簡化Lorenz混沌仿真和控制實驗平臺開發(fā)

趙海濱　于清文　顏世玉

摘 ?要 采用Python語言建立簡化Lorenz混沌仿真和控制實驗平臺，能夠進行簡化Lorenz混沌的仿真和鎮(zhèn)定控制。采用Tkinter建立軟件的GUI界面，并采用Matplotlib進行圖形的繪制，可以修改混沌系統(tǒng)的參數(shù)和初始狀態(tài)以及控制器的參數(shù)。采用主動控制器進行簡化Lorenz混沌的鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。該實驗平臺可以進行簡化Lorenz混沌的仿真和鎮(zhèn)定控制，能夠提高學(xué)生創(chuàng)新實驗技能和工程實踐能力。

關(guān)鍵詞 簡化Lorenz混沌;實驗平臺;仿真實驗;Python語言

中圖分類號：TP391.9 ? ?文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）06-0032-03

Experimental Platform Development of Simplified Lorenz Chao-

tic System Simulation and Control//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN Shiyu

Abstract A simulation and control experiment platform of simplified Lorenz chaotic system is established by Python， which can simulate and stabilize Lorenz chaos. The GUI of the software is built by Tkinter， and the graph is drawn by Matplotlib. The parameters of chaos system， initial state and controller can be modified. The active controller is used to stabilize simplified Lorenz chaotic system， and the state variables converges to zero gradually. The experimental platform can simulate and stabilize simplified Lorenz chaotic system， and improve students innovative experimental skills and engineering practice ability.

Key words simplified Lorenz chaos; experimental platform; simula-tion experiment; Python language

1 引言

混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，對初始條件具有極端的敏感性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，廣泛存在于自然界和人類社會中。混沌理論研究的關(guān)鍵就在于混沌系統(tǒng)的控制和利用?；煦缋碚撛诒Ｃ芡ㄐ藕托畔⒓用艿缺姸囝I(lǐng)域被廣泛研究和應(yīng)用，具有重大的研究價值和誘人的應(yīng)用前景，是目前研究的熱點[1]。1963年，氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子。繼Lorenz混沌系統(tǒng)之后，Chen混沌和Liu混沌系統(tǒng)等相繼被提出，這些系統(tǒng)與Lorenz混沌系統(tǒng)相比具有不同的拓撲結(jié)構(gòu)。

近年來，各種新混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)。孫克輝等對經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)進行簡化，得到單參數(shù)混沌系統(tǒng)，即簡化Lorenz混沌系統(tǒng)[2-3]。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)能夠通過硬件電路實現(xiàn)，具有豐富的動力學(xué)特性[4-5]。本文以簡化Lorenz混沌系統(tǒng)為研究對象，采用Python語言建立仿真和控制實驗平臺。

Python語言是一種跨平臺的解釋型、面向?qū)ο?、動態(tài)的高級程序設(shè)計語言，具有簡潔性、易讀性和可擴展性，已經(jīng)成為最受歡迎的程序設(shè)計語言之一，很多科研機構(gòu)和大學(xué)都采用Python語言作為程序設(shè)計語言[6-7]。Python語言簡單易學(xué)，廣泛用于仿真實驗系統(tǒng)的設(shè)計中[8-10]。在實驗平臺設(shè)計中，采用Python語言自帶的Tkinter建立軟件的人機交互界面，并采用Matplotlib庫進行二維圖形的繪制，采用SciPy庫中的odeint函數(shù)求解常微分方程。根據(jù)簡化Lorenz混沌的狀態(tài)方程，設(shè)計主動控制器進行鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。該仿真實驗平臺具有良好的可控性、重復(fù)性和經(jīng)濟性等優(yōu)點，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生創(chuàng)新實驗技能和工程實踐能力。

2 簡化Lorenz混沌

混沌具有偽隨機性、對初始值非常敏感等特性，可以用于保密通信和信息加密等工程領(lǐng)域。經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)具有三個參數(shù)。孫克輝等對經(jīng)典Lorenz混沌系統(tǒng)進行簡化，得到單參數(shù)簡化Lorenz混沌系統(tǒng)。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

其中，x，y和z為簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，c為系統(tǒng)參數(shù)。當c∈[-1.59，7.75]時，簡化Lorenz系統(tǒng)大部分處于混沌狀態(tài)。當c=-1時，簡化Lorenz混沌系統(tǒng)是經(jīng)典的Lorenz混沌系統(tǒng);當c=0時，簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的第二個方程中不含y項;當c=6時，簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的第二個方程中不含x項。

簡化Lorenz混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)可以通過運算放大器、電阻、電容和乘法器等組成的模擬電路實現(xiàn)，通過調(diào)節(jié)電阻值來改變系統(tǒng)的參數(shù)，可以觀察到混沌現(xiàn)象。

3 主動控制器

主動控制方法具有設(shè)計簡單、收斂速度快等優(yōu)點，廣泛用于混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。對于簡化Lorenz混沌系統(tǒng)，設(shè)計主動控制器進行系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。帶有控制輸入的簡化Lorenz混沌系統(tǒng)表示為：

其中，ui為控制輸入，且i=1，2，3。通過控制輸入對簡化Lorenz混沌系統(tǒng)進行鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零。采用主動控制方法進行控制器的設(shè)計，控制器設(shè)計為：

其中，參數(shù)ki為常數(shù)，且ki<0，i=1，2，3。ki的絕對值越大，對應(yīng)簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量收斂速度越快。

將主動控制器帶入簡化Lorenz混沌系統(tǒng)，可以得到：

根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量漸進收斂到零，主動控制器能夠進行簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。

4 仿真實驗平臺

在仿真實驗中，采用Python語言自帶的Tkinter建立軟件的人機交互界面。Tkinter是Python的標準人機交互界面庫。Tkinter是內(nèi)置到Python的安裝包中，安裝好Python

后就可以加載Tkinter庫來進行人機交互界面的設(shè)計。在仿真實驗中，采用Matplotlib庫進行二維圖形的繪制。Matp-

lotlib是一個Python 2D繪圖庫。采用Matplotlib繪圖非常簡單和方便，只需要幾行代碼就可以生成直方圖、條形圖、誤差圖和散點圖等。采用Tkinter編寫人機交互界面，將Matplotlib繪制的二維圖形與Tkinter集成到一起進行顯示。SciPy庫在Numpy庫的基礎(chǔ)上增加了眾多的數(shù)學(xué)、科學(xué)以及工程計算中常用的庫函數(shù)，如線性代數(shù)、常微分方程數(shù)值求解、信號處理和圖像處理等。采用SciPy庫中的odeint函數(shù)求解常微分方程，進行簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的仿真和鎮(zhèn)定控制。

簡化Lorenz混沌仿真和控制實驗平臺的GUI界面如圖1所示。在軟件的主界面中，左側(cè)進行參數(shù)的設(shè)置和控制，右側(cè)顯示仿真結(jié)果。對簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的參數(shù)、初始狀態(tài)和仿真時間進行修改，然后單擊按鈕“簡化Lorenz混沌仿真”進行仿真。主動控制器的參數(shù)和仿真時間也可以進行修改，然后單擊按鈕“簡化Lorenz混沌的鎮(zhèn)定控制”進行簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。在圖1中，單擊左下角的按鈕“默認值”，所有的參數(shù)都恢復(fù)為系統(tǒng)的默認值;單擊左下角的按鈕“退出”，會出現(xiàn)退出對話框，可以退出軟件系統(tǒng)。

在簡化Lorenz混沌進行仿真和鎮(zhèn)定控制之前，需要對參數(shù)進行設(shè)置。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)定為c=2.0，初始狀態(tài)設(shè)定為x（0）=2.0，y（0）=-3.0，z（0）=4.0，仿真時間設(shè)定為40.0秒。簡化Lorenz混沌仿真后，單擊按鈕“二維相圖”，可以繪制狀態(tài)變量的二維相圖;單擊按鈕“狀態(tài)變量”，可以繪制各個狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)仿真后，狀態(tài)變量x和z的二維相圖如圖2所示。在圖2中，簡化Lorenz系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

根據(jù)簡化Lorenz混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)計主動控制器進行系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。在主動控制器中，參數(shù)設(shè)定為k1=-2.0，k2=-2.0，k3=-3.0。簡化Lorenz混沌鎮(zhèn)定控制的仿真時間設(shè)定為8.0秒。在主界面中，單擊按鈕“簡化Lorenz混沌的鎮(zhèn)定控制”，采用主動控制器進行簡化Lorenz混沌的鎮(zhèn)定控制。簡化Lorenz混沌鎮(zhèn)定控制后，可以顯示狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線和主動控制器的響應(yīng)曲線，狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線如圖3所示。在圖3中，簡化Lorenz混沌的狀態(tài)變量收斂到零，收斂的速度比較快。仿真結(jié)果表明，主動控制器能夠進行簡化Lorenz混沌的鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量快速收斂到零。

5 結(jié)語

Python語言作為一門新興的編程語言，在科學(xué)計算和計算機教育等方面具有較強的優(yōu)勢，對于初學(xué)者也很容易入門。Python語言采用開源設(shè)計，具有眾多開源科學(xué)計算軟件包。本文采用Python語言建立簡化Lorenz混沌仿真和控制實驗平臺，能夠進行簡化Lorenz混沌的仿真和鎮(zhèn)定控制。簡化Lorenz混沌系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性，且只有一個參數(shù)，可以用硬件電路實現(xiàn)。根據(jù)簡化Lorenz混沌的狀態(tài)方程，設(shè)計主動控制器進行系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，狀態(tài)變量漸進收斂到零，收斂的速度比較快。該仿真實驗平臺將理論學(xué)習(xí)和編程開發(fā)相結(jié)合，學(xué)生可以修改系統(tǒng)參數(shù)，然后進行仿真實驗，觀察仿真結(jié)果。該仿真實驗平臺具有良好的可控性、重復(fù)性和經(jīng)濟性等優(yōu)點，降低了實驗成本，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生創(chuàng)新實驗技能和工程實踐能力。

參考文獻

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