超強(qiáng)耦合電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中反旋波效應(yīng)對(duì)量子比特頻率移動(dòng)的影響*

陳臻 王帥鵬 李鐵夫 游建強(qiáng)

1) (北京計(jì)算科學(xué)研究中心量子物理與量子信息研究部， 北京 100193)

2) (浙江大學(xué)物理系， 杭州 310027)

3) (清華大學(xué)微電子學(xué)研究所， 量子信息前沿科學(xué)中心， 北京 100084)

4) (北京量子信息科學(xué)研究院， 北京 100193)

(2020 年3 月31日收到; 2020 年4 月24日收到修改稿)

從實(shí)驗(yàn)上研究了四結(jié)磁通量子比特與多模共面波導(dǎo)諧振腔構(gòu)成的超強(qiáng)耦合電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng). 通過傳輸譜測(cè)量和數(shù)值擬合， 確定量子比特與腔第一模式的耦合強(qiáng)度已達(dá)到0.1倍諧振腔頻率， 進(jìn)入了超強(qiáng)耦合區(qū)域; 通過色散讀出方法得到了系統(tǒng)的能譜， 并通過增加探測(cè)場(chǎng)光子， 從能譜上得到了量子比特頻率隨探測(cè)光子的位移. 這種位移不僅包含旋波項(xiàng)的貢獻(xiàn)， 也包含了反旋波項(xiàng)的顯著貢獻(xiàn)， 證實(shí)我們所實(shí)現(xiàn)的超強(qiáng)耦合系統(tǒng)是一個(gè)良好的研究量子拉比模型的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)， 它在量子技術(shù)的諸多方面有潛在的應(yīng)用， 如量子模擬、超快量子邏輯門、糾纏態(tài)制備、量子比特保護(hù)等.

1 引 言

超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)是實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的主要候選方案之一[1-4]， 同時(shí)也是研究電路量子電動(dòng)力學(xué)的良好平臺(tái)[5-9]. 根據(jù)約瑟夫森耦合能EJ和充電能EC比值的不同， 超導(dǎo)量子比特主要可以分為三種， 分別是電荷量子比特[10]、磁通量子比特[11]和相位量子比特[12，13]. 為了壓制電荷噪聲帶來的退相干， 人們?cè)诖磐孔颖忍氐幕A(chǔ)上發(fā)展出了電容并聯(lián)磁通量子比特[14，15]， 在電荷量子比特的基礎(chǔ)上發(fā)展出了傳輸子量子比特[16]和Xmon量子比特[17].這些新一代的超導(dǎo)量子比特在相干性方面有很大的提高， 使得超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)在大規(guī)模量子計(jì)算與量子模擬方面成為強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)者[18-22].

但是， 傳輸子和Xmon也有自身的局限性. 電容的增加導(dǎo)致這兩種量子比特非諧性減少， 使得他們不是一個(gè)良好的二能級(jí)系統(tǒng). 與傳輸子和Xmon相比， 電容并聯(lián)磁通量子比特非諧性好一些[15]， 但在某些應(yīng)用方面也還不夠. 如在超導(dǎo)量子比特與微波腔的耦合處于超強(qiáng)、甚至深強(qiáng)耦合區(qū)域時(shí)[23-26]，只有具有非常好的非諧性才能夠很好地量子模擬Rabi模型. 這時(shí)常規(guī)的磁通量子比特非諧性較大，具有優(yōu)勢(shì)[27]. 另外， 磁通量子比特還有如下優(yōu)點(diǎn):耦合方式通常為磁偶極相互作用， 可以與NV色心等天然自旋系綜直接耦合， 用于量子態(tài)存儲(chǔ)[28，29].

本文實(shí)驗(yàn)研究了四結(jié)磁通量子比特與共面波導(dǎo)諧振腔構(gòu)成的電路量子電動(dòng)力學(xué)超強(qiáng)耦合系統(tǒng).在物理性質(zhì)上， 四結(jié)磁通量子比特與通常的三結(jié)磁通量子比特類似[30，31]， 但樣品制備上更為方便[30].通過色散讀出， 測(cè)試了系統(tǒng)的能譜， 觀測(cè)到了磁通量子比特隨測(cè)量光子數(shù)增加的頻率移動(dòng). 在所實(shí)現(xiàn)的超強(qiáng)耦合系統(tǒng)中， 實(shí)驗(yàn)測(cè)量與理論分析顯示， 上述頻率移動(dòng)除了包含旋波項(xiàng)產(chǎn)生的交流斯塔克位移， 還存在明顯的由反旋波項(xiàng)導(dǎo)致的布洛赫-西格特位移， 表明本文實(shí)現(xiàn)的超強(qiáng)耦合系統(tǒng)需由包含反旋波項(xiàng)的Rabi模型才能很好地描述.

2 超強(qiáng)耦合電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

2.1 理論模型

本文研究的超強(qiáng)耦合電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)包含一個(gè)四約瑟夫森結(jié)磁通量子比特與一個(gè)多模超導(dǎo)共面波導(dǎo)諧振腔， 描述這種耦合系統(tǒng)的哈密頓量為

哈密頓量(1)式是寫在磁通量子比特電流態(tài)表象下. 如果對(duì)哈密頓量(1)式做表象變換， 在量子比特能量表象下時(shí)， 可以得到

如果諧振腔頻率與量子比特頻率之間的失諧量很大(|ωq-ωn|?g)， 也就是在所謂的色散區(qū)域， 可以將哈密頓量(2)式通過施里弗-沃爾夫變換對(duì)角化， 得到有效哈密頓量

2.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1(a)所示， 樣品置于一臺(tái)He3He4稀釋制冷機(jī)的最低溫區(qū)， 工作時(shí)該溫區(qū)的溫度約為20 mK. 樣品處于一個(gè)小超導(dǎo)磁體中， 磁體可以產(chǎn)生最大約10 G (1 G = 10—4T)的磁場(chǎng). 主要測(cè)試儀器包括一臺(tái)矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀和一臺(tái)微波信號(hào)源， 將矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀輸出的信號(hào)記為探測(cè)信號(hào)，微波信號(hào)源輸出記為驅(qū)動(dòng)信號(hào).和經(jīng)過一個(gè)功率合成器混合進(jìn)入制冷機(jī)內(nèi)部， 再經(jīng)過逐級(jí)衰減后進(jìn)入樣品; 混合信號(hào)與樣品相互作用后再經(jīng)過隔離器、放大器返回網(wǎng)絡(luò)分析儀， 網(wǎng)絡(luò)分析儀通過比較返回信號(hào)相比于信號(hào)幅度和相位的變化，就可以得到樣品的信息.

圖 1 實(shí)驗(yàn)裝置 (a)測(cè)量系統(tǒng)， 其中信號(hào)由網(wǎng)絡(luò)分析儀和微波源發(fā)出， 經(jīng)過衰減合成后進(jìn)入稀釋制冷機(jī)內(nèi)部， 樣品處在制冷機(jī)的最低溫區(qū)， 測(cè)試時(shí)溫度為20 mK; (b)共面波導(dǎo)諧振腔示意圖， 磁通量子比特處于諧振腔中心， 黃色、藍(lán)色曲線分別為第一、三模式電流分布; (c)磁通量子比特掃描電子顯微鏡圖像Fig. 1. Experimental setup: (a) Measurement system: signals from both the PNA and the PSG generator are combined and attenuated before entering the dilution refrigerator; the sample is placed in the sample chamber of the refrigerator whose working temperature is 20 mK; (b) the schematic of the coplanar-waveguide resonator， with a four-junction flux qubit located at the center of the resonator; yellow and blue curves are current distributions of the first and third modes of the resonator， respectively; (c) the scanning electron microscope images of the flux qubit.

樣品為多模共面波導(dǎo)諧振腔與量子比特耦合系統(tǒng). 其中圖1(b)為共面波導(dǎo)諧振腔示意圖， 中心線兩側(cè)有兩個(gè)“缺口”， 滿足諧振頻率的微波會(huì)在這兩個(gè)“缺口”間形成駐波. 量子比特被制備在諧振腔的中心位置， 諧振腔中的磁場(chǎng)分布如圖1(b)中黃線(第一模式)、藍(lán)線(第三模式)所示. 由于第二模式在中心位置磁場(chǎng)為0， 而磁通量子比特與諧振腔光子間耦合方式為磁偶相互作用， 所以該量子比特只與諧振腔第一模式和第三模式有耦合. 圖1(c)為量子比特樣品的掃描電子顯微鏡圖像， 該量子比特包含四個(gè)約瑟夫森結(jié)， 其中三個(gè)結(jié)是相同的， 左上角是一個(gè)小結(jié)， 面積約為其他三個(gè)結(jié)的1/3 (見圖1(c)左下小圖). 磁通量子比特與諧振腔的耦合強(qiáng)度主要由他們之間的互感決定，，其中M為量子比特和諧振腔的互感，為第n個(gè)模式的真空電流，為量子比特的持續(xù)電流. 在這里通過增加磁通量子比特與諧振腔的共用波導(dǎo)線長(zhǎng)度來增強(qiáng)耦合， 該共用波導(dǎo)線長(zhǎng)度為34.8 μm.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析

前文分析過， 磁通量子比特主要有兩個(gè)參數(shù)，分別是能量偏置和隧穿能Δ， 其中為磁通量子比特持續(xù)電流， 和Δ一樣由制備條件所確定. 磁通量子比特工作在外加磁通為N/2(N= 1， 2， 3， ··)個(gè)磁通量子附近， 而根據(jù)我們的制備工藝參數(shù)， 隧穿能， 諧振腔諧振頻率GHz. 實(shí)驗(yàn)上， 通過調(diào)節(jié)外加磁通使磁通量子比特與諧振腔第三模式共振， 觀測(cè)真空Rabi劈裂. 通過探測(cè)到的真空Rabi劈裂， 可以尋找量子比特的工作磁場(chǎng)位置并確定量子比特的基本信息. 圖2(a)給出用網(wǎng)絡(luò)分析儀測(cè)試腔第三模式傳輸譜隨外加磁場(chǎng)的變化， 可以看到兩個(gè)清晰的拉比劈裂. 同時(shí)還測(cè)試了第一模式隨磁場(chǎng)的變化， 見圖2(b). 雖然第一模式與磁通量子比特始終不共振， 但由于他們之間有很強(qiáng)的色散相互作用，諧振峰同樣受到了明顯的影響. 這里需要說明的是， 在圖2中將橫坐標(biāo)磁場(chǎng)換算成了外加磁通量偏置， 換算方法是根據(jù)能量偏置的周期性， 測(cè)量相鄰的兩個(gè)拉比劈裂， 這兩個(gè)相鄰拉比劈裂對(duì)應(yīng)的電流就是產(chǎn)生一個(gè)磁通量量子所需的電流.

從圖2還可以得到量子比特的其他信息. 通過數(shù)值求解哈密頓量(2)式， 對(duì)圖2做了擬合， 結(jié)果如圖中紅色虛線所示. 通過擬合曲線可以得到，Ip=265 nA ，Δ/2π =6 GHz ，磁通量子比特與第三模式耦合常數(shù)g3/(2π)=521 MHz ， 與第一模式耦合常數(shù)g1/(2π)=306 MHz .可以看到， 第一模式耦合常數(shù)滿足g1/ω1≈0.1 ， 達(dá)到了超強(qiáng)耦合區(qū)域.這里需要注意的是， 真空Rabi劈裂的測(cè)量須保證腔真空的實(shí)現(xiàn)， 也就是腔內(nèi)平均光子數(shù)小于1. 當(dāng)腔內(nèi)光子數(shù)過多時(shí)， 得到的耦合常數(shù)會(huì)偏大， 這是因?yàn)楦鶕?jù)哈密頓量(2)式， 測(cè)量得到的為諧振腔中的平均光子數(shù).在圖2的測(cè)試中， 探測(cè)信號(hào)到達(dá)樣品的功率分別為p3=-157 dBm ，p1=-157 dBm ， 可由[23]計(jì)算得出平均光子數(shù)， 代入實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)ω3/(2π)= 9.42 GHz ，κ3/(2π)=18.01 MHz ，ω1/(2π)=3.14 GHz ，κ1/(2π)=2.07 MHz ， 可得n3=0.0018 ，n1=0.046 . 顯然， 兩次測(cè)量的平均光子數(shù)都遠(yuǎn)小于1. 除了探測(cè)場(chǎng)光子，熱光子也可能會(huì)影響測(cè)試結(jié)果. 熱光子平均光子數(shù)可由玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)規(guī)律計(jì)算得到，nthermal=1/(-1)， 其中為玻爾茲曼常數(shù)，T為溫度. 代入測(cè)試溫度20 mK， 得到腔第三模式附近熱光子為nthermal3=1.49×10-10， 腔第一模式熱光子為nthermal1=5.38×10-4. 由此可見在本文實(shí)驗(yàn)中，熱光子的影響也可以忽略不計(jì)， 因此圖2傳輸譜測(cè)量得到的耦合常數(shù)是有效的.

為了得到哈密頓量(3)式描述的交流斯塔克和布洛赫-西格特效應(yīng)， 采用色散讀出方法來測(cè)量系統(tǒng)的能譜. 這種測(cè)試方法的原理如下: 如果把哈密頓量(3)中的

可以發(fā)現(xiàn)腔頻率會(huì)根據(jù)量子比特狀態(tài)的不同而改變， 變化的大小為個(gè)原理， 可以通過探測(cè)腔場(chǎng)的變化得到量子比特能譜. 具體的測(cè)試方法如下: 將固定在諧振腔的諧振頻率處， 同時(shí)使用微波源施加一個(gè)掃描信號(hào)，當(dāng)掃描信號(hào)頻率與量子比特頻率共振時(shí)， 量子比特狀態(tài)改變， 導(dǎo)致腔諧振頻率發(fā)生變化， 這時(shí)的幅度和相位也會(huì)發(fā)生變化.

圖 2 系統(tǒng)傳輸譜隨磁通量偏置的變化 (a)腔第三模式傳輸譜隨磁通量偏置的變化; (b)腔第一模式傳輸譜隨磁通量偏置的變化; 圖中擬合紅色虛線為哈密頓量(2)式數(shù)值解的結(jié)果Fig. 2. The transmission |S21| as a function of the flux bias:(a) The transmission |S21| of the third mode of the resonator as a function of the flux bias; (b) the transmission |S21|of the first mode of the resonator as a function of the flux bias. Red dashed curves are the fitting results numerically obtained from the Hamiltonian (2) equation.

圖3是用腔第一模式色散讀出得到的能譜圖.圖中黑色箭頭所示的是由于諧振腔模式之間的交叉克爾效應(yīng)導(dǎo)致的諧振頻率變化， 他們對(duì)應(yīng)的頻率分別為腔第一、二、三模式. 拋物線型曲線對(duì)應(yīng)的是磁通■量子比特基態(tài)到激發(fā)態(tài)的躍遷頻率， 大小為. 根據(jù)圖2參數(shù)， 對(duì)圖3中的譜線做了數(shù)值擬合， 結(jié)果見圖中紅色虛線. 圖3中除了量子比特本身的譜線， 還可以看到量子比特的邊帶躍遷. 這種邊帶躍遷是反旋波項(xiàng)和驅(qū)動(dòng)場(chǎng)共同作用的結(jié)果， 增加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的功率會(huì)看到更高階的邊帶躍遷[26].

圖 3 腔第一模式測(cè)量的系統(tǒng)能譜隨外加磁通偏置的變化， 紅色擬合虛線代表量子比特基態(tài)到激發(fā)態(tài)躍遷頻率，測(cè)量時(shí)腔內(nèi)的平均光子數(shù)為nˉ1=4.7×10-3Fig. 3. The spectrum measured using the first mode of the resonator as a function of the flux bias. The red dashed curve is the numerical result for the qubit transition and the average photon number in the resonator is 4.7 ×10—3.

對(duì)于量子比特頻率位移的測(cè)量， 選擇將外磁場(chǎng)固定在信噪比較好的量子比特頻率位置， 用諧振腔第一模式做能譜測(cè)量. 根據(jù)之前的分析， 量子比特的頻率會(huì)隨著光子數(shù)的增加而增加， 通過增加探測(cè)信號(hào)的輸出功率的方法來不斷增加腔內(nèi)光子數(shù). 隨著腔內(nèi)光子數(shù)越來越多， 如圖4所示， 量子比特的頻率發(fā)生了顯著的變化， 變化幅度約為. 這種頻率變化產(chǎn)生的根源是哈密頓量(3)式中的

項(xiàng)， 由于本文使用諧振腔第一模式做測(cè)量， 所以此時(shí)只需要考慮第一模式的光子， 即

另外需要注意的是， 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為一系列不等間距的點(diǎn)， 造成這些現(xiàn)象的原因如下: 首先， 實(shí)驗(yàn)所用的信號(hào)源輸出功率不是線性的， 而是dBm單位. 二者換算方法為PdBm=10log10(PLinear/1 mW) ， 式中PdBm是以dBm為單位的功率值，PLinear是以mW為單位的功率大小. 其次， 在實(shí)驗(yàn)中以2.5 dBm為間隔增加腔內(nèi)光子數(shù)， 將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成線性功率后， 它們會(huì)變成不等間距的數(shù)據(jù)點(diǎn)， 而且隨著數(shù)據(jù)的增大， 間隔會(huì)以指數(shù)型增加. 另外在圖4中， 在低光子數(shù)時(shí)， 測(cè)得信號(hào)的信噪比也相對(duì)較低， 導(dǎo)致數(shù)據(jù)浮動(dòng)較大. 隨著光子數(shù)增加， 信號(hào)的信噪比也增加， 浮動(dòng)隨之變小.

根據(jù)以上的分析， 使用圖2中得到的參數(shù)對(duì)圖4的結(jié)果進(jìn)行了擬合， 結(jié)果見圖4中紅色直線，這條擬合線段只包括實(shí)驗(yàn)參數(shù)， 不含自由擬合參數(shù). 其中， 旋波項(xiàng)貢獻(xiàn)的交流斯塔克位移28.0 MHz×2π， 反旋波項(xiàng)貢獻(xiàn)的布洛赫-西格特位以看出， 量子比特隨腔光子數(shù)的頻率移動(dòng)和我們的理論分析符合得較好. 可以看出， 除了交流斯塔克位移， 布洛赫-西格特位移成分也很重要， 表明在我們的耦合系統(tǒng)中， 反旋波項(xiàng)的作用已不能忽略. 作為對(duì)比， 圖4中還畫了只包含交流斯塔克位移的圖線， 見圖中藍(lán)色虛線. 可以看出由反旋波項(xiàng)引起的布洛赫-西格特位移必須考慮進(jìn)去， 否則理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果明顯不符.

圖 4 量子比特頻率隨光子數(shù)的變化， 紅色實(shí)線表示包含交流斯塔克和布洛赫-西格特效應(yīng)的擬合曲線， 藍(lán)色虛線只包含交流斯塔克效應(yīng)Fig. 4. The qubit transition frequency as a function of the average photon number. The red solid curve denotes the simulation results when both the ac Stark and Bloch-Siegert shifts are included. The blue dashed curve denotes the simulation results when only the Bloch-Siegert shift is included.

4 結(jié) 論

本文從實(shí)驗(yàn)上研究了四結(jié)磁通量子比特和共面波導(dǎo)腔構(gòu)成的電路量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng). 通過合理地設(shè)計(jì)樣品， 實(shí)現(xiàn)了磁通量子比特與共面波導(dǎo)腔的超強(qiáng)耦合， 其中磁通量子比特和諧振腔第一模式耦合強(qiáng)度達(dá)到了腔諧振頻率的1/10. 通過色散讀出測(cè)量了系統(tǒng)的能譜， 并通過增加腔內(nèi)光子數(shù)從能譜上觀測(cè)到了量子比特的頻率位移. 該頻率移動(dòng)除了包括交流斯塔克位移外， 還包含由反旋波項(xiàng)引起的布洛赫-西格特位移. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量與理論分析顯示， 由反旋波項(xiàng)引起的布洛赫-西格特位移與交流斯塔克位移一樣， 是同等重要的， 表明我們實(shí)現(xiàn)的超強(qiáng)耦合系統(tǒng)是一個(gè)良好的研究量子拉比模型的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)， 它在未來量子技術(shù)的諸多方面有潛在的應(yīng)用，如量子模擬[32]、超快量子邏輯門[33]、糾纏態(tài)制備[34]、量子比特保護(hù)[35]等.