胡雙年,李艷艷,朱玉清,牛玉俊
(1.南陽理工學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南南陽473004; 2.南陽理工學院電子與電氣工程學院,河南南陽473004)
設(shè)f為算術(shù)函數(shù),S={x1,x2,…,xn}是由n個不同的正整數(shù)構(gòu)成的集合.用(f(S))=(f(xi,xj))(1≤i,j≤n)表示一個n階方陣,其i行j列處的元素為f在xi和xj的最大公因子(xi,xj)處的取值.用(f[S])=(f[xi,xj])(1≤i,j≤n)表示另一個n階方陣,其i行j列處的元素為f在xi和xj的最小公倍數(shù)[xi,xj]處的取值.設(shè)a為正整數(shù).若對任意給定的正整數(shù)x,算術(shù)函數(shù)f定義為f(x)=xa,則(f(S))=(Sa)和(f[S])=[Sa]分別稱為a次冪最大公約數(shù)GCD(greatest common divisor)矩陣和a次冪最小公倍數(shù)LCM(least common multiple)矩陣.當a=1時,簡稱(S)為定義在S上的GCD矩陣,[S]為定義在S上的LCM矩陣.對于任意的正整數(shù)x∈S,如果x的任意正因子d∈S,則稱S為因子封閉集.1875年,Smith[1]率先研究了定義在集合S={1,2,…,n}上的GCD矩陣的行列式,他證明了如下結(jié)果成立:定義在集合S={1,2,…,n}上的n階GCD矩陣(S)的行列式,其中φ是歐拉函數(shù).同時也得到了定義在因子封閉集S上的n階GCD矩陣(S)的行列式和n階LCM矩陣[S]的行列式
其中對于任意的素數(shù)p和正整數(shù)r,乘法函數(shù)π定義為π(pr)=-p,并且Smith[1]也證明了定義在因子封閉集S上的n階矩陣(f(S))的行列式為
其中,μ為M?bius函數(shù),f*μ是f和μ的Dirichlet卷積.1989年,Beslin等[2]推廣了Smith的結(jié)論,給出了定義在最大公因子封閉集S(對任意的x,y∈S,(x,y)∈S)上的行列式
1992年,Bourque等[3]證明了當S為最大公因子封閉集時,
其中g(shù)為乘法函數(shù),定義為
從此,人們稱定義在整數(shù)集合上的矩陣為Smith矩陣.關(guān)于Smith矩陣的研究在近幾十年特別活躍,參見文獻[2-14].在Smith矩陣的研究領(lǐng)域中,整除性問題是中心研究課題之一.設(shè)S是因子封閉集,Bourque等[3]證明了在整數(shù)矩陣環(huán)Mn(Z)中,GCD矩陣(S)整除LCM矩陣[S](即存在n階的整數(shù)矩陣A,使得[S]=A(S)或[S]=(S)A).2002年,Hong[8]證明了對任意GCD封閉集S,如果|S|≤3,則在整數(shù)矩陣環(huán)Mn(Z)中,GCD矩陣(S)整除LCM矩陣[S],對于|S|>3,此整除性不總是成立.設(shè)σ是集合{1,2,…,n}上的一個置換.如果存在σ,使得xσ(1)|…|xσ(n),則稱S為一個因子鏈.Hong[10]證明了如果S為一個因子鏈,并且算術(shù)函數(shù)f∈CS:={f|(f*μ)(d)∈Z,這里d|lcm(S)},那么在整數(shù)矩陣環(huán)Mn(Z)中,Smith矩陣(f(S))整除Smith矩陣(f[S]).在2008年,Hong[11]證明了如果S為一個因子鏈且a|b,則在整數(shù)矩陣環(huán)Mn(Z)中,(Sa)|(Sb),(Sa)|[Sb]和[Sa]|[Sb].但是如果ab,則上述整除性不再成立.設(shè)k為正整數(shù).如果S可劃分為,其中Si(1≤i≤k)為因子鏈,且滿足1≤i≠j≤k,(max(Si),max(Sj))=1,則稱S由有限個互素因子鏈構(gòu)成.譚千蓉等[14]證明:如果S由有限個互素因子鏈構(gòu)成且1∈S,若a|b,則det(Sa)|det(Sb),det(Sa)|det[Sb]和det[Sa]|det[Sb].
本文利用文獻[12]中建立的定義在有限個互素最大公因子封閉集S上與算術(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)的矩陣的行列式的計算公式,首先給出了定義在有限個互素最大公因子封閉集S(1?S)上GCD矩陣與LCM矩陣的行列式的計算公式,然后刻畫了Smith矩陣(f(S))與Smith矩陣(f[S])行列式之間的關(guān)系,最后給出了定義在有限個互素因子鏈集S上且1?S時,冪GCD矩陣與冪LCM矩陣的行列式之間的關(guān)系.
本節(jié)給出本文的主要結(jié)果及證明.首先給出幾個已知的定義和引理.
定義 1[6]對任意的x,y∈S且x<y,如果x|y且不存在其他的元素d∈S,使得x|d|y,則稱x是y在S中的一個最大型因子.對與x∈S,用GS(x)表示x在S中的所有最大型因子構(gòu)成的集合.
Hong[6]通過引入最大型因子概念,極大的化簡了定義在最大公因子封閉集上的LCM矩陣的行列式的計算公式.
定義2[1]設(shè)S為正整數(shù)集,f為算術(shù)函數(shù).對任意的x∈S令
定義3[12]設(shè)T是由不同的正整數(shù)構(gòu)成的集合,f為算術(shù)函數(shù).定義與集合T和f相關(guān)的函數(shù)如下:
定義4[12]設(shè)S由h個互素最大公因子封閉集S1,S2,…,Sh構(gòu)成.S的極小元集M(S)定義為,其中min(Si)表示Si的最小元.
例如,若S={2,5,6,8,11,35,143},則S由3個互素最大公因子封閉集構(gòu)成且S的極小元集M(S)={2,5,11}.
引理5[6]設(shè)S為最大公因子封閉集,f為算術(shù)函數(shù),則對任意的x∈S有
注1由定義1和2易知當S由多重互素GCD封閉集構(gòu)成且滿足1?S時,(1)式依然成立.
引理6[12]設(shè)f為算術(shù)函數(shù),設(shè)S由多重互素GCD封閉集構(gòu)成且滿足1?S.M(S)表示S的極小元集,則
進一步,若f為乘法函數(shù)滿足對任意的x∈S,有f(x)≠0,則
下面給出本文的主要定理及其證明.
定理7設(shè)S由多重互素GCD封閉集構(gòu)成且滿足1?S.M(S)表示S的極小元集,則
其中I是算術(shù)函數(shù),定義為I(n):=n.
顯然,當S是因子封閉集時,由定理7可立即得文獻[2-3]中的結(jié)果.若S=M(S),則定理7即為文獻[13]中的引理1.
定理8設(shè)S為多重互素最大公因子封閉集且滿足maxx∈S{|GS(x)|}=1,設(shè)f為乘法函數(shù)滿足對任意的x∈S,有f(x)為非零整數(shù)且
f∈DS:={f:f(a)|f(b)這里GS(b)={a}}.
(i)如果S至多由2個互素最大公因子封閉集構(gòu)成,那么 det(f(S))|det(f[S]).
證明由假設(shè),可設(shè)f(x)=zxf(x*),其中zx是與x相關(guān)的正整數(shù),設(shè)GS(x)={x*}.