基于B樣條曲線的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡誤差優(yōu)化研究

韓亞軍，劉家英

（1.重慶城市職業(yè)學(xué)院信息工程系，重慶永川402160；2.重慶城市職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，重慶永川402160）

隨著中國(guó)制造業(yè)的發(fā)展，中國(guó)已經(jīng)成為全球制造業(yè)中心，將由制造大國(guó)轉(zhuǎn)變成為制造強(qiáng)國(guó)。近些年，工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)得到了迅速發(fā)展，廣泛應(yīng)用于汽車(chē)制造、金屬加工及塑料成型等許多領(lǐng)域，今后將應(yīng)用于更多的領(lǐng)域。由此可見(jiàn)，機(jī)器人在社會(huì)發(fā)展中起到了很大的促進(jìn)作用，對(duì)于人類(lèi)開(kāi)辟新的產(chǎn)業(yè)，在提高人們生活水平方面具有重要的意義。

工業(yè)機(jī)器人，又稱(chēng)機(jī)械臂，包含機(jī)械系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、傳感器系統(tǒng)等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域[1-2]。為了使機(jī)器人能夠在復(fù)雜環(huán)境中完成任務(wù)，對(duì)機(jī)器人的綜合性能提出了更高的要求。只有從機(jī)器人的結(jié)構(gòu)、控制系統(tǒng)性能及傳感器性能等多方面進(jìn)行改造，才能提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度。但是，機(jī)器人具有高度耦合和非線性特性，控制難度較大。因此，需要對(duì)工業(yè)機(jī)器人軌跡跟蹤控制進(jìn)行深入研究和分析，優(yōu)化出最佳參數(shù)，從而提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和跟蹤精度。

當(dāng)前，為了提高工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡精度，使工業(yè)機(jī)器人加工產(chǎn)品精度更高，國(guó)內(nèi)外許多科研人員從多角度對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡展開(kāi)了研究。例如：文獻(xiàn)[3-4]研究了工業(yè)機(jī)器人在電機(jī)外殼生產(chǎn)線中的應(yīng)用，分析了電機(jī)外殼零件數(shù)控加工工藝，采用可編程控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)出機(jī)器人自動(dòng)上下料的運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床與機(jī)器人的完美組合，提高了數(shù)控機(jī)床的安全性和加工精度。文獻(xiàn)[5-6]研究了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法，創(chuàng)建了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真界面，引用三次多項(xiàng)式對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角位移進(jìn)行規(guī)劃，設(shè)計(jì)了數(shù)字運(yùn)動(dòng)控制的插補(bǔ)算法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)曲線的變化效果，從而達(dá)到了機(jī)器人設(shè)計(jì)精度的預(yù)期要求。文獻(xiàn)[7-8]研究了經(jīng)濟(jì)性工業(yè)機(jī)器人路徑規(guī)劃設(shè)計(jì)方法，根據(jù)D-H方法建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)方程式，使用Matlab軟件對(duì)機(jī)器人進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)角位移變化曲線，提高了工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡精度。以往設(shè)計(jì)出的工業(yè)機(jī)器人控制系統(tǒng)，在一定程度上提高了工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度，但是隨著社會(huì)的發(fā)展，人們對(duì)工業(yè)機(jī)器人加工產(chǎn)品的精度要求越來(lái)越高，現(xiàn)有的加工精度很難滿(mǎn)足人們的需求。對(duì)此，本文建立了工業(yè)機(jī)器人三維模型，根據(jù)D-H方法推導(dǎo)出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)角位移方程式，為了提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度，引用B樣條曲線設(shè)計(jì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，采用混合算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)Matlab軟件對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)角位移跟蹤誤差進(jìn)行仿真，與優(yōu)化前輸出誤差進(jìn)行比較和分析，為提高工業(yè)機(jī)器人對(duì)產(chǎn)品加工精度提供理論依據(jù)。

1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)

本文研究的工業(yè)機(jī)器人具有6個(gè)自由度，其機(jī)構(gòu)如圖1所示。根據(jù)D-H方法和坐標(biāo)變換矩陣乘積，可以推導(dǎo)出機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式[9-10]為

式中：nj，oj，aj為末端坐標(biāo)系姿態(tài)；θi為相鄰連桿之間的夾角；pj為末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系中的空間位置；為相鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，i=1，2，…，6，j=x，y，z。

圖1 工業(yè)機(jī)器人Tab.1 Industrial robot

采用逆矩陣01T-1乘以式（1）兩端，經(jīng)過(guò)變化后，可得

同理，可以求得其他連桿的角位移為

式中：si為 sinθi；ci為 cosθi；d2，d4分別為第 2 個(gè)、第4個(gè)連桿偏離距離；ai為連桿長(zhǎng)度；

2 運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化

2.1 非均勻B樣條曲線

采用非均勻B樣條對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)進(jìn)行插值運(yùn)算，第j關(guān)節(jié)第i段k次非均勻B樣條[11-12]運(yùn)動(dòng)軌跡方程式為

式中：Vj，r為j關(guān)節(jié)的控制點(diǎn)；Br，k（u）為k次規(guī)范 B樣條基函數(shù)。

對(duì)于每一個(gè)規(guī)范B樣條曲線，定義如下：

本文設(shè)置k=5，ui≤ui+1為非遞減參數(shù)，Bi，k（u）的區(qū)間為[ui，ui+k+1]，共有k+2個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)于m-1+k個(gè)控制點(diǎn)，相應(yīng)有m-1+k個(gè)規(guī)范B樣條。對(duì)于節(jié)點(diǎn)矢量，可以寫(xiě)成U=[u1，u2，…，um+2k]。規(guī)范定義域 為u1=u2=…=uk+1=0，um+k=um+k+1=…=um+2k=1，通過(guò)時(shí)間序列T=[t1，t2，…，tm]進(jìn)行求解。通過(guò)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行歸一化處理后，得到內(nèi)節(jié)點(diǎn)值為

通過(guò)對(duì)機(jī)器人角位移求導(dǎo)，可以推導(dǎo)出速度和加速度方程式為

為了得到角加速度的連續(xù)性，對(duì)非均勻五次B樣條曲線采用插值法，角位移運(yùn)動(dòng)路徑點(diǎn)方程式為

式中：u5+i[∈u5+1，…，u5+m]，i=1，2，…，m，j=1，2，…，6。

為了使起停角速度和角加速度值為零，根據(jù)邊界條件可以得

最終可以得出矩陣方程式為

式中：Dj=[Vj，1，Vj，2，…，Vj，m+6]T；Pj=[Q1j，Q2j，…，QmjωsjωejasjaejVj，m+6]T；Aj為上述m+6 個(gè)方程的矩陣系數(shù)。

2.2 軌跡優(yōu)化

2.2.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法通過(guò)變異、交叉與選擇操作，從而搜索到全局最優(yōu)解，具體操作步驟如下：

步驟1變異操作。若種群中隨機(jī)產(chǎn)生的個(gè)體為xi，通過(guò)變異后得到新的個(gè)體為vi，變異表達(dá)式[13]為

式中：F1，F(xiàn)2為縮放因子；i∈[1，2，…，N]；r1，r2∈[1，2，…，N]，N為種群大小。

步驟2交叉操作。將新的個(gè)體vi與原來(lái)個(gè)體進(jìn)行交叉操作再得到新的個(gè)體，交叉操作表達(dá)式[13]為

式中：q為區(qū)間[0，1]的隨機(jī)數(shù)；λ為交叉概率因子；jq為區(qū)間[0，D]的隨機(jī)整數(shù)，D為粒子維數(shù)。

步驟3選擇操作。對(duì)比ui和xi值，選擇較優(yōu)的進(jìn)入下一輪進(jìn)化中。

2.2.2 粒子群算法（PSO）

粒子群算法通過(guò)更新迭代粒子速度和位置來(lái)搜索空間內(nèi)的最優(yōu)解，其更新迭代公式[14]為

式中：i=1，2，…，N；j=1，2，…，D；N為種群數(shù)量；ω為區(qū)間[0，1]慣性權(quán)重；C1，C2為區(qū)間[0，2]學(xué)習(xí)因子；q1，q2為區(qū)間[0，1]隨機(jī)數(shù)。

為了更好地調(diào)整局部、全局搜索能力，對(duì)慣性權(quán)重系數(shù)ω進(jìn)行如下修改：

式中：ω0為初始權(quán)重；ω1為最終權(quán)重；k為當(dāng)前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

2.2.3 機(jī)器人軌跡混合算法優(yōu)化

混合算法優(yōu)化步驟如下：

步驟1對(duì)種群大小N進(jìn)行初始化；

步驟2進(jìn)行變異、交叉和選擇操作；

步驟3根據(jù)適應(yīng)度值，比較最優(yōu)值，更新當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)值pi與全局最優(yōu)值gj；

步驟4若滿(mǎn)足優(yōu)化條件，則停止迭代，若不滿(mǎn)足優(yōu)化條件，則繼續(xù)迭代，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)為止；

步驟5根據(jù)步驟4粒子的最終收斂位置向量，即為路徑點(diǎn)的時(shí)間間隔序列T=[t1，t2，…，tm]，進(jìn)行5次非均勻B樣條插值，最終可以得到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度曲線。

采用混合優(yōu)化算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，初始條件設(shè)置：種群數(shù)量設(shè)置為100，最大迭代次數(shù)設(shè)置為300，權(quán)重系數(shù)分別為ω0=0.90和ω1=0.4，學(xué)習(xí)因子取值為C1=C2=2，隨機(jī)數(shù)取值為q1=q2=1，交叉概率取值為0.02，變異概率取值為0.75，采用混合算法優(yōu)化迭代曲線如圖2所示。

圖2 混合算法優(yōu)化迭代曲線Tab.2 Optimizes iteration curve of hybrid algorithm

混合算法的迭代次數(shù)對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡搜索到全局最優(yōu)值具有重要的影響。由圖2可知，采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，迭代次數(shù)達(dá)到66次后，就處于收斂情況，也就是搜索到最佳值；而采用粒子群算法優(yōu)化B樣條曲線，迭代次數(shù)達(dá)到140次后才處于收斂情況，也就是搜索到最佳值。因此，混合算法優(yōu)化效果較好。

3 結(jié)果與分析

為了比較優(yōu)化前與優(yōu)化后工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡變化情況，采用Matlab軟件對(duì)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡變化曲線進(jìn)行仿真驗(yàn)證，假設(shè)工業(yè)機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡方程式為

式中：φ為運(yùn)動(dòng)軌跡任意一點(diǎn)位置矢量投影到X-Y平面后與X軸的夾角。

工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4、關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6運(yùn)動(dòng)角位移跟蹤誤差分別如圖3～圖8所示。

圖3 關(guān)節(jié)1角位移誤差Fig.3 Error of joint 1 angular displacement

圖4 關(guān)節(jié)2角位移誤差Fig.4 Error of joint 2 angular displacement

圖5 關(guān)節(jié)3角位移誤差Fig.5 Error of joint 3 angular displacement

圖6 關(guān)節(jié)4角位移誤差Fig.6 Error of joint 4 angular displacement

圖7 關(guān)節(jié)5角位移誤差Fig.7 Error of joint 5 angular displacement

圖8 關(guān)節(jié)6角位移誤差Fig.8 Error of joint 6 angular displacement

根據(jù)圖3～圖8可知：關(guān)節(jié)1，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.027 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.011 rad；關(guān)節(jié)2，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.039 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.016 rad；關(guān)節(jié)3，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.046 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.023 rad；關(guān)節(jié)4，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.059 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.032 rad；關(guān)節(jié)5，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.075 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.049 rad；關(guān)節(jié)6，優(yōu)化前角位移跟蹤最大誤差為0.164 rad，優(yōu)化后角位移跟蹤最大誤差為0.085 rad。因此，采用B樣條曲線設(shè)計(jì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，角位移跟蹤誤差較大，而采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)節(jié)角位移跟蹤誤差較小。另外，優(yōu)化后角位移跟蹤誤差變化幅度明顯低于優(yōu)化前角位移跟蹤誤差變化幅度。采用混合算法優(yōu)化B樣條曲線，可以快速地搜索到全局最優(yōu)值，選擇出最佳設(shè)計(jì)參數(shù)，提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡精度。

4 結(jié)論

針對(duì)工業(yè)機(jī)器人角位移運(yùn)動(dòng)軌跡輸出誤差較大、運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定問(wèn)題，采用混合算法優(yōu)化機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)仿真驗(yàn)證工業(yè)機(jī)器人角位移跟蹤結(jié)果，主要結(jié)論如下：

（1）根據(jù)D-H方法和三角函數(shù)推導(dǎo)了工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡角位移方程式，選擇B樣條曲線規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡。

（2）采用混合算法，結(jié)合了差分進(jìn)化算法和粒子群算法各自的優(yōu)點(diǎn)，迭代次數(shù)少，收斂速度快，能夠搜索到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡最優(yōu)參數(shù)，使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。

（3）優(yōu)化前，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡角位移跟蹤誤差較大，整體波動(dòng)幅度較大；優(yōu)化后，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡角位移跟蹤誤差較小，整體波動(dòng)幅度較小，誤差峰值降低了48.2%，效果較好。