線性離散時(shí)間系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定

郁鵬飛，傅 勤

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

引言

在控制領(lǐng)域中, 有兩類不同的有限時(shí)間穩(wěn)定性的概念. 第一類引出背景是出自于Dorato在1961年提出的短時(shí)間穩(wěn)定性(Short time stability)[1], 這類穩(wěn)定性有別于通常意義下的Lyapunov穩(wěn)定性, 考慮的是在二次性能指標(biāo)下, 從初始時(shí)刻起的某一有限時(shí)間段內(nèi), 系統(tǒng)狀態(tài)的二次性能指標(biāo)是否小于初始狀態(tài)的相應(yīng)量[2-4]; 第二類引出背景是出自于通常意義下的Lyapunov穩(wěn)定性, 考慮的是系統(tǒng)是否滿足Lyapunov穩(wěn)定性, 并且狀態(tài)變量能否在有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)[5-11]. 本文研討的有限時(shí)間穩(wěn)定性為上述第二類.迄今為止, 涉及這類有限時(shí)間穩(wěn)定性的研究工作針對(duì)的均為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)[5-11].如何將有限時(shí)間穩(wěn)定性等相關(guān)概念引入到離散時(shí)間系統(tǒng)中, 并進(jìn)行相應(yīng)的有限時(shí)間控制設(shè)計(jì)，據(jù)筆者所知, 尚無(wú)相關(guān)的研究論文.

本文提出的離散時(shí)間系統(tǒng)有限時(shí)間控制問(wèn)題, 是先將有限時(shí)間穩(wěn)定、鎮(zhèn)定等相關(guān)概念引入到離散時(shí)間系統(tǒng)中, 然后針對(duì)一類線性離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行有限時(shí)間控制設(shè)計(jì), 構(gòu)建得到狀態(tài)反饋控制律.借助于矩陣運(yùn)算, 證明當(dāng)反饋控制律作用于該系統(tǒng)時(shí), 閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

1 問(wèn)題描述

由參考文獻(xiàn)[5-11], 對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng), 給出相應(yīng)的定義如下:

定義1 稱離散時(shí)間系統(tǒng)x(t+1)=f(x(t)),x(t)Rn是有限時(shí)間穩(wěn)定的, 是指系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性, 且可在有限時(shí)間收斂至平衡點(diǎn),t=0,1,2.

定義2 稱離散時(shí)間系統(tǒng)x(t+1)=f(x(t),u(t)),x(t)Rn,u(t)Rm, 是基于狀態(tài)反饋有限時(shí)間鎮(zhèn)定的, 若存在狀態(tài)反饋控制律u(t)=φ(x(t)), 則使得閉環(huán)系統(tǒng)x(t+1)=f(x(t),φ(x(t)))是有限時(shí)間穩(wěn)定的, 其中t=0,1,2….

考慮如下形式的線性離散時(shí)間系統(tǒng):

x(t+1)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x0

(1)

這里x(t)Rn,u(t)Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)和控制輸入,t=0,1,2… .

有限時(shí)間鎮(zhèn)定的目的是尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋控制律u(t)=-Kx(t), 使得閉環(huán)系統(tǒng)x(t+1)=(A-BK)x(t)是Lyapunov穩(wěn)定的, 且存在某個(gè)正整數(shù)N, 使得x(N)=0,t=0,1,2,….

2 主要結(jié)論

對(duì)式(1)給出如下假設(shè)條件：

假設(shè)1 (A，B)是完全能控的.

(2)

由此可引出本文的主要結(jié)論:

定理1 若假設(shè)1成立, 則存在狀態(tài)反饋矩陣K, 使得閉環(huán)系統(tǒng)：

x(t+1)=(A-BK)x(t)

(3)

是有限時(shí)間穩(wěn)定的,t=0,1,2….

(4)

注意到嚴(yán)格下三角矩陣的性質(zhì):n個(gè)n×n的嚴(yán)格下三角矩陣相乘, 其乘積為零矩陣, 即：

(5)

反復(fù)套用式(4)，有：

然后證Lyapunov穩(wěn)定性. 結(jié)合上述結(jié)論, 由(3)式有：

由此可得：

(6)

‖x(t)‖2<ε，t=1，2，3…n成立.

所以閉環(huán)系統(tǒng)式(3)是Lyapunov穩(wěn)定的. 證畢.

注1 若假設(shè)1不成立, 只需存在狀態(tài)反饋矩陣K, 能使得λi(A-BK)=0,i=1,2,… ,n, 定理1的結(jié)論同樣成立.

3 仿真算例

表1 x(t)的模

表1相應(yīng)的坐標(biāo)圖，如圖1所示.

圖1 x(t)的模

由圖1可看出，系統(tǒng)的狀態(tài)是有限時(shí)間收斂到零的.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)提出了有限時(shí)間控制問(wèn)題，并針對(duì)一類線性離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行了有限時(shí)間控制設(shè)計(jì)，構(gòu)建得到狀態(tài)反饋控制律.利用矩陣運(yùn)算，證明當(dāng)反饋控制律作用于該系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.仿真算例也說(shuō)明如此. 至于如何針對(duì)非線性離散時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的有限時(shí)間控制設(shè)計(jì)，則有待做進(jìn)一步的探究.