基于歐拉角與微元分析的六自由度機(jī)械平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模型

摘要：對(duì)六自由度機(jī)械平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，引入歐拉角描述平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)和方向，將抽象的運(yùn)動(dòng)用具體的數(shù)值組合進(jìn)行量化，并結(jié)合旋轉(zhuǎn)矩陣建立動(dòng)態(tài)歐拉角模型。取ZYX的歐拉角組合進(jìn)行實(shí)例演算，給出了支桿長(zhǎng)度隨位移變化和傾角變化的關(guān)系圖像。

關(guān)鍵詞：機(jī)械平臺(tái);動(dòng)態(tài)歐拉角模型;旋轉(zhuǎn)矩陣

1 問(wèn)題重述

六自由度機(jī)械平臺(tái)由6根帶伺服電動(dòng)缸（或液壓裝置）的支桿、上下2個(gè)平臺(tái)以及上下各6只萬(wàn)向節(jié)（或球面副）組成。下平臺(tái)固定在基礎(chǔ)設(shè)施上，通過(guò)6根支桿的伸縮運(yùn)動(dòng)，控制上平臺(tái)在空間6個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，即三維空間的X、Y、Z軸方向的運(yùn)動(dòng)以及分別繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)驅(qū)動(dòng)支桿伸縮運(yùn)動(dòng)，六自由度機(jī)械平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)上平臺(tái)姿態(tài)變化。該機(jī)械平臺(tái)具有并聯(lián)結(jié)構(gòu)，即6個(gè)驅(qū)動(dòng)器共同作用于一個(gè)平臺(tái)。這種設(shè)計(jì)優(yōu)化了系統(tǒng)剛度，承載能力強(qiáng)，且位置誤差不累計(jì)，但相較于串聯(lián)設(shè)計(jì)，其驅(qū)動(dòng)方式也更為復(fù)雜。我們假設(shè)上平臺(tái)在初始狀態(tài)下與下平臺(tái)平行，通過(guò)對(duì)該機(jī)械平臺(tái)做適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，在保持上平臺(tái)初始中心位置不變的情況下，能給出平臺(tái)向任意方向傾斜某一角度時(shí)6根支桿的長(zhǎng)度隨傾角變化情況。

2 問(wèn)題分析

在上平臺(tái)初始中心位置不變的情況下，六自由度機(jī)械平臺(tái)進(jìn)行任意角度的傾斜，于是我們以上平臺(tái)初始中心位置為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。引入歐拉角模型，通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算，描述上平臺(tái)向任意方向傾斜某一角度時(shí)6根支桿的長(zhǎng)度隨傾角變化的情況。

3 模型假設(shè)

（1）假設(shè)上下平面短邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)相同。

（2）假設(shè)上平面中心質(zhì)點(diǎn)在平移時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

（3）假設(shè)上平臺(tái)繞不同軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同。

4 模型建立

4.1 ? ?六自由度機(jī)械平臺(tái)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)

首先，我們將模型簡(jiǎn)化成一個(gè)圓臺(tái)，運(yùn)動(dòng)上平臺(tái)的6個(gè)萬(wàn)向節(jié)位于半徑為ra的圓周上，6個(gè)萬(wàn)向節(jié)與上平臺(tái)的交點(diǎn)記為Ai（i=1，2，…，6），在圓周上均勻分布;運(yùn)動(dòng)下平臺(tái)的6個(gè)萬(wàn)向節(jié)位于半徑為rb的圓周上，將其與下平臺(tái)的交點(diǎn)記為Bi（i=1，2，…，6），在圓周上均勻分布。選取坐標(biāo)系OXYZ的坐標(biāo)原點(diǎn)為上平臺(tái)外接圓圓心，并固定在上平臺(tái)上。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的初始高度（上下平臺(tái)間的垂直距離）為h。

4.2 ? ?歐拉角的引入

由于歐拉角非常適用于描述物體的姿態(tài)和方向，故在此利用歐拉角討論支桿的長(zhǎng)度隨傾角變化的情況。

平臺(tái)向任意方向傾斜某一角度可以分解為3個(gè)過(guò)程：先繞某一軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞某一軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞某一軸旋轉(zhuǎn)α角。因此，我們引入歐拉角動(dòng)態(tài)模型。

轉(zhuǎn)動(dòng)的排列順序不同就有不同的歐拉組合。其中，最具代表性的是ZYX與ZYZ，在此我們選用ZYX組合。

5 模型求解

我們代入數(shù)值，得到6根支桿的長(zhǎng)度隨傾角的變化情況如圖1所示（下面只展示1根支桿的情況）。

由上述圖形分析可知，當(dāng)3個(gè)傾斜角α、β、γ都增大時(shí)，l1長(zhǎng)度的變化量Δ1先增大后減小，存在極大值點(diǎn)。

由MATLAB繪圖可知，當(dāng)3個(gè)傾斜角α、β、γ都增大時(shí)：

（1）l2長(zhǎng)度的變化量Δ2先增大后減小，存在極大值點(diǎn);

（2）l3長(zhǎng)度的變化量Δ3、l6長(zhǎng)度的變化量Δ6先減小后增大，存在極小值點(diǎn);

（3）l4長(zhǎng)度的變化量Δ4單調(diào)遞減，l5長(zhǎng)度的變化量Δ5單調(diào)遞增。

6 模型評(píng)價(jià)

6.1 ? ?模型優(yōu)點(diǎn)

（1）引入了動(dòng)態(tài)歐拉角模型，將上平臺(tái)保持初始中心不變的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分解成先后繞x軸、y軸、z軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，將抽象的運(yùn)動(dòng)用具體的數(shù)值組合表現(xiàn)出來(lái)，使模型更加清晰。

（2）利用MATLAB編程計(jì)算代碼，解算效率更高。

6.2 ? ?模型缺點(diǎn)

計(jì)算旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，需要轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矩陣，這時(shí)候需要計(jì)算很多復(fù)雜的三角函數(shù)式，計(jì)算量較大。

7 結(jié)語(yǔ)

本文在保持六自由度機(jī)械上平臺(tái)初始中心位置不變的情況下，通過(guò)引入歐拉角描述平臺(tái)向任意方向傾斜某一角度時(shí)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，建立動(dòng)態(tài)歐拉角模型，最終給出平臺(tái)在這一運(yùn)動(dòng)中6根支桿的長(zhǎng)度隨傾角變化情況。

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收稿日期：2020-05-07

作者簡(jiǎn)介：胡璠樊（1999—），女，浙江溫州人，研究方向：學(xué)科數(shù)學(xué)。