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    隨機(jī)矩陣α-型和Brauer-型特征值包含區(qū)域及其應(yīng)用

    2020-07-05 09:18:30杜爍玉李耀堂
    關(guān)鍵詞:馬爾可夫特征向量特征值

    杜爍玉,李耀堂

    (云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南昆明650000)

    1 預(yù)備知識

    隨機(jī)矩陣是非負(fù)矩陣的一個子類,在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和馬爾可夫鏈等方面有著廣泛的應(yīng)用,特別是隨機(jī)矩陣譜隙的估計(jì)對馬爾可夫鏈的研究和應(yīng)用有著重要作用[1-5].近年來隨機(jī)矩陣在生物工程、金融工程和無線通信等領(lǐng)域的應(yīng)用也取得了重要的進(jìn)展[6-8].隨機(jī)矩陣在這些方面的廣泛應(yīng)用,很多都與隨機(jī)矩陣的非1特征值有關(guān),因此,研究隨機(jī)矩陣的非1特征值具有重要意義.關(guān)于矩陣特征值的定位已有很多重要的研究成果,如Gersgorin圓盤定理、Brauer卵形定理、Brualdi定理、α-型特征值包含定理[9-14]等.人們當(dāng)然可以利用這些經(jīng)典的定理去定位隨機(jī)矩陣的特征值,但因?yàn)樗玫碾S機(jī)矩陣特征值定位集都包含隨機(jī)矩陣的平凡特征值1,從而使得對隨機(jī)矩陣非1特征值的定位往往不夠精確.為了解決這一問題,Cvetkovic等[9]提出了修正矩陣的概念并用其研究隨機(jī)矩陣非1特征值的定位,這為隨機(jī)矩陣非1特征值定位研究開辟了新途徑.

    定理 1.1[9]設(shè)A=[aij]∈Rn×n為隨機(jī)矩陣,

    d=[d1,d2,…,dn]T∈Rn.

    若λ∈σ(A)\{1},則λ為修正矩陣B=A-edT的特征值.因而如果B是非奇異的,則A也是非奇異的,這里σ(A)為矩陣A的譜.

    Li等[11]應(yīng)用修正矩陣?yán)碚?,改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]所給的隨機(jī)矩陣非1特征值包含定理,得到了如下2個隨機(jī)矩陣非1特征值更精確的包含區(qū)域.

    定理 1.2[11]設(shè)A=[aij]∈Rn×n為隨機(jī)矩陣,如果λ∈σ(A)\{1},則有

    2 隨機(jī)矩陣2個新的非1特征值包含區(qū)域

    應(yīng)用修正矩陣?yán)碚撆c矩陣的α-型特征值包含定理和Brauer-型特征值包含定理研究隨機(jī)矩陣非1特征值包含區(qū)域.為此,先給出如下定理.

    下面用幾個具體的數(shù)值例子來說明在某些情況下本文所獲得的特征值包含區(qū)域更精確且能用其更好地估計(jì)隨機(jī)矩陣的譜隙.

    定義 2.1[15]設(shè)A=[aij]∈Rn×n為隨機(jī)矩陣,稱數(shù)為隨機(jī)矩陣A的譜隙.

    隨機(jī)矩陣譜隙的值反映了隨機(jī)矩陣所決定的Markov鏈的收斂速度,其對應(yīng)的特征向量則對應(yīng)Markov鏈在極限狀態(tài)下的“平穩(wěn)分布”.因此,譜隙和其對應(yīng)的特征向量刻畫了Markov鏈的極限行為,對馬爾可夫鏈的研究和應(yīng)用有著重要作用.

    例2.1為了便于比較定理2.3和定理1.2、定理1.3中所得的包含區(qū)域,取定α=0.6,β=4.考慮隨機(jī)矩陣

    圖1中*號表示矩陣C1的特征值,Λ(0.6,4)(C1)表示α=0.6,β=4時(shí)的特征值包含區(qū)域Λ(α,β)(A),顯然Λ(C1)是它的子集.圖1說明Λ(C1)?Bstol(C1)?Γstol(C1).由于Bstol(C1)和Γstol(C1)都包含1,因此,不能用它們來估計(jì)隨機(jī)矩陣C1的譜隙,但由Λ(C1)可知矩陣C1的譜隙的上界大于0.5.

    例2.2為了更好地比較定理2.4和定理1.2、定理1.3中所得的包含區(qū)域的大小以及他們在估計(jì)隨機(jī)矩陣譜隙方面的作用,現(xiàn)取定β=3,考慮隨機(jī)矩陣D1,其比較結(jié)果如圖2所示.

    圖 1 黑色為Λ(0.6,4)(C1),灰色為Bstol(C1),深灰色為Γstol(C1)Fig.1 The comparison of Λ(0.6,4)(C1),Bstol(C1)and Γstol(C1)

    圖2中*號表示矩陣D1的特征值,圖2說明(D1)?Bstol(D1)?Γstol(D1).由于Bstol(D1)和Γstol(D1)都包含1,因此,不能用它們來估計(jì)隨機(jī)矩陣D1的譜隙,但由(D1)可知矩陣D1的譜隙的上界大于0.45.

    圖2 黑色為(D1),灰色為Bstol(D1),深灰色為Γstol(D1)Fig.2 The comparison of (D1),Bstol(D1)and Γstol(D1)

    3 隨機(jī)矩陣非奇異的新的充分條件

    利用上一節(jié)所獲的結(jié)果,可以研究隨機(jī)矩陣非奇異的充分條件.為此,先給出如下定義和定理.

    下面給出幾個數(shù)值例子.

    例3.1為了驗(yàn)證定理3.2的結(jié)論,取定β=5,考慮隨機(jī)矩陣

    此時(shí)存在α=0.6對每個i都有定理3.2中不等式成立,故E1是非奇異的.事實(shí)上E1的特征值為

    顯然0不在其中,故E1確實(shí)是非奇異的.

    例3.2為了驗(yàn)證定理3.3的結(jié)論,取定β=7,考慮隨機(jī)矩陣

    此時(shí)對每個i都有定理3.3中不等式成立,故F1是非奇異的.事實(shí)上F1的特征值有

    顯然0不在其中,故F1確實(shí)是非奇異的.

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