸出總有一個極限值。因此，控制約束為：
式中，amax是最大角加速度。
求取如下性能指標(biāo)取極小的最優(yōu)控制：
通過構(gòu)造哈密頓函數(shù)可求得最優(yōu)解為：
結(jié)合初始條件和終端條件，對（15）式進行二次積分可得：
由（16）式可知，過渡信號rTP分為3個時間段。第1個時間段是加速階段［0，t1］，從0開始以amax為加速度沿拋物線上升；第2個時間段是減速階段［t1，tf］，以-amax為加速度沿拋物線上升到設(shè)定值ra；第3個時間段是在tf時刻以后維持在設(shè)定值上。
5 仿真分析和實驗驗證
5.1 仿真分析
為了驗證本文中設(shè)計的控制策略的有效性和優(yōu)越性，在MATLAB軟件平臺下，建立系統(tǒng)仿真模型，如圖4所示。其中，擾動信號d＝sin t，限幅器的范圍為-1024～1024，傳感器都為單位反饋。
Fig.4 Three-loop closed-loop simulation block diagram based on TPSMC
用SMC和基于過渡過程的滑?？刂扑惴ǎ╯lidingmode control based on transiton process，TPSMC）分別跟蹤60°階躍信號來驗證方法的有效性和先進性，仿真結(jié)果如圖5所示。實線是當(dāng)系統(tǒng)采用SMC控制策略時每個變量的曲線，虛線是當(dāng)系統(tǒng)采用TPSMC控制策略時每個變量的曲線。圖5a中是位置輸出曲線，其中r代表原始階躍信號，SMC代表采用SMC控制策略時的位置輸出，rTP代表由過渡過程設(shè)計的輸入信號，TPSMC代表采用TPSMC控制策略時的位置輸出；圖5b中是驅(qū)動輸出曲線。
Fig.5 Simulation comparison of position output and drive output when two control strategies track 60°step signals respectively
從圖5a中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用滑?？刂破鲿r，系統(tǒng)的位置輸出是沒有超調(diào)的，且響應(yīng)速度足夠快。從圖5b中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用SMC的控制策略時，驅(qū)動飽和現(xiàn)象發(fā)生在控制過程的開始階段，且驅(qū)動輸出存在震蕩現(xiàn)象。而系統(tǒng)采用TPSMC控制策略后，系統(tǒng)的驅(qū)動輸出不再有飽和現(xiàn)象，且消除了震蕩現(xiàn)象，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此可知，采用本文中提出的控制方法，在不影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度的前提下，可以更好地消除驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
5.2 實驗驗證
實驗平臺如圖6所示。主要由控制器、驅(qū)動裝置、傳感器等幾部分組成。電機采用永磁同步直流電機，允許輸出的驅(qū)動量范圍是-1024～1024。位置傳感器采用光電編碼器，速度傳感器采用微機電系統(tǒng)陀螺，加速度傳感器采用加速度計，控制器采用MSM800+PC104集成模塊，加速度傳感器和速度傳感器的采樣頻率是1kHz，位置傳感器的采樣頻率是50Hz，實驗測得平臺的最大加速度amax＝1664.9°／s2。永磁同步電機的參量如表1所示。
Fig.6 Experiment platform
Table 1 Motor parameters
采用掃頻法對（2）式中的參量a1，a2和b進行辨識，得到其位置開環(huán)頻率響應(yīng)曲線如圖7所示。實線代表測量曲線，虛線代表擬合曲線。擬合出的參量為：
為了能夠充分說明當(dāng)系統(tǒng)分別采用SMC和TPSMC跟蹤大范圍角度時的對比情況，實驗中分別跟蹤了30°，60°和90°的輸入信號，以跟蹤誤差最小為指標(biāo)優(yōu)化得到一組滑模參量q＝1.5，k＝20，c＝14，實驗結(jié)果如圖8～圖10所示。定量實驗結(jié)果如表2所示。圖中的各變量定義與仿真結(jié)果圖中的變量定義保持一致。
定義誤差波動量為：
式中，emax是系統(tǒng)跟蹤過程中產(chǎn)生的最大誤差值，emin是系統(tǒng)跟蹤過程中產(chǎn)生的最小誤差值，r是目標(biāo)階躍信號，誤差波動量用來衡量系統(tǒng)在跟蹤目標(biāo)的過程中誤差的變化情況。從圖8a～圖10a中的實驗結(jié)果對比
Fig.7 Position open loop frequency response test
Fig.8 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 30°step signals respectivelya—position outpu—erro—controller outpu—drive output
Table2 Experimental result
Fig.9 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 60°step signals respectivelya—position outpu—erro—controller outpu—drive output
Fig.10 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 90°step signals respectivelya—position output b—error c—controller output d—drive output
可知，SMC和TPSMC都可以快速無超調(diào)的跟蹤上目標(biāo)信號，這與上述仿真結(jié)果相驗證；從圖8、圖9、圖10的b，c，d小圖和表2中的實驗結(jié)果對比可知，當(dāng)采用SMC控制策略時，系統(tǒng)的初始誤差較大，滑模控制器此時輸出了一個較大的控制量，導(dǎo)致電機驅(qū)動輸出值超出了-1024～1024，產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，而當(dāng)采用TPSMC控制策略時，由于過度過程算法將一個快速變化的階躍信號變?yōu)榱艘粋€緩慢上升的輸入信號，使系統(tǒng)在跟蹤輸入信號的整個過程中都保持一個較小的誤差，從而消除了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這與上述理論分析和仿真結(jié)果相一致。實驗結(jié)果表明，基于過渡過程的滑?？刂茻o超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差小，驅(qū)動輸出平緩，適合應(yīng)用于光電伺服平臺的目標(biāo)跟蹤，具有重要研究與應(yīng)用價值。
6 結(jié) 論
光電伺服平臺在實際運行過程中會受到各種非線性擾動的影響，造成系統(tǒng)跟蹤精度降低。為了減小外界擾動對系統(tǒng)跟蹤性能的影響，本文中利用滑?？刂扑惴敯粜院?、響應(yīng)快速和實現(xiàn)簡單的優(yōu)點，設(shè)計滑?？刂破鬟M行系統(tǒng)目標(biāo)的定點跟蹤。然而當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，執(zhí)行機構(gòu)會產(chǎn)生驅(qū)動飽和現(xiàn)象。因此，引入過渡過程算法，通過將一個快速變化的階躍信號變?yōu)橐粋€緩慢上升的輸入信號，減小了系統(tǒng)初始跟蹤誤差，從而避免了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，極大地提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真和實驗數(shù)據(jù)表明，該控制策略適合應(yīng)用于光電伺服平臺的目標(biāo)跟蹤，具有重要的研究與應(yīng)用價值。
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引 言
光電伺服平臺是一種集光、機、電為一體的復(fù)雜高精度定向跟蹤系統(tǒng)，被廣泛應(yīng)用于海陸空等領(lǐng)域中，主要用來實現(xiàn)對運動目標(biāo)的實時精密跟蹤和測量［1-3］。在各種應(yīng)用場景中，光電伺服平臺在實際運行過程中又會受到摩擦力矩、電機力矩波動、風(fēng)載擾動以及其它各種非線性因素的影響，造成系統(tǒng)的跟蹤性能降低。采用傳統(tǒng)的比例-積分-微分（proportional-integral-derivative，PID）控制技術(shù)，在建模時一般做近似處理，忽略系統(tǒng)中存在的一些非線性因素，建立一個線性的數(shù)學(xué)模型，由此設(shè)計的控制器，光電伺服平臺的閉環(huán)性能很難獲得較大的提升［4］。而滑模控制（sliding mode control，SMC）對系統(tǒng)參量變化和各類擾動不敏感，具有魯棒性好、響應(yīng)速度快及物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點［5］，可以對上述不確定因素進行有效抑制。參考文獻［6］中采用積分滑模變結(jié)構(gòu)控制消除了高精度光電伺服穩(wěn)定平臺由非線性摩擦所引起的低速“爬行”現(xiàn)象。參考文獻［7］中提出了一種基于有限時間擾動觀測器的連續(xù)非奇異終端滑?？刂品椒ǎ沟孟到y(tǒng)輸出即使在多源擾動存在情況下，也可在有限時間內(nèi)快速收斂到平衡點，從而提高光電跟蹤系統(tǒng)的抗干擾能力與穩(wěn)態(tài)控制精度。然而當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，系統(tǒng)的初始誤差較大，控制器會輸出一個較大的控制量，同時由于伺服電機受電流、轉(zhuǎn)速等因素的影響以及出于安全考慮而人為加入的限幅器，都會導(dǎo)致電機的輸出被限制在一定的允許范圍內(nèi)，這種情況下系統(tǒng)就會產(chǎn)生輸入飽和問題［8］。通過一些方法可以避免產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，如適當(dāng)降低控制器增益，將控制器輸出限制在線性區(qū)域內(nèi)，但是該方法會導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低［9］。因此，研究一種能夠有效解決飽和問題的控制方法具有重大的工程應(yīng)用價值。
針對輸入飽和問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)有了很多研究［10-14］。參考文獻［15］中提出了一種指令濾波器法來解決無人駕駛飛行器的飽和問題，但是該方法的設(shè)計過程過于復(fù)雜，不易于工程實現(xiàn)。參考文獻［16］中提出了抗飽和控制來解決具有執(zhí)行器飽和現(xiàn)象的航天器大角度姿態(tài)控制問題，然而該方法無法從理論上證明其穩(wěn)定性。因此，設(shè)計一種形式簡單、易于實現(xiàn)且能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定的控制方法來解決飽和問題是十分必要的。本文中采用滑模控制算法設(shè)計外環(huán)控制器，提出一種新的過渡過程算法（transition process，TP）來解決飽和問題。過渡過程算法通過將一個快速變化的階躍信號變?yōu)橐粋€緩慢上升的輸入信號，減小系統(tǒng)初始跟蹤誤差，從而使控制器輸出一個較小的控制量，避免了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。經(jīng)過大量理論仿真和實驗驗證，該算法在光電伺服平臺上取得了較好的控制效果。
1 光電伺服平臺的數(shù)學(xué)模型
光電伺服平臺是由俯仰軸和方位軸共同組成的，結(jié)構(gòu)如圖1所示。由于俯仰軸和方位軸在空間上是相互獨立，控制方法一致，因此本文中選擇方位軸作為研究對象。
Fig.1 The optoelectronic servo platform
其位置開環(huán)模型可以描述為如下2階被控對象模型：
式中，θ（t）是實驗平臺的視軸相對于載體基座的相對角位移；u（t）為控制量；d（t）為系統(tǒng)所受到的總外部擾動；a0，a1和b是簡化后的系數(shù)，可以通過實驗測得。
令x1＝θ（t），x2＝θ·（t），將上述微分方程（1）式轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程：
假設(shè)1：外界擾動d（t）是可觀測的和有界的，且滿足 ~D≥ d（t）max。其中，~D是外界總擾動的上界值。
2 滑?？刂破鞯脑O(shè)計
光電伺服平臺在實際運行過程中會受到模型參量變化和眾多外部擾動的影響，造成系統(tǒng)的閉環(huán)性能降低。而滑?？刂茖ο到y(tǒng)參量變化和各類外部擾動不靈敏，具有魯棒性好、響應(yīng)速度快及物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于這一類控制系統(tǒng)中。
滑?？刂票举|(zhì)上是一類特殊的非線性控制，與其它控制的不同之處在于系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”不固定，可以在動態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)，有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)沿預(yù)定“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動［5］。
對于（2）式，按如下步驟設(shè)計滑?？刂破?。
首先，定義系統(tǒng)跟蹤誤差為：e＝r-x1，＝-x2，。其中，和分別是目標(biāo)位置信號、位置跟蹤誤差、速度跟蹤誤差和加速度跟蹤誤差。
選取線性滑模面為：
式中，系數(shù)c＞0。
對（3）式進行求導(dǎo)可得：
20世紀(jì)，中國學(xué)者GAO院士提出了趨近律的概念，其目的是通過設(shè)計不同的趨近律，改善系統(tǒng)趨近過程的動態(tài)品質(zhì)［17］。采用指數(shù)趨近律：
式中，k和ε都是正數(shù)。可以通過調(diào)整參量k和ε的大小來改變趨近速度和抖振程度。
結(jié)合（4）式和（5）式可得如下控制器：
式中，q＞ε+~D。
對滑動模態(tài)的穩(wěn)定性進行分析，考慮如下李雅普諾夫函數(shù)：
對V求導(dǎo)可得：
函數(shù)V是正定的，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性條件只要其導(dǎo)數(shù)負(fù)定就能保證系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，即V·＜0。
結(jié)合（4）式、（6）式和（8）式可得：
因為q＞~D≥d，所以：
3 飽和現(xiàn)象的產(chǎn)生
盡管滑?？刂茖ν饨绺蓴_具有強魯棒性的優(yōu)點，但是在光電伺服平臺上使用滑?？刂破鬟M行大幅值階躍信號跟蹤時，系統(tǒng)依然會產(chǎn)生執(zhí)行器飽和現(xiàn)象。
從（3）式可知，系統(tǒng)誤差越大，滑模面s就越大。結(jié)合（6）式可知，此時控制量u也就越大。當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，由于系統(tǒng)的初始誤差較大，滑?？刂破鲿敵鲆粋€較大的控制量，同時由于執(zhí)行機構(gòu)的物理限制以及出于安全考慮而人為加入的限幅器，電機的驅(qū)動量被限制在一定范圍內(nèi)，此時系統(tǒng)就會產(chǎn)生執(zhí)行器飽和現(xiàn)象。
Fig.2 Three-loop closed-loop simulation block diagram based on SMC
Fig.3 Output of each variable using SMC control strategya—position outpu—drive outpu—sliding mode surfac—error
為了充分說明飽和問題，可以將滑?？刂破鲬?yīng)用到光電伺服平臺上，搭建如圖2所示的仿真框圖。內(nèi)環(huán)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，加速度環(huán)和速度環(huán)采用傳統(tǒng)的PID控制器，位置環(huán)采用本文中提出的滑?？刂破鳌Ｓ捎诒緦嶒炂脚_的執(zhí)行機構(gòu)允許輸出的驅(qū)動量范圍是-1024～1024，因此仿真中設(shè)計的飽和器的輸出上限是1024，輸出下限是-1024。仿真結(jié)果如圖3所示。
從圖3a中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用滑?？刂破鲿r，系統(tǒng)輸出可以快速無超調(diào)地跟蹤上輸入信號。但是從圖3b中可以看出，系統(tǒng)的驅(qū)動輸出發(fā)生了飽和現(xiàn)象，和上面的理論分析保持一致。執(zhí)行器飽和是一種非線性特性，會導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，因此需要在實際工程中避免掉。
4 過渡過程的設(shè)計
為了解決上述問題，本文中提出使用合適的過渡過程方法，來減小系統(tǒng)的初始跟蹤誤差，從而消除驅(qū)動飽和現(xiàn)象?；跁r間最優(yōu)控制理論，本文中提出了一種新的過渡過程算法。通過使跳變的輸入信號r變?yōu)橐粋€緩慢上升的信號，從而讓系統(tǒng)在跟蹤輸入信號的整個過程中都保持一個較小的誤差，避免了輸入飽和現(xiàn)象。
考慮如下系統(tǒng)狀態(tài)方程：
式中，x1＝rTP，x2＝。
隨著人們生活水平的提高，人們對旅游業(yè)的要求也越來越高。旅游者已經(jīng)不再滿足普通的游玩和觀光模式，所以相關(guān)的航空公司和旅游地區(qū)可以根據(jù)自身的實際情況開通一些航空旅游項目，航空公司也可以開設(shè)跳傘等一些極限運動項目。而且在實際情況當(dāng)中，我國很多地區(qū)的航空公司都已經(jīng)開通了相關(guān)的旅游業(yè)，并且取得了顯著的成果，也在一定程度上推動了航空公司的發(fā)展并提高了相關(guān)的經(jīng)濟水平。
系統(tǒng)初始條件和終端條件分析為：
式中，ra是階躍信號的幅值，初始時間為0，tf是終止時間。
從實際應(yīng)用角度出發(fā)，系統(tǒng)控制輸出總有一個極限值。因此，控制約束為：
式中，amax是最大角加速度。
求取如下性能指標(biāo)取極小的最優(yōu)控制：
通過構(gòu)造哈密頓函數(shù)可求得最優(yōu)解為：
結(jié)合初始條件和終端條件，對（15）式進行二次積分可得：
由（16）式可知，過渡信號rTP分為3個時間段。第1個時間段是加速階段［0，t1］，從0開始以amax為加速度沿拋物線上升；第2個時間段是減速階段［t1，tf］，以-amax為加速度沿拋物線上升到設(shè)定值ra；第3個時間段是在tf時刻以后維持在設(shè)定值上。
5 仿真分析和實驗驗證
5.1 仿真分析
為了驗證本文中設(shè)計的控制策略的有效性和優(yōu)越性，在MATLAB軟件平臺下，建立系統(tǒng)仿真模型，如圖4所示。其中，擾動信號d＝sin t，限幅器的范圍為-1024～1024，傳感器都為單位反饋。
Fig.4 Three-loop closed-loop simulation block diagram based on TPSMC
用SMC和基于過渡過程的滑?？刂扑惴ǎ╯lidingmode control based on transiton process，TPSMC）分別跟蹤60°階躍信號來驗證方法的有效性和先進性，仿真結(jié)果如圖5所示。實線是當(dāng)系統(tǒng)采用SMC控制策略時每個變量的曲線，虛線是當(dāng)系統(tǒng)采用TPSMC控制策略時每個變量的曲線。圖5a中是位置輸出曲線，其中r代表原始階躍信號，SMC代表采用SMC控制策略時的位置輸出，rTP代表由過渡過程設(shè)計的輸入信號，TPSMC代表采用TPSMC控制策略時的位置輸出；圖5b中是驅(qū)動輸出曲線。
Fig.5 Simulation comparison of position output and drive output when two control strategies track 60°step signals respectively
從圖5a中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用滑?？刂破鲿r，系統(tǒng)的位置輸出是沒有超調(diào)的，且響應(yīng)速度足夠快。從圖5b中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)采用SMC的控制策略時，驅(qū)動飽和現(xiàn)象發(fā)生在控制過程的開始階段，且驅(qū)動輸出存在震蕩現(xiàn)象。而系統(tǒng)采用TPSMC控制策略后，系統(tǒng)的驅(qū)動輸出不再有飽和現(xiàn)象，且消除了震蕩現(xiàn)象，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此可知，采用本文中提出的控制方法，在不影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度的前提下，可以更好地消除驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
5.2 實驗驗證
實驗平臺如圖6所示。主要由控制器、驅(qū)動裝置、傳感器等幾部分組成。電機采用永磁同步直流電機，允許輸出的驅(qū)動量范圍是-1024～1024。位置傳感器采用光電編碼器，速度傳感器采用微機電系統(tǒng)陀螺，加速度傳感器采用加速度計，控制器采用MSM800+PC104集成模塊，加速度傳感器和速度傳感器的采樣頻率是1kHz，位置傳感器的采樣頻率是50Hz，實驗測得平臺的最大加速度amax＝1664.9°／s2。永磁同步電機的參量如表1所示。
Fig.6 Experiment platform
Table 1 Motor parameters
采用掃頻法對（2）式中的參量a1，a2和b進行辨識，得到其位置開環(huán)頻率響應(yīng)曲線如圖7所示。實線代表測量曲線，虛線代表擬合曲線。擬合出的參量為：
為了能夠充分說明當(dāng)系統(tǒng)分別采用SMC和TPSMC跟蹤大范圍角度時的對比情況，實驗中分別跟蹤了30°，60°和90°的輸入信號，以跟蹤誤差最小為指標(biāo)優(yōu)化得到一組滑模參量q＝1.5，k＝20，c＝14，實驗結(jié)果如圖8～圖10所示。定量實驗結(jié)果如表2所示。圖中的各變量定義與仿真結(jié)果圖中的變量定義保持一致。
定義誤差波動量為：
式中，emax是系統(tǒng)跟蹤過程中產(chǎn)生的最大誤差值，emin是系統(tǒng)跟蹤過程中產(chǎn)生的最小誤差值，r是目標(biāo)階躍信號，誤差波動量用來衡量系統(tǒng)在跟蹤目標(biāo)的過程中誤差的變化情況。從圖8a～圖10a中的實驗結(jié)果對比
Fig.7 Position open loop frequency response test
Fig.8 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 30°step signals respectivelya—position outpu—erro—controller outpu—drive output
Table2 Experimental result
Fig.9 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 60°step signals respectivelya—position outpu—erro—controller outpu—drive output
Fig.10 Experimental comparison of position output and drive output when two control strategies track 90°step signals respectivelya—position output b—error c—controller output d—drive output
可知，SMC和TPSMC都可以快速無超調(diào)的跟蹤上目標(biāo)信號，這與上述仿真結(jié)果相驗證；從圖8、圖9、圖10的b，c，d小圖和表2中的實驗結(jié)果對比可知，當(dāng)采用SMC控制策略時，系統(tǒng)的初始誤差較大，滑模控制器此時輸出了一個較大的控制量，導(dǎo)致電機驅(qū)動輸出值超出了-1024～1024，產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，而當(dāng)采用TPSMC控制策略時，由于過度過程算法將一個快速變化的階躍信號變?yōu)榱艘粋€緩慢上升的輸入信號，使系統(tǒng)在跟蹤輸入信號的整個過程中都保持一個較小的誤差，從而消除了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這與上述理論分析和仿真結(jié)果相一致。實驗結(jié)果表明，基于過渡過程的滑?？刂茻o超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差小，驅(qū)動輸出平緩，適合應(yīng)用于光電伺服平臺的目標(biāo)跟蹤，具有重要研究與應(yīng)用價值。
6 結(jié) 論
光電伺服平臺在實際運行過程中會受到各種非線性擾動的影響，造成系統(tǒng)跟蹤精度降低。為了減小外界擾動對系統(tǒng)跟蹤性能的影響，本文中利用滑?？刂扑惴敯粜院?、響應(yīng)快速和實現(xiàn)簡單的優(yōu)點，設(shè)計滑?？刂破鬟M行系統(tǒng)目標(biāo)的定點跟蹤。然而當(dāng)光電伺服平臺進行大幅值階躍信號跟蹤時，執(zhí)行機構(gòu)會產(chǎn)生驅(qū)動飽和現(xiàn)象。因此，引入過渡過程算法，通過將一個快速變化的階躍信號變?yōu)橐粋€緩慢上升的輸入信號，減小了系統(tǒng)初始跟蹤誤差，從而避免了驅(qū)動飽和現(xiàn)象，極大地提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真和實驗數(shù)據(jù)表明，該控制策略適合應(yīng)用于光電伺服平臺的目標(biāo)跟蹤，具有重要的研究與應(yīng)用價值。
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