中考數(shù)學全等復習的有效策略
——基于一道較難全等綜合題講解教學

江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學校 毛小霞

進入中考備考的復習階段，常常開展知識板塊的復習，復習課不同于新課教授，往往在內(nèi)容上要求學生對學過的知識加以鞏固的同時，還要求教師認真?zhèn)湔n精心設計，對典型例題、典型模型進行預設鋪墊式問題的剖析，挖掘其深刻的內(nèi)涵，讓學生對此類問題形成深刻的認識，把握這類問題的本質(zhì)，從而達到觸類旁通、舉一反三的效果。本文中，筆者借一道較難全等綜合題教學的研究，說說中考數(shù)學全等復習的有效策略。

一、從一道較難全等綜合題的教學說起

考題：如圖1，已知四邊形ABCD，M、N、G分別為AB、CD、AD三邊上的中點，E、F是四邊形內(nèi)部的點，EA=ED，E B=E C，F(xiàn) M⊥A B，F(xiàn) N⊥C D，∠AED= ∠BEC=90 °， 連 接GF， 求 證：GF⊥BC。

考題分析：這道題從答題情況來看，授課的兩個班級里沒有學生做對，整個年級也只有幾個學生做出來，大部分學生無從下手，說明這題的難度確實很大。初看這道題條件很凌亂，要有一些語文基礎(chǔ)才能把已知條件理清。為了做好這道題有關(guān)知識點的講解，取得較好的評講效果，本人進行了一些設計和預設了一系列鋪墊問題，層層剝開它的面紗。

問題1：同學們讀完題后有哪些想法或解題的思路？

預設：題目中出現(xiàn)了共頂點、等線段的兩個等腰直角三角形，想到了手拉手模型，連接BD、AC交于K得到全等，得到相等的邊和角。教學中注意讓學生先獨立思考再相互交流自己不同的想法，優(yōu)等生帶動后進生，找出圖形中的第一對全等三角形△AEC≌△DEB（SAS），可以安排后進生把全等的過程寫出，有利于大家對問題的理解，便于后續(xù)問題的討論。

問題2：在全等的基礎(chǔ)上討論可以得出哪些結(jié)論？這些結(jié)論對解這道題有沒有幫助？

預設：寫出由全等得出相等的邊、相等的角有：AC=BD，∠EAC=∠EDB，在老師的引導下，大部分同學可以由“8”字型模型得到∠AKD=∠AED=90°，從而得到AC⊥BD，也就是第三組邊相等且垂直。但接下來怎么做，同學都會一臉茫然，一步一步引導，中找出接下來的思路。

問題3：思考能不能找出其他的全等三角形？

預設：連接AF，BF，CF，DF，在問題2 的基礎(chǔ)上，同學們都能說第一對手拉手模型的全等三角形及相等的邊角，特別強調(diào)∠AKD=∠AED=90°，接著引導學生由垂直平分線的性質(zhì)得到第二組手拉手模型的全等三角形△BFD≌△AFC（SSS），寫出全等的過程及得出等應相等的邊和相等的角。

問題4：請同學們思考：△AFB、△DFC是什么三角形？

預設：由問題3 中第二對手拉手全等有∠DBF=∠CAF，∠BDF= ∠ACF， 在 問 題2 的 基 礎(chǔ) 上， 學 生 容 易 得 到∠AFB=∠AKB=90°，∠CFD=∠CKD=90°由于AF=BF，CF=DF得出△AFB、△DFC是等腰直角三角形。做到這，此題基本上做了一半。

問 題5：不 妨 延 長GF交BC于H點，試 證：∠FBH＋∠BFH=90°。

預設：要證∠FBH+∠BFH=90°，因∠AFB=90°，只要證∠FBH=∠AFG即可。FG為△AFD的中線，△AFB、△DFC是等腰直角三角形。跟手拉手模型又有點相似，讓想學生想想接下來怎么做。

問題6：現(xiàn)在我們可以大膽嘗試中線手拉手模型，勇敢挑戰(zhàn)難題。

預設：先引導學生明白這實際上就是等腰直角三角形的中線手拉手的基本模型，用中線倍長作輔助線。延長FG至T，使GT=FG，連接AT。先讓優(yōu)秀學生講解思路，再讓中等生復述，最后讓所有學生在下面把過程寫出，這樣就調(diào)動每個學生的學習積極性。如圖2，易證△AGT≌△DGF（SAS），得到第三組全等，有內(nèi)錯角的相等得到AT∥DF，為第四組△AFT≌△FBC（SAS）全等中提供角的相等。由全等就解決了問題5 中∠FBH=∠AFG，從而得到∠FBH+∠BFH=90°，即可證GF⊥BC。這個過程中復習了手拉手模型和中線手拉手模型。

組織這些教學環(huán)節(jié)的過程中，注意發(fā)揮優(yōu)等生的示范展示作用，在他們講解思路之后，再請中等生復述思路，讓更多的學生參與。特別是問題6 中的中線手拉手以前講過，但平時用得比較少，大部分學生都忘了，那就要求將它的特征及輔助線作法講得更細更清楚。這道題很復雜，其中有四次全等，每次全等都不是那么簡單，但將每個環(huán)節(jié)想清楚了，就像是一層一層地剝開外面的紗，也就真相大白了，通過理清這道題的思路，對學生以后學習復雜的難題很有幫助。

變式練習：

（1）如圖3，已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE共頂點A，連接BD、CE，M、N分別為BD、CE的中點，連接AN、AM，求證：△AMN為等腰直角三角形。

（2）如圖4，已知△ABC和△ADE是等邊三角形，連接CD和BE，CD和BE的垂直平分線交于點O，連接OC、OB、OD、OE，求∠BOC+∠DOE的值。

設計意圖：這兩道習題針對上面的問題而設計，可有效反饋學生對手拉手模型和中線手拉手模型的掌握，以及一些結(jié)論的很好的認識，達到鞏固知識點的作用。

二、復習全等綜合題解題教學的幾點思考

1.精心預設全等綜合題的教學過程

全等綜合題作為中考考點之一，能思路清楚、順利完整解答的學生并不是很多，并且一部分題需要添加輔助線，在評講之前，要求教師做好充分的課前準備，主要針對全等綜合題的深刻理解，特別是對幾個問題之間的鋪墊步驟和思路要理清，對如何引導學生突破關(guān)鍵點進行鋪墊式設問，層層遞進。對于一些較難的綜合，不能像參考答案一樣只管呈現(xiàn)所謂的“規(guī)范答案”，而要通過恰當?shù)膯栴}引導促進學生積極參與。比如，上面考題講解“問題2”，這是一個開放式問題，目的就是讓全體學生都參與進來，盡管并不是每個學生都能答到點子上，但是每個人讀完題目后都會有自己的想法和態(tài)度，也可以在小組內(nèi)交流，教師通過恰當?shù)淖穯柎偈箤W生更好更快地掌握對應的知識。

2.教會學生弄清問題本質(zhì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型

這道全等綜合題，我們通過分析、梳理，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)就是手拉手模型，找出了關(guān)鍵，就可以通過模型解題了。教師在教學過程中要教會學生總結(jié)和歸納，洞察問題的真相，掌握模型的變化，例如上題中“問題3”，如果學生在掌握手拉手模型結(jié)構(gòu)，教師鋪墊式提問就能做到一針見血。教會學生類比延伸，利用問題的聯(lián)系，實現(xiàn)模型的擴展，再如上題中“問題6”，它不但是跟手拉手模型有關(guān)，還與中線倍長有關(guān)，通過作輔助線來構(gòu)造全等來解決問題，數(shù)學模型的應用更好地體現(xiàn)了數(shù)學運用的廣泛性和靈活性，更有利于培養(yǎng)學生的能力。

3.全等綜合復習教學要注重變式

在講解之后，為了即時反饋學生掌握情況，進行變式練習是有效的檢查方式，本文選用了手拉手模型和中線手拉手模型各一題，其實就是對比較難的全等問題的變式改編，這樣能有效評價學生對評講內(nèi)容的理解、掌握及應用情況。在復習備考全等綜合題過程中，要善于把經(jīng)典的全等模型進行改編包裝，以訓練學生識別能力，練就“火眼金睛”，達到快速解題的目的，這樣要求教師在日常課堂教學中針對例題習題的改編和變式更需要有扎實的命題基本功。

三、啟示與感悟

1.整體設計精心預設

通過這道較難全等綜合題的講解，發(fā)現(xiàn)中考復習階段需要有計劃、有步驟地安排復習，明確復習思路。在這節(jié)復習評講課上做到整體設計精心預設，用全等這條主線把題目串起來，用幾個問題式的提問把學生調(diào)動起來，這樣不但能讓學生對數(shù)學基本思想有充分的認識，還能提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

2.倡導主題式復習

這節(jié)復習評講課也體現(xiàn)了主題式復習，以“全等”為主題貫穿整節(jié)課，同時教學內(nèi)容和難度也在層層深入，最后一個中線手拉手將本節(jié)課進一步升華，充分體現(xiàn)了以學生為本的教學理念，做到充分調(diào)動學生的積極性，發(fā)揮學生復習時的主動性，提高復習效果。