非奇異H-矩陣的一組新判定法

陳 茜, 庹 清

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南吉首 416000)

1 引言

非奇異H-矩陣的應(yīng)用十分廣泛，其判定條件一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題.黃廷祝、干泰彬等國(guó)內(nèi)學(xué)者早期根據(jù)非奇異H-矩陣的定義和性質(zhì)，綜合利用不等式的放縮技巧，給出了非奇異H-矩陣的一些充分判定條件[1-3]，推廣和改進(jìn)了一些已有的結(jié)論[4].劉建州、庹清、謝清明等學(xué)者在前人工作的基礎(chǔ)上做出了更好的結(jié)果[5-7].近年來(lái)，以徐仲、陸全等人為主的學(xué)者們運(yùn)用迭代細(xì)分的思想，改進(jìn)和推廣了若干重要結(jié)果[8-10].

記Mn(C)(Mn(R))為n 階復(fù)(實(shí))矩陣的集合.設(shè)A=(aij)∈Mn(C)，記

定義1[3]設(shè)A = (aij) ∈Mn(C)，若滿足|aii| ≥Λi(A)(i ∈N)，則稱A 是對(duì)角占優(yōu)矩陣；若滿足|aii| ＞Λi(A)(i ∈N)，則稱A 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，記作A ∈D；若存在正對(duì)角陣X 使AX ∈D，則稱A 為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(非奇異H-矩陣)，記作A ∈.

由文獻(xiàn)[3]知，若N1= ?，則A /∈ ?D；若N0∪N2= ?，則顯然A ∈ ?D.故我們?cè)O(shè)N1?=?, N0∪N2?=?.由于H-矩陣的主對(duì)角元均非零，因此，文中所涉及矩陣的對(duì)角元均假設(shè)為非零.假定矩陣的每一行的非對(duì)角線元素的模和為正，本文在不混淆的情況下，簡(jiǎn)記Λi=Λi(A).

定義2[3]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)為不可約矩陣，若|aii|≥Λi(A)(i ∈N)，且其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則A 為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義3[3]設(shè)A = (aij) ∈Mn(C)，若|aii| ≥Λi(A)(i ∈N)，且其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，又對(duì)每個(gè)等式成立的下標(biāo)i，都存在非零元素鏈aij1aj1j2···ajk?1jk?= 0，使得|ajkjk|＞Λjk(A)，則稱A 為具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[4]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A ∈?D.

引理2[4]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)為具有非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A ∈?D.

2003 年，干泰彬、黃廷祝在文獻(xiàn)[1]中給出了如下結(jié)果：

定理1[1]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)，若對(duì)任i ∈N0∪N2，有

則A 是非奇異H-矩陣.

2004 年，干泰彬、黃廷祝在文獻(xiàn)[2]中給出了如下改進(jìn)結(jié)果：

定理2[2]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)，若

則A 是非奇異H-矩陣.

2008年，庹清、朱礫、劉建州在文獻(xiàn)[5]中給出了進(jìn)一步的改進(jìn)結(jié)果：

定理3[5]設(shè)A=(aij)∈Mn(C)，若

其中

則A 是非奇異H-矩陣.

本文在以上工作的基礎(chǔ)上，改進(jìn)文獻(xiàn)[5]中的主要結(jié)果和文獻(xiàn)[1-3]中的部分結(jié)果，我們將給出一組判定新條件，并用數(shù)值實(shí)例說(shuō)明新條件判定范圍更廣泛.

2 主要結(jié)果

為了敘述方便，引入下列符號(hào)：由r, m, δ 的定義，可以得到0 ≤r ＜1, 0 ＜m ＜1, 0 ＜δ ＜1.

定理4設(shè)A ∈Mn(C)，若滿足

且對(duì)任意的i ∈N0，存在t ∈N1∪N2，使得ait?=0，則A 是非奇異H-矩陣.

證明 由0 ≤r ＜1, 0 ＜m ＜1, 0 ＜δ ＜1，根據(jù)r, Pi,r(A)的定義，對(duì)任意i ∈N1，有

即Pi,r(A)≤r|aii|, ?i ∈N1，則有

又由Pi,r(A)的定義，對(duì)任意i ∈N1，有

由h 的定義知，對(duì)任意i ∈N1，有0 ≤h ＜1，且

對(duì)任意i ∈N2，由(1)式，有

令

從而必有充分小的正數(shù)ε，使

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,··· ,dn)，記B=AD=(bij)，其中

對(duì)任意i ∈N0，存在t ∈N1∪N2，使得ait?=0.由0 ＜δ ＜1，對(duì)任意t ∈N2，

綜上所述，|bii|＞Λi(B)(?i ∈N)，即矩陣B 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故矩陣A 是非奇異H-矩陣.

注1在定理4 中，由于對(duì)任意的i ∈N1, 0 ≤h ＜1，有

故定理4 的條件包含了文獻(xiàn)[5]中定理1 的條件，同時(shí)改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-3]中定理1 的條件.最后的數(shù)值例子也將說(shuō)明這一點(diǎn).

定理5設(shè)A ∈Mn(C)，A 不可約，若

且(4)中至少有一個(gè)以嚴(yán)格不等式成立，則矩陣A 是非奇異H-矩陣.

證明 類似定理4 的證明方法.由于A 是不可約的，故存在任一非空集K ?N, ?i ∈K, j ∈N/K，有|aij|不全為0.

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,··· ,dn)，記B=AD=(bij)，其中

對(duì)任意i ∈N2，由(4)式可知，Λi(B)≤|bii|顯然成立.對(duì)任意i ∈N0，因?yàn)閷?duì)任t ∈N2，

所以|bii| ≥Λi(B), ?i ∈N.又由(4)中至少有一個(gè)以嚴(yán)格不等式成立，即存在一個(gè)i0∈N2，使得|bi0i0|＞Λi0(B).

由于矩陣A 不可約，則矩陣B=AD 不可約，由引理1 知，矩陣B 是不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣，即B 為非奇異H-矩陣，故矩陣A 是非奇異H-矩陣.

注2定理5 條件包含了文獻(xiàn)[5]中定理2 的條件，同時(shí)改進(jìn)了文獻(xiàn)[1-3]中定理2 的條件.

類似定理5，利用引理2，有如下結(jié)論：

定理6設(shè)A ∈Mn(C)，若

且對(duì)任意的i ∈N ?K，存在非零元素鏈aii1,ai1i2,···aisi?，其中i ?= i1, i1?= i2,···is?=i?, i?∈K，則A 是非奇異H-矩陣.

3 數(shù)值實(shí)例

例1

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0= ?, N1= {3,4}, N2= {1,2}.通過計(jì)算可以知道不能用文獻(xiàn)[5]中定的理1 判定，同樣也不能用文獻(xiàn)[1-3]中的定理1 來(lái)判定.

易驗(yàn)證AX ∈D，故矩陣A 確為非奇異H-矩陣.

例2

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0= {1}, N1= {4,5}, N2= {2,3}.通過計(jì)算可知不能用文獻(xiàn)[5]中的定理1 判定，也不能用文獻(xiàn)[1-3]中的定理1 來(lái)判定.

易驗(yàn)證AX ∈D，可見矩陣A 確為非奇異H-矩陣.

例3 設(shè)

其中

判定矩陣A 是否為非奇異H-矩陣，其中N0=?, N1={21,··· ,80}, N2={1,··· ,20,81,··· ,100}，利用定理4 可判定矩陣A 是非奇異H-矩陣，即A ∈.其中，取正對(duì)角矩陣

X=diag(0.1304I, 0.6400I, 0.5600I, 0.6400I, 0.0909I),

易驗(yàn)證AX ∈D，所以矩陣A 是非奇異H-矩陣.