初中物理中“蜻蜓點水”問題分析

王邦成

摘 要：“蜻蜓點水”是常見的自然現(xiàn)象，蜻蜓點水后在平靜的水面上會出現(xiàn)波紋。在初中物理中經(jīng)常會結(jié)合運(yùn)動學(xué)和聲學(xué)相關(guān)知識進(jìn)行出題，結(jié)合運(yùn)動學(xué)的時候往往要根據(jù)蜻蜓點水產(chǎn)生的水波判斷蜻蜓的運(yùn)動方向以及蜻蜓運(yùn)動的速度大小與水波擴(kuò)散的速度大小的關(guān)系。這類題目既考察了物理知識又結(jié)合了日常生活現(xiàn)象，充分體現(xiàn)了物理來源于生活的特點，但是許多學(xué)生看到此類題目都無從下手，不知道如何分析。本文通過幾個例題簡單介紹一下初中物理中“蜻蜓點水”的幾種情況。

關(guān)鍵詞：初中物理;蜻蜓點水;速度與物體運(yùn)動

一、“蜻蜓點水”水波俯視圖匯總

“蜻蜓點水”產(chǎn)生的水波的俯視圖片一般會出現(xiàn)的幾種情況如圖1所示，下面我們來一一進(jìn)行分析。

二、蜻蜓飛行方向的判斷

根據(jù)點水的位置判斷蜻蜓飛行的方向，俯視圖中圓越大說明蜻蜓越先在該圓圓心處點水，圓越小說明蜻蜓越后在該圓圓心處點水（即：蜻蜓剛點水激起的波紋圓周半徑?。?，所以只要找出俯視圖中各個圓的圓心，蜻蜓的運(yùn)動方向就是從大圓圓心指向小圓圓心。

三、 蜻蜓飛行速度與水波擴(kuò)散速度之比

流體的流動速度（v）和聲音在該流體內(nèi)傳播的速度（c）之比，稱為馬赫數(shù)（M），。M數(shù)是衡量空氣壓縮性的最重要的參數(shù)。定義為物體速度與音速的比值，即音速的倍數(shù)。其中又有細(xì)分多種馬赫數(shù)，如飛行器在空中飛行使用的飛行馬赫數(shù)、氣流速度的氣流馬赫數(shù)、復(fù)雜流場中某點流速的局部馬赫數(shù)等等。可以簡單理解為：馬赫數(shù)指的是飛機(jī)的飛行速度與當(dāng)?shù)卮髿猓ㄒ欢ǖ母叨?、溫度和大氣密度）中的音速之比，我們可以廣義地認(rèn)為是物體在介質(zhì)中運(yùn)動的速度與該介質(zhì)中的波速之比。

圖2中展示的是對應(yīng)馬赫數(shù)（M）小于1、等于1以及大于1的情況。馬赫數(shù)大于1時會形成馬赫錐，馬赫錐是同一時刻波前的包絡(luò)，三維情形為一圓錐，二維情形即為圖（c）所示。

此外在數(shù)學(xué)中圓與圓之間有相離（外離、內(nèi)含）、相切（外切、內(nèi)切）、相交這幾種位置關(guān)系。根據(jù)這個數(shù)學(xué)知識結(jié)合圖2可以得出俯視圖中圓的位置關(guān)系為內(nèi)含時M<1;俯視圖中圓的位置關(guān)系為內(nèi)切時M=1;俯視圖中圓的位置關(guān)系為外離、外切、相交時M>1。

又根據(jù)有：M<1時v1時v>c（即：蜻蜓飛行的速度大于水波擴(kuò)散的速度）。由此根據(jù)俯視圖中圓的位置關(guān)系就可以判斷蜻蜓飛行的速度與水波擴(kuò)散的速度的大小關(guān)系。

比如圖1（a）中同心圓，圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以蜻蜓飛行的速度小于水波擴(kuò)散的速度;圖1（b）中幾個圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，所以蜻蜓飛行的速度等于水波擴(kuò)散的速度;圖1（c）（d）（e）中幾個圓的位置關(guān)系分別為外切相交，所以蜻蜓飛行的速度大于水波擴(kuò)散的速度。

四、“蜻蜓點水”問題典例分析

典例1（2010年第二十四屆上海市初中物理初賽試卷第25題）：“蜻蜓點水”是常見的自然現(xiàn)象，蜻蜓點水后在平靜的水面上會出現(xiàn)波紋。某同學(xué)在研究蜻蜓運(yùn)動的過程中獲得了一張蜻蜓點水的俯視照片，照片反映了蜻蜓連續(xù)三次點水后某瞬間的水面波紋。如果蜻蜒飛行的速度恰好與水波的傳播速度相等，不考慮蜻蜓每次點水所用的時間，在圖3中的四幅圖中，與照片相吻合的是（）

解析：首先根據(jù)數(shù)學(xué)知識有A中幾個圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，B中幾個圓的位置關(guān)系為相交，C中幾個圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，D中幾個圓的位置關(guān)系為外切。所以它們對應(yīng)的馬赫數(shù)（M）分別為等于1、大于1、小于1、大于1。關(guān)于蜻蜓點水考察的是波源移動時波的傳播行為，拓展到水波范疇。我們看題中說“如果蜻蜒飛行的速度恰好與水波的傳播速度相等，不考慮蜻蜓每次點水所用的時間”所以對應(yīng)的馬赫數(shù)M=1，即選項A即屬此類。

典例2（2012全國初中物理競賽預(yù)賽）：“蜻蜓點水”是常見的自然現(xiàn)象，某同學(xué)在研究蜻蜓運(yùn)動的過程中，獲得一張圖4所示的蜻蜓點水的俯視圖片。該圖片記錄了在相等時間內(nèi)蜻蜓連續(xù)三次點水過程中激起的波紋，已知水的傳播和蜻蜓的飛行都是勻速運(yùn)動。根據(jù)圖中弦的形狀和分布可知蜻蜓當(dāng)時是向___________（填“左”或“右”）飛行的，且飛行速度比水波傳播的速度__________（填“快”或“慢”）。

解析：首先找出幾個圓的圓心，由蜻蜓剛點水激起的波紋圓周半徑小，所以蜻蜓飛行的方向是由大圓圓心指向小圓圓心（如圖5所示），即當(dāng)時蜻蜓是向左飛行。有根據(jù)水波俯視圖的圓位置關(guān)系為外切，所以M >1，即：蜻蜓飛行速度比水波傳播的速度快。

典例3：“蜻蜓點水”是常見的自然現(xiàn)象，蜻蜓點水后在水面上會激起波紋。某同學(xué)在研究蜻蜓運(yùn)動的過程中獲得一張蜻蜓點水的俯視照片，該照片記錄了蜻蜓連續(xù)三次點水過程中激起的波紋，其形狀如圖6所示.由圖可分析出蜻蜓當(dāng)時是向______（填“右”或“左”）飛行的，且飛行速度比水波傳播的速度______（填“快”或“慢”）。由于圓形波形圖的圓心就是蜻蜓擊水的位置，因此可在圖中測出蜻蜓當(dāng)時的飛行速度與波速的比值約為______。

解析：根據(jù)如圖所示，蜻蜓連續(xù)三次點水過程中激起的波紋，則圓圈越小，則時間越短，所以飛行方向則為從大圓到小圓;若蜻蜓飛行的速度和水波的速度相同，那么蜻蜓的每一次點水的時候都會是在上一個水波的邊線上，而第二個水波和第一個水波都在以相同的速度運(yùn)動，所以每個圓都應(yīng)該是內(nèi)切的.然而圖中則說明蜻蜓飛行的速度比水波的速度大，水波傳遞的速度相同，由圖里第一三個圓外切可以知道第三個圓擴(kuò)散了1的距離之后和第一個圓相切，此時第一和圓已經(jīng)擴(kuò)散了4的距離，也就是說第三個圓再最初始的時候第一個圓應(yīng)該是在3的位置，由因為蜻蜓飛行的時間與水波擴(kuò)散的時間相等，所以即可得出蜻蜓的飛行速度與水波的速度比為。所以本題答案為：右、快、1.67。

典例4：某同學(xué)觀察蜻蜓在貼近平靜的水面直線飛行時，獲得了一張蜻蜓點水的俯視圖片如圖所示，圖片反映了蜻蜓連續(xù)三次點水后某瞬間水面波紋的分布情況（每次點水只形成一個波紋），三個波紋剛好在O點內(nèi)切，蜻蜓每次點水所用的時間忽略不計，分析圖片下列說法中正確的是（）

A.蜻蜓的運(yùn)動方向是沿x軸向右

B.蜻蜓的運(yùn)動方向是沿x軸向左

C.蜻蜓飛行的速度大于水波的傳播速度

D.蜻蜓飛行的速度小于水波的傳播速度

解析：根據(jù)圓的大小可判斷出蜻蜓飛行方向為從大圓到小圓（即：蜻蜓沿x軸向左飛行）;再根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知圖中幾個圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，所以它對應(yīng)的馬赫數(shù)（M）等于1，所以蜻蜓飛行的速度等于水波的傳播速度;所以本題應(yīng)該選B答案。

五、總結(jié)

“蜻蜓點水”問題的分析思路：

（1）找所給俯視圖中各個圓的圓心;（2）根據(jù)圓的大小判斷蜻蜓飛行的方向;（3）判斷圓心間距離和圓的半徑之和的關(guān)系（即圓的位置關(guān)系）;（4）根據(jù)圓的位置關(guān)系判斷出馬赫數(shù)（M）是大于、小于還是等于1;（5）根據(jù)馬赫數(shù)（M）判斷出蜻蜓飛行速度與水波擴(kuò)散速度的大小。

參考文獻(xiàn)

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