特殊化思想在高中數(shù)學教學中的應用

毛建軍

摘 要：在高中數(shù)學概念、公式、解題教學活動中，我們應指導學生恰當而巧妙地運用特殊化思想來思考數(shù)學問題。這不僅能拓寬學生的解題思路，提高學生解決問題的能力，還能增強學生學習數(shù)學的信心，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞：特殊化思想;特殊值法;概念;公式;數(shù)學歸納法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2020）09-079-1

所謂特殊化，是將一般問題的研究轉(zhuǎn)化為特殊情形，通過特殊情況的解決去探索一般規(guī)律，尋找解決一般問題的途徑或者否定已有的猜想。這種思考方法稱為特殊化思想。我們教師應在數(shù)學教學中注意特殊化思想的運用，以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生探索知識，理解知識、掌握知識、提高解決問題的能力。筆者現(xiàn)根據(jù)自身平時的教學實踐談些點滴體會，與同行商榷。

一、特殊化思想在數(shù)學概念教學中的應用

高中的數(shù)學概念具有很強的抽象性和嚴密性，深刻理解概念的本質(zhì)是數(shù)學概念教學的重要任務，對于某些教學概念，教師可以運用特殊化思想進行教學，以便突出概念的本質(zhì)，使學生理解其含義，加深對概念的記憶。

例1.定義在R上的任意奇函數(shù)f（x），f（0）是否確定？為什么？

經(jīng)過學習小組討論后，不少學生認為不確定，筆者給出的答案是f（0）確定的。有部分學生有疑惑，此時筆者提示引導，注意奇函數(shù)定義中的“任意”二字，其定義為：對定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么，對特殊的x的值的等式是否成立呢？此時學生們恍然大悟，齊聲回答取x=0，則有f（-0）=-f（0）=f（0），所以f（0）=0。

例2.判斷函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，1）的奇偶性？

經(jīng)過學習小組討論后，不少學生認為是偶函數(shù)。筆者給出的答案是錯誤。為什么？學生們感到很詫異。于是筆者引導學生思考，仍要注意奇、偶函數(shù)定義中的“任意”二字，由奇、偶函數(shù)的定義可知：對定義域內(nèi)任意的x，f（x）和f（-x）都必須有意義，而對特殊的x=-1，是否有意義？此時學生們茅塞頓開，迅速得出f（x）是非奇非偶函數(shù)的結論。同時又可進一步推出奇、偶函數(shù)的性質(zhì)：奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱。

上面兩例的教學，都運用了特殊化思想。利用特殊值法，幫助學生加深了對奇、偶函數(shù)概念的理解，有利于學生領會函數(shù)奇偶性的本質(zhì)。

二、特殊化思想在數(shù)學公式教學中的應用

高中數(shù)學公式比較多，且有些容易混淆。如何指導學生記憶這些數(shù)學公式，是我們在數(shù)學公式教學中應該關注的一個問題。如果我們在教學中能運用特殊化思想，可以幫助學生理解公式，同時也能起到糾正錯誤，幫助記憶的效果。

比如等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1，前n項和公式Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1），其中的兩個公式中指數(shù)n和n-1容易混淆，在教學時指導學生運用特殊化思想，可取特殊值n=1進行驗證，便能進行區(qū)分。

再如圓臺的側面積公式S圓臺側=π（r1+r2）l，可令r1=0，r2=r時，得到S圓錐側=πrl，再令r1=r2=r時，得到S圓柱側=2πrl。

三、特殊化思想在解題教學中的應用

在解題時運用特殊化思想，可以充分挖掘隱藏于問題之中與之相關的特殊值、特殊點、特殊圖形、特殊位置和特殊結構等，可以打通解題思路，簡化某些題解過程，避免繁瑣的運算，可以收到以簡馭繁，化難為易，事半功倍的效果。每年的高考題中（尤其是選擇題和填空題）都有幾道題可直接運用特殊化思想獲解。

（一）有關數(shù)列，函數(shù)等含有參數(shù)的問題，可賦與參數(shù)特殊值，再通過數(shù)值的計算獲得正確的解答，或?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為具體問題求解。

例3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=30，前2n項和為S2n=100，則它的3n項和S3n為（ ）。

A.130 B.190 C.210 D.260

析：令n=1時，原題轉(zhuǎn)化為：已知S1=30，S2=100，求S3？

解：令n=1時，S1=a1=30，S2=a1+a2=100，可得a2=70，d=40，從而得到a3=110，進而得出S3=a1+a2+a3=210，故選C。

例4.已知函數(shù)f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b為常數(shù)，則方程f（ax+b）=0解集為 。

解：分別令兩個函數(shù)中變量x=0，可分別得到f（0）=a，f（0）=2，從而得出a=2，令f（0）=0，即方程x2+2x+2=0無實數(shù)根，所以方程f（ax+b）=0也無實數(shù)根，即方程f（ax+b）=0解集為。

以上兩例都是運用特殊化思想，恰當選取特殊數(shù)值，靈活地獲得正確答案，充分節(jié)省解題時間，提高了解題的效率。

（二）在求解曲線系恒過定點的有關問題時，常通過取特殊值，將其劃歸轉(zhuǎn)為特殊曲線的問題解決。

例5.求證：對于任意a∈R，曲線y=（a+1）x2+2ax+a恒過定點，并求定點坐標。

解：曲線系經(jīng)過的定點可通過其中任意兩條曲線的交點來確定。

取a=0及a=-1分別得y=x2和y=-2x-1兩個方程，由這兩個方程聯(lián)立方程組得：y=x2y=-2x-1，解得：x=-1y=1。把x=-1和y=1代入原曲線方程1=（a+1）-2a+a，此時等式對任意a∈R恒成立，故曲線系恒經(jīng)過定點（-1，1）。

（三）在處理探索性問題時，運用特殊化思想，先研究簡單、個別、特殊情況，從中歸納出一般的結論或規(guī)律，再尋求方法予以證明。

例6.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=3an+42an+3，n∈N*，求a2，a3，試判定an與2的大小，并加以證明。

解：由題意易得，a2=107，a3=5841，經(jīng)過比較得出：a1>2，a2>2，a3>2，猜想an>2，n∈N*。用數(shù)學歸納法證明如下：

①當n=1時，a1=2>2，不等式成立;

②假設當n=k時，不等式成立，即：ak>2;

當n=k+1時，ak+1-2=3ak+42ak+3-2=（3-22）ak+（4-32）2ak+3=（3-22）（ak-2）2ak+3>0，

所以ak+1>2，即當n=k+1時，不等式也成立;

綜合①②得：an>2，n∈N*。

例7.在四棱錐的四個側面中，直角三角形最多有 個。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：四棱錐是多式多樣的，我們從“側面是直角三角形”這個條件出發(fā)，構造出一個側棱PA垂直于底面且底面四邊形ABCD為矩形的特殊四棱錐P-ABCD模型，再由三垂線定理可知四個側面均可為直角三角形。故選D。

以上兩例仍然是利用研究特殊情況先猜想出一般性結論再進行嚴密論證，以及構造出與題設相關的特殊圖形作為解決問題的模型，使直接求解困難或無法借助定理、性質(zhì)入手的探索性問題得到解決。

總之，在高中數(shù)學教學活動中，我們?nèi)裟苤笇W生恰當而巧妙地運用特殊化思想來思考數(shù)學問題，不僅能拓寬解題思路，提高解決問題的能力，有效的節(jié)省時間，達到事倍功半的效果;還能增強學生學習數(shù)學的信心，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

（作者單位：鹽城市阜寧縣第一高級中學，江蘇 鹽城224000）