李江 李春 謝用民

摘? 要：乒乓球拍作為主流體育運動器材，其底板材料特性直接影響擊球過程中的球速及旋轉(zhuǎn)變化。為更好研究乒乓球拍底板材料對擊球的影響，建立底板球拍與乒乓球碰撞模型，采用不同復(fù)合材料模擬乒乓球與不同材質(zhì)底板的碰撞過程，通過研究乒乓球與底板相對速度及碰撞接觸時間，分析復(fù)合材料乒乓球拍的動力學(xué)特性。結(jié)果表明：較之檜木，阿尤斯木底板球拍的反彈速度提高了22%，即增加碳纖維材料可提高出球速度;隨著入射速度增加，相同底板材料下碰撞過程能量損失增加，碳纖維材料提高能量轉(zhuǎn)化率，增加碰撞高速球的適應(yīng)性;此外，當(dāng)球速為20m/s時，碳纖維阿尤斯木底板球拍下乒乓球反彈速度比檜木底板球拍高32%;較之碳纖維阿尤斯底板，碰撞接觸時間乒乓球入射速度增大而減小，且相同入射速度，與檜木底板碰撞接觸時間可增加44%。

關(guān)鍵詞：乒乓球? 底板? 反彈速度? 碰撞? 復(fù)合材料

中圖分類號：G846? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-2813（2020）05（c）-0243-06

Abstract： The paddle is the source of table tennis， fundamentally determining the speed and spinning performance of the ball. In order to analysis the performance of table tennis， We establish table tennis collision model with different paddle material， analyze the process of collision and compare the rebound speed and collision time of table tennis at different incident speed based on numerical simulation. Conclusions are as follows： compared to Hinoki， the rebound speed of Ayous table tennis racket increases 22%， and can be improved while added carbon fiber; more energy losses during the collision process under higher incident speed when the paddle materials are the same. While the incident speed is 20 m/s， the rebound speed of Ayous with carbon fiber increases 32% compared to the Hinoki. When the material of paddle is the same， the collision contact time decreases as the incident speed increases. Under the identical incident speed， the collision time of Hinoki grows more than 44%.

Key Words： Table tennis; Paddle; Rebound speed; Collision; Composite material

在中國的體育運動領(lǐng)域，乒乓球一直被譽為“國球”，其廣泛的群眾基礎(chǔ)及良好的運動形象廣受大眾喜愛[1-3]。作為一項國際性體育項目，在近5年的奧運會比賽中，中國乒乓球隊均取得驕人的戰(zhàn)績，在男單、女單以及男女團體4項中榮獲金牌[4]。這也促使乒乓球成為中國與世界有效外交手段之一，在國內(nèi)享有盛譽[5]（20世紀(jì)70年代初，乒乓球外交使中國對外國際關(guān)系迅速解凍、改善發(fā)揮積極作用，并得到廣泛贊譽）。此外，在瑞典乒乓球世錦賽上，國際乒聯(lián)堅定支持下，韓國隊和朝鮮隊組成朝韓聯(lián)隊，標(biāo)志著兩國關(guān)系得到極大改善?？梢?，乒乓球文化繁榮有利于增進友誼，提高自信[6]。

平動和旋轉(zhuǎn)作為乒乓球在空中運動的主要特征，其劇烈程度是由球體與球板瞬時碰撞產(chǎn)生的反作用和摩擦力所決定，更與球拍的性能密切相關(guān)[7]。較高的技戰(zhàn)術(shù)水準(zhǔn)，使得比賽中任何情況都會產(chǎn)生“失之毫厘，謬以千里”，而球拍底板碰撞乒乓球時與其直接接觸，其性能對球速與旋轉(zhuǎn)的影響最大。不同球拍底板擊打出球的速度快慢、力量大小、旋轉(zhuǎn)強弱、落點長短和弧線軌跡均可以產(chǎn)生不同效果，改變比賽局勢[8]。乒乓球拍底板主要有3層、5層、7層等復(fù)合方式組成[9]。隨著技、戰(zhàn)術(shù)變化和器材設(shè)備先進性提高，乒乓球拍底板的作用越發(fā)凸顯。

目前，由于缺乏統(tǒng)一的量化指標(biāo)，僅憑主觀臆斷，只是對乒乓球拍底板性能的評價停留在表層認知的階段，更難以從科學(xué)實驗、力學(xué)理論方面做出具有邏輯嚴(yán)謹有理有據(jù)的論斷[10]。國內(nèi)外器材廠家在乒乓球拍基礎(chǔ)上提出一系列分類及評價指標(biāo)[11]。在學(xué)術(shù)研究方面，Manin L等[12]將底板聲音頻率與運動員對底板聲音的敏感度進行對比分析，建立聲振耦合模型，研究底板材料、厚度和層合板黏合角度對底板性能的影響，未排除人為感官因素。此外，依據(jù)球與球拍底板撞擊變形的程度，紅雙喜公司通過球拍設(shè)置的各采樣點，檢測球在采樣點處的變形，并借此衡量球拍硬度，但結(jié)果準(zhǔn)確性有待驗證[13]。Yutaka Tsuji等[14]基于力學(xué)方法建立模型，考慮不同環(huán)境因素對球的落點影響，驗證了數(shù)值模擬在乒乓球方向研究的可行性，但未涉及球拍。有文獻[15]采用有限元軟件數(shù)值模擬乒乓球與球拍碰撞，以碳纖維含量為變量，分析其在球與球拍碰撞過程中對球速的影響。進一步，研究傳統(tǒng)木材和碳纖維復(fù)合材料板疊合底板分析其對碰撞后乒乓球運動規(guī)律的影響，未解釋具體原因。T. Kazama等[16]從動態(tài)測試角度利用聲效和振動頻率評價球拍性能，采用實驗監(jiān)測設(shè)備記錄擊球后球拍振動頻率。然而，聲音振動頻率與多種影響因素關(guān)系未被考慮。

綜上所述，諸多研究人員已認識到乒乓球運動中底板性能的重要性，初步探究底板特性，為乒乓球拍性能評估提供了一定的依據(jù)。目前，主要有2種分析方法：運動員感官分析和傳感器測量分析，顯然2種方法檢測效果均缺乏說服力。前者依靠主觀感覺，通過球拍與球碰撞時的聲音和振動現(xiàn)象定性評價球拍性能，對于同一塊底板，不同的運動員可能得出截然相反的結(jié)論[17];后者利用實驗儀器，靜態(tài)測量球拍與球碰撞后的振動頻率和變形程度，借此衡量被測球拍性能，費用高，檢測周期長，無法滿足實驗需求[18]。此外，2種方法僅能對成型后球拍評估，在實際設(shè)計乒乓球拍時，考慮到材料、層數(shù)和厚度等影響因素眾多，以上方法均不能對球拍性能進行預(yù)估[19]。

有限元分析方法利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進行模擬，在產(chǎn)品開發(fā)、優(yōu)化和效果預(yù)測方面具有明顯優(yōu)勢[20]。本文建立不同材料底板的乒乓球碰撞模型，基于有限元軟件ANSYS/LS-DYNA，分析其碰撞機理與運動特性，并設(shè)計多種乒乓球拍結(jié)構(gòu)，通過模擬乒乓球與球拍的碰撞過程，對比不同乒乓球入射速度下反彈速度和碰撞接觸時間。結(jié)果表明：較之于檜木，阿尤斯為底板的球拍反彈速度提高22%，且一定量的碳纖維可提高出球速度;相同底板材料，入射速度越大，碰撞過程能量損失較多，碳纖維對高球速適應(yīng)性更好，可有效提高能量轉(zhuǎn)化率。球速20m/s時，較之檜木，加碳纖維阿尤斯為底板的球拍反彈速度增加32%;底板材料相同時，碰撞接觸時間隨入射速度增大而減小，相同乒乓球入射速度下，檜木底板比碳纖維阿尤斯底板接觸時間最多可增加44%。

1? 理論基礎(chǔ)

1.1 顯式動力學(xué)有限元法

顯式算法基于動力學(xué)方程，采用差分格式，無計算速度快，時間步長可取較小，且不存在收斂性問題等優(yōu)點[21]。近年來，顯式動力學(xué)有限元法在碰撞沖擊領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并在處理大規(guī)模接觸問題上具有優(yōu)勢[22]。

1.2 控制方程

基于碰撞運動學(xué)理論，可建立球與乒乓球拍碰撞控制方程[23]：

（1）式中，，分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，是考慮了材料單元本構(gòu)關(guān)系的剛度矩陣，，和分別是節(jié)點的加速度，速度以及位移向量;是節(jié)點載荷，由單元矩陣和向量集成。

碰撞方程中的二階常微分方程組，若采用隱式積分求解方法，耗時巨大，且無法保證結(jié)果的收斂性。而顯式動力學(xué)求解軟件LS-DYNA具有極大優(yōu)勢，故用時間步求解時間步的解，即：

式中，是外力向量列陣，為內(nèi)力矢量，為沙漏阻力。通過移項，可求得加速度表達式為：

依據(jù)中心差分法，對時刻的速度和位移可得如下解：

2? 數(shù)值模擬

2.1 實體模型

以某品牌橫拍快攻型底板作為研究對象，拍柄選用擊球穩(wěn)定和發(fā)力強勁的錐形，底板由木材垂直疊合成型，最大寬度158mm，長度150mm。本文主要分析底板微結(jié)構(gòu)，故由國家標(biāo)準(zhǔn)乒乓球拍[24]（GB/T 23115-2008），海綿厚度1mm，膠皮厚度1.5mm，乒乓球直徑40mm。模型如圖1所示。

2.2 材料屬性

乒乓球拍底板中木材和碳纖維等復(fù)合材料為各項異性材料，乒乓球所使用的賽璐珞、海綿和膠皮均為各向同性材料。材料參數(shù)如表1所示[15]。

2.3 網(wǎng)格劃分

考慮到采用顯式動力學(xué)求解，故網(wǎng)格類型為顯式，整體單元大小為5mm。為提高計算精度，減小大變形區(qū)域的網(wǎng)格尺寸，即碰撞時影響面球直徑設(shè)為80mm，單元格大小為2mm，局部細化，共劃分成68962個節(jié)點，49836個單元，如圖2所示。

3? 有效性驗證

3.1 沙漏能分析

顯式積分法采用縮減積分造成的沙漏模態(tài)[25]，即在單元計算中積分點數(shù)少于實際個數(shù)，其雖在數(shù)學(xué)上是穩(wěn)定的，且可加快計算速度，但會造成一種單元的零能模式。因此，沙漏能是小于總能量的5%才認為結(jié)果是可靠的[26]。

圖3為直徑40mm的乒乓球，垂直撞擊球拍時整個碰撞系統(tǒng)的動能、內(nèi)能和沙漏能隨時間的計算結(jié)果。由圖3可知，乒乓球與球拍碰撞開始前，動能不變，無內(nèi)能;發(fā)生碰撞時，動能急劇降低，同時內(nèi)能增加;碰撞結(jié)束后，動能內(nèi)能趨于穩(wěn)定，且動能與內(nèi)能同時變化，成近似對稱分布。整個碰撞過程中，沙漏能始終遠小于系統(tǒng)內(nèi)能的5%。因此，采用顯式差分法計算球與球拍碰撞過程有效。

3.2 實驗對比

直徑為40mm的乒乓球，分別從3050mm和305mm高處自由落在球拍上，計算其反彈高度，并與文獻[27]數(shù)據(jù)對比。如表2所示，數(shù)值模擬與實驗值誤差最大僅為3.77%，表明本文采用模型、網(wǎng)格設(shè)置和邊界條件設(shè)置合理。

4? 結(jié)果分析

4.1 碰撞分析

底板采用阿尤斯、檜木和碳纖維阿尤斯3種不同材料，其在碰撞過程中對接觸力和反彈速度均有不同影響，且乒乓球以初速度為10m/s與球拍垂直碰撞，圖4所示為接觸力隨時間變化過程，圖5所示為球速變化過程。

根據(jù)圖4可知，乒乓球在撞擊球拍之前，無接觸力產(chǎn)生。當(dāng)0.12s發(fā)生碰撞時，接觸力隨著時間增加而增加，到達最大值后開始降低，在0.6s時乒乓球離開底板表面，不再產(chǎn)生接觸力。由圖4可知，阿尤斯底板與乒乓球碰撞時最大接觸力明顯大于檜木，約高出18%，當(dāng)加入碳纖維后，最大接觸力出現(xiàn)的時間點推遲，但值大小并未變化。

結(jié)合圖5，碰撞開始后，乒乓球速度迅速降低，直至球速為零，此后球速開始增加，方向與入射方向相反，最終速度達到定值。整個碰撞過程中，動能先轉(zhuǎn)化為勢能，隨后乒乓球勢能又以動能形式釋放。由于撞擊能量損失，使最終速度始終小于乒乓球入射速度，故證明計算合理。由圖5可知，較之于檜木地板，阿尤斯底板具有較大的彈性變形能產(chǎn)生較大的反彈速度且提高了22%，而加入碳纖維后，速度增加較少，其主要原因是檜木彈性模量小于阿尤斯，僅為后者的18%，致使碰撞后的速度極小;因加入的碳纖維因子比例較?。榈装蹇傎|(zhì)量的2%），故相比較于純阿尤斯為底板速度雖有增加，但增加幅度不大。

表3為3種材料底板球拍及發(fā)生碰撞的時間對比。

由表3可知，當(dāng)采用檜木和阿尤斯兩種底板材料時，碰撞時間僅相差1%。而在底板中加入碳纖維后，使得接觸時間減少至0.42ms。碳纖維使得底板硬度增加，縮短乒乓球停留在球拍上的時間，促使球快速離開底板。同時，該計算結(jié)果與運動員主觀感覺——“碳素球拍出球快”一致，證明該模擬結(jié)果的合理性。

4.2 球拍對不同球速適應(yīng)性分析

底板分別采用檜木、阿尤斯和加碳纖維阿尤斯3種材料結(jié)構(gòu)，研究不同材料底板的球拍性能隨入射速度變化，球入射速度從2m/s增加到20m/s，步長2m/s，共30個算例，碰撞后反彈速度與接觸時間分別如圖6和圖7所示。

根據(jù)圖6可知，3種材料的球拍碰撞乒乓球過程中，球的反彈速度隨入射速度的增加而增加。相同入射速度下，加炭纖維阿尤斯的球拍使乒乓球反彈速度最大。相較之檜木，當(dāng)入射速度為20m/s時，加碳纖維阿尤斯球拍可將乒乓球反彈速度最大提高32%。當(dāng)入射速度小于12m/s時，3種底板反彈速度隨入射速度近似線性增加，而入射速度大于14m/s時，阿尤斯和檜木底板反彈速度隨著入射速度增加減緩，而加碳纖維阿尤斯底板乒乓球反彈速度仍保持為線性。主要原因是速度小于12m/s時，碰撞產(chǎn)生的變形量較小，僅處于彈性變形階段，底板性能呈現(xiàn)線性增加，變化趨于一致。當(dāng)球速大于14m/s時，加碳纖維阿尤斯底板更好儲存釋放能量，使能量轉(zhuǎn)化率提高，減小損失;而純木（檜木或阿尤斯）底板由于球拍碰撞時形變過大，能量在碰撞過程中損傷嚴(yán)重。可見，碳纖維對于高速球具有良好的適應(yīng)性。

由圖7可知，3種不同材料的球拍與乒乓球發(fā)生碰撞時，碰撞接觸時間均隨入射速度增加而減少。相同入射速度下，接觸時間大?。簷u木球拍>阿尤斯>加碳纖維阿尤斯。較之加碳纖維阿尤斯球拍，檜木球拍與乒乓球接觸時間可增加44%。檜木的彈性模量較小，碰撞時產(chǎn)生較大的變形，需要恢復(fù)到初始狀態(tài)的時間增加。而碳纖維可強化底板，碰撞時發(fā)生較小的變形，使其更快恢復(fù)到初始形狀，接觸時間較短。

5? 結(jié)語

本文基于有限元法及顯示動力學(xué)理論，研究炭纖維與木材材料疊合成的乒乓球底板在擊球過程中的動力學(xué)特性，并與不同材料底板對比，分析不同入射速度情況下乒乓球反彈速度和碰撞接觸時間的變化情況。可得以下結(jié)論。

（1）不同底板材料對接觸力變化影響趨勢相同，采用阿尤斯最大接觸力大于檜木，碳纖維材料對接觸力峰值增加影響較小。

（2）當(dāng)材料彈性模量越大，反彈速度越大，接觸時間越長，且碳纖維通過提高能量轉(zhuǎn)化效率提高反彈速度。

反彈速度大說明球拍進攻性能好;碰撞接觸時間長，便于控制出球旋轉(zhuǎn)。故提出以下建議：進攻型選手建議采用加碳纖維底板，出球快，對高速球可更加高效地利用來球速度;防守型選手建議采用純木底板，碰撞時間長，球拍通過碰撞損失降低球速，控球好。

參考文獻

[1] 余萬，李春，朱玲，等.采用格子Boltzmann方法研究不同環(huán)境溫度對乒乓球運動軌跡影響[J].天津體育學(xué)院學(xué)報，2016，31（4）：364-368.

[2] Konishi Y，Okuizumi H，Ohno T.PIV Measurement of a Flying Table Tennis Ball[J].Procedia Engineering， 2016，147（6）：104-109.

[3] 王阜存.乒乓球教學(xué)訓(xùn)練法[M].北京：人民體育出版社，2008：35.

[4] 竇遠行.中國乒乓球隊歷屆奧運戰(zhàn)績：里約第5次包攬金牌[EB/OL].（2016-08-16）[2016-12-10].http：//news.sohu.com/20160818/n464841590.shtml.

[5] 中華人民共和國外交部政策研究室.中國外交概覽[M].北京：世界知識出版社，1995：395.

[6] 張章.“乒乓外交”再現(xiàn)！國際乒聯(lián)主席：希望乒乓球能為朝鮮半島和平做貢獻[EB/OL].（2018-05-04）[2018-05-16].http：//www.xinhuanet.com/sports/2018-05/04/c_1122780804.htm.

[7] Manin L，Poggi M，Bertrand C，et al.Vibro-acoustic of Table Tennis Rackets. Influence of the Plywood Design Parameters. Experimental and Sensory Analyses[J]. Procedia Engineering，2014，72（5）：374-379.

[8] Liu C，Hayakawa Y，Nakashima A.Racket control and its experiments for robot playing table tennis[C]. Guangzhou： IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics. IEEE，2012：266-280.

[9] 王吉生.乒乓球拍探秘[M].北京：人民體育出版社，2007：78.

[10]Rinaldi R G，Manin L，Bonnard C，et al.Non Linearity of the Ball Rubber Impact in Table Tennis： Experiments and Modeling[J].Procedia Engineering，2016（147）：348-353.

[11]包文慧，肖澤芳，謝延軍.化學(xué)改性單板對乒乓球拍底板性能的影響[J].東北林業(yè)大學(xué)學(xué)報，2015，43（10）：92-96.

[12]Manin L，Poggi M，Bertrand C，et al.Vibro-acoustic of Table Tennis Rackets. Influence of the Plywood Design Parameters. Experimental and Sensory Analyses[J]. Procedia Engineering，2014，72（5）：374-379.

[13]李春雨.乒乓球拍外在性能的計算機檢測技術(shù)研究[D].北方工業(yè)大學(xué)，2008.

[14]Yutaka Tsuji.Various factors influencing ball motion prediction by computer simulation[C].9th ITTF Sports Science Congress. Shanghai，2005：100-105.

[15]武秀根，鄭百林，賀鵬飛.乒乓球拍微結(jié)構(gòu)對乒乓球與球拍碰撞過程的研究[J].體育科研，2006，27（2）：59-61.

[16]T. Kazama，T. Koike，T.Simada.Evaluation of methods for Designing Table Tennis Racket[C].4th International Conference on the Engineering of Sport. Kyoto，2002：9.

[17]Manin L，Gabert F，Poggi M，et al.Vibro-acoustic of table tennis rackets at ball impact： influence of the blade plywood composition[J].Procedia Engineering， 2012，34（4）：604-609.

[18]范紅波，何忠波.裝備磨粒在線監(jiān)測傳感技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013：9.

[19]丁樹德.乒乓球[M].上海：上海人民出版社，1976：12.

[20]Oran E S， Boris J P. Numerical simulation of reactive flow[M].New York， Cambridge University Press，2001：6.

[21]凌桂龍.ANSYS Workbench 13.0從入門到精通[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012：68.

[22]高超.碰撞/接觸問題的有限元分析及參數(shù)化研究[D].北京大學(xué)，2008.

[23]賴躍.重型車輛與半剛性護欄碰撞的有限元分析[D].同濟大學(xué)，2006.

[24]乒乓球拍（GB/T 23115—2008）[S].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2009：97.

[25]何偉.基于ANSYS/LS-DYNA的船舶與冰碰撞分析研究[D].大連海事大學(xué)，2013.

[26]Margolin L G，Pyun J J.A method for treating hourglass patterns[J].In Los Alamos National Laboratory report LA-9196-PR，1987（7）：24.

[27]成波錦，楊歡.新型無縫塑料乒乓球的特征及對擊球速度和旋轉(zhuǎn)影響的實驗研究[J].北京體育大學(xué)學(xué)報，2014（10）：141-144.