基于一種混合智能算法的有限元模型修正多解問題

康俊濤， 張亞州， 秦世強

(武漢理工大學 土木工程與建筑學院， 武漢 430070)

橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測需要對結(jié)構(gòu)響應進行實時監(jiān)測分析，并通過對比基準有限元模型計算響應與結(jié)構(gòu)的實際響應來分析構(gòu)件損傷位置及損傷程度，及時進行預警[1].然而，由于建模時的簡化、結(jié)構(gòu)尺寸的變異、材料性能的不確定性等，按照設計圖紙建造的初始有限元模型與結(jié)構(gòu)實際情況存在一定的差異，并不能作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的基準模型[2].利用結(jié)構(gòu)實測信息可以提高有限元模型對實際結(jié)構(gòu)的模擬精度.通過改變初始有限元模型中的結(jié)構(gòu)設計參數(shù)(如材料彈性模量、支座約束等)以達到有限元模型計算響應與結(jié)構(gòu)的實際響應相符合的目的，該技術稱為有限元模型修正技術[3].

有限元模型修正[4]通過以下分析過程來實現(xiàn)：首先對實際結(jié)構(gòu)進行靜動力測試，并根據(jù)測試信號分析出結(jié)構(gòu)的靜動力特性(如結(jié)構(gòu)頻率、模態(tài)振型等)；其次對按照圖紙建造的初始有限元模型進行分析，得出模型靜動力特性；然后利用結(jié)構(gòu)實測特性與模型計算特性之間的誤差構(gòu)建目標函數(shù)；最后通過最優(yōu)化方法尋找目標函數(shù)的最小值來完成有限元模型修正.

有限模型修正研究較廣，傳統(tǒng)的有限元模型修正僅提供一個使得目標函數(shù)取得最小值的修正結(jié)果[5].然而一些學者指出，由于結(jié)構(gòu)的復雜性、測試信息的不完備、測試噪聲等原因，用于構(gòu)建目標函數(shù)的結(jié)構(gòu)特性并不一定能完全代表結(jié)構(gòu)的實際特性，從而導致目標函數(shù)的最小值所對應的修正結(jié)果并不一定能代表結(jié)構(gòu)的實際情況，一些局部最優(yōu)解可能更好地代表結(jié)構(gòu)實際情況[6-7].因此，由傳統(tǒng)的僅提供一個有限元模型修正結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)樘峁┒鄠€修正結(jié)果，然后讓決策者根據(jù)經(jīng)驗和現(xiàn)場實際情況來確定最終采用的修正結(jié)果顯得更為合理[8].

為提供多個修正結(jié)果，學者們主要采取了以下幾種方法：全局優(yōu)化算法[9-10](Global Optimization Algorithms，GOAs)，小生境技術[11](Sequential Niche Technique，SNT)和多模型建模[6](Modeling to Generate Alternatives，MGA).GOAs通過對整個可行域進行系統(tǒng)地搜索來獲取全局最優(yōu)和一些局部最優(yōu)值.GOAs在模型修正領域應用較廣，但大部分研究集中在尋找全局最優(yōu)，而丟棄局部最優(yōu)，且對局部最優(yōu)的質(zhì)量不予評價.SNT需要和其他優(yōu)化算法配合使用.每次尋優(yōu)需要運行一次優(yōu)化算法，并記錄尋找到的最優(yōu)解及其所處區(qū)域，在下一次尋優(yōu)時排除此前記錄的尋找到極值的區(qū)域，在剩余區(qū)域內(nèi)再次進行尋優(yōu).SNT算法對參數(shù)空間的搜索更加詳盡和科學，每次在更小的參數(shù)空間進行尋優(yōu)提高了優(yōu)化算法的尋優(yōu)精度，但與SNT配合使用的優(yōu)化算法多為進化算法，每尋找一個局部最優(yōu)值都需要多次迭代，因此完成整個尋優(yōu)過程需要花費大量時間.MGA方法旨在提供多個修正結(jié)果，這些結(jié)果具有相近的目標函數(shù)值，但是自變量的值卻相差較大.在模型修正領域，多位學者[6-7]采用MGA方法提供了多個修正結(jié)果.MGA通過參數(shù)及選擇策略的設置可以極大地提高優(yōu)化速度，但同時解的精度會有所損失.

綜上所述，為提供多個模型優(yōu)化結(jié)果，本文將尋優(yōu)速度快的穩(wěn)態(tài)遺傳算法(Steady-State Genetic Algorithm，SSGA)和尋優(yōu)精度高的梯度下降(Gradient Descent，GD)算法相結(jié)合，提出了一種混合智能算法，該算法在保證優(yōu)化速度的同時，提高了優(yōu)化精度.最后分別采用數(shù)值函數(shù)和ASCE-Benchmark數(shù)值結(jié)構(gòu)模型對所提混合智能算法性能進行了驗證.

1 有限元模型修正及多解問題

有限元模型修正屬于逆問題，即根據(jù)響應輸出來推測系統(tǒng)屬性.用數(shù)學語言可以將其描述為

X=f-1(Y)

(1)

式中：X為結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸入；Y為結(jié)構(gòu)響應；f為結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)屬性.有限元模型修正的過程可以描述為：通過改變結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)屬性f(如材料彈性模量、支座剛度等)來減小結(jié)構(gòu)實際響應與有限元(FE)模型計算響應之間的誤差，即

changef→min|YRE-YFE|

(2)

式中：YRE為結(jié)構(gòu)實際響應；YFE為有限元計算響應.

如圖1所示，同一個結(jié)構(gòu)的實際響應是一定的，但是由于結(jié)構(gòu)測試時傳感器擺放位置不同，測試信號的處理方式不同，構(gòu)建目標函數(shù)時采取的模態(tài)階次不同等，用于模型修正的響應Y可能會有區(qū)別，從而導致修正結(jié)果即系統(tǒng)屬性f的不同.

圖1 模型修正中多解問題的產(chǎn)生示意圖

如圖2所示，采用5階模態(tài)頻率及振型所構(gòu)建的目標函數(shù)在A處有更低的目標函數(shù)值，但是B處的目標函數(shù)值與A處目標函數(shù)值非常接近.然而如果在目標函數(shù)中增加第6階模態(tài)信息，那么目標函數(shù)值會發(fā)生變化，B處所對應的目標函數(shù)值可能會比A處更低.

圖2 目標函數(shù)

有學者[12-13]指出，由于目標函數(shù)中不可能包含所有的結(jié)構(gòu)信息，所以有可能造成真實結(jié)構(gòu)損傷所對應的目標函數(shù)值比全局最優(yōu)目標函數(shù)值大的現(xiàn)象.而傳統(tǒng)的有限元模型修正只提供一個最優(yōu)修正結(jié)果，這可能會漏掉能夠代表結(jié)構(gòu)真實情況的修正結(jié)果.因此，在尋找全局最優(yōu)解的同時，也尋找到在目標函數(shù)值上與全局最優(yōu)解目標函數(shù)值相接近，但是在自變量上相距較遠的局部最優(yōu)解，這樣顯得更為合理.

2 基本算法介紹

2.1 穩(wěn)態(tài)遺傳算法

穩(wěn)態(tài)遺傳算法最先由Syswerda[14]提出，Caicedo等[6]對其進行了改進，提出了高效率的穩(wěn)態(tài)遺傳算法，所提算法以遺傳算法為基礎，同時增加了MGA解及其伴侶解的選擇過程，并且后續(xù)的交叉、變異也僅在MGA解及其伴侶解之間進行.文獻[6]將MGA解定義為在目標函數(shù)值上相近，但在自變量上具有一定距離的解.最終的模型修正結(jié)果即是MGA解集內(nèi)的元素.MGA解的伴侶解被定義為在目標函數(shù)值上與MGA解相近，且在自變量上與MGA解相接近的一個解.在判定兩個解的距離遠近時，作者采用了兩個解與某一定點所形成的夾角的大小.

在每輪迭代更新中，只有部分子代取代父代，因此只需計算新個體的目標函數(shù)值即可.對于復雜模型的修正，在優(yōu)化過程中最為耗時的就是計算個體的目標函數(shù)值，因此，穩(wěn)態(tài)遺傳算法的最大特點就是優(yōu)化速度快.

由于穩(wěn)態(tài)遺傳算法設置為每輪迭代由部分更優(yōu)的子代取代較差的父代，所以在迭代后期會出現(xiàn)目標函數(shù)值更優(yōu)的子代取代較差父代MGA解的情況，最終導致MGA解只剩下最優(yōu)的一個值.為了保證MGA解的個數(shù)，穩(wěn)態(tài)遺傳算法選擇在MGA解有多個的時候終止迭代，導致最終解的精度不高.

2.2 梯度下降算法

梯度下降算法利用個體所處位置的梯度，也即最速下降方向進行優(yōu)化.由于只利用個體所處位置信息進行尋優(yōu)，因此梯度下降算法具有很快的尋優(yōu)速度，且具有易于實現(xiàn)的特點.

梯度下降算法中采用下式進行迭代更新解的位置：

(3)

由于梯度下降算法中個體只感知周圍很小一個區(qū)域的梯度信息，所以梯度下降算法很容易陷于局部最優(yōu)，且個體的最終優(yōu)化結(jié)果與其初始位置密切相關，即使初始位置相近的兩個個體，最終也可能優(yōu)化出兩個完全不同的結(jié)果.

3 基于SSGA和GD的混合智能算法

3.1 算法思想

混合智能算法(SSGA-GD)將SSGA和GD算法相結(jié)合，分別利用各自算法的優(yōu)點.在算法前期利用SSGA搜索速度快和搜索域廣的優(yōu)點，當個體不再進化或者進化速度慢時，讓個體進入GD算法，利用GD算法局部搜索速度快和搜索精度高的特點來提高MGA解的精度.在GD算法中，個體的初始位置也即是MGA解的位置，因此解決了GD算法對初始位置敏感的問題.

3.2 算法流程

本文所提算法流程如圖3所示，具體步驟如下.

步驟1在自變量的定義域內(nèi)初始化種群.SSGA每次迭代只計算很少一部分個體的目標函數(shù)值，因此種群中個體數(shù)量的增加并不會顯著增加計算量，但是較多的個體數(shù)量會增加尋找到最優(yōu)值的概率.

步驟2計算每個個體的目標函數(shù)值，并據(jù)此將所有個體進行排序.

步驟3排序后的種群中，第一個個體自動選為MGA解，剩余個體按照順序計算是否滿足以下兩個條件，滿足則選為MGA解，否則忽略.

條件1該個體與MGA解集中所有元素形成的夾角θ大于設定值，如圖4所示.

圖3 混合智能算法計算流程

圖4 角度控制示意圖

即需要滿足：

(4)

式中：θ1和θ2分別為該個體與已有MGA解形成的夾角；α為設定的夾角控制值.

條件2該個體與最優(yōu)MGA解的目標函數(shù)值之比小于設定值：

(5)

式中：J1為最優(yōu)MGA解對應的目標函數(shù)值；Ji為該個體的目標函數(shù)值；β為設定的目標函數(shù)控制值.

步驟4判斷是否進入GD程序，如果進入則將所有的MGA解分別作為一個初始位置進行梯度尋優(yōu).否則進入下一步驟.本文設置個體是否進入GD的判定準則為：在最近的5次迭代過程中MGA解的優(yōu)化程度小于一個定值(本文取定值為10-5)，此值可根據(jù)問題特點進行修改，取值越小，進入GD的概率越小，反之則越大.

步驟5尋找每個MGA解的伴侶解，伴侶解需要滿足以下兩個條件：

條件1MGA解與其伴侶解之間的夾角θc小于設定值α，即

θc<α

(6)

條件2MGA解與其伴侶解目標函數(shù)值之間比值大于設定值，即

(7)

式中：Ji為該MGA解對應的目標函數(shù)值；Ji c為該MGA解對應伴侶解的目標函數(shù)值；β為設定的目標函數(shù)控制值.

步驟6MGA解與其伴侶解之間進行交叉，產(chǎn)生的新個體進行變異，并計算新個體的目標函數(shù)值.

步驟7根據(jù)新個體的目標函數(shù)值，采用輪盤賭策略以一定的概率用新產(chǎn)生的子代個體替換父代個體.

步驟8判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則結(jié)束，輸出MGA解集，否則進入步驟3.本文設置迭代終止條件為迭代次數(shù)達到上限.

3.3 數(shù)值算例

采用 Rastrigin’s Path函數(shù)測試算法尋找多個極值的能力以及在尋優(yōu)精度上的表現(xiàn)，函數(shù)如下：

(8)

式中：n為問題的維度；Xi為問題的自變量.

Rastrigin’s Path函數(shù)圖像如圖5所示.參數(shù)每個維度的定義域均為[-1,1]，在定義域內(nèi)，函數(shù)共有4個峰值，分別位于(0.502 6,0.502 6), (-0.502 6, -0.502 6), (-0.502 6,0.502 6), (0.502 6,-0.502 6) 附近，且4個峰值的目標函數(shù)值相同.

圖5 Rastrigin’s Path函數(shù)圖像

采用SSGA-GD進行多解尋優(yōu)，同時將SSGA作為對比算法驗證算法性能.兩種算法的基本參數(shù)設定相同，不同之處在于SSGA-GD在進化過程中MGA解增加了梯度尋優(yōu)的過程.參數(shù)設置如表1所示.表中α和β的取值可根據(jù)問題的特點進行改變，cosα取值越大，最終修正結(jié)果的數(shù)量越多；β取值越小，最終修正結(jié)果的數(shù)量越多，但排序靠后的MGA解的質(zhì)量也越差.

由于4個極值對稱分布，且目標函數(shù)值相同，將每輪迭代過程中算法尋找到的4個MGA解的目標函數(shù)值的平均值作圖，結(jié)果如圖6所示.可以看出，相較于穩(wěn)態(tài)遺傳算法，改進的算法具有更快的優(yōu)化速度，并且在精度上也有明顯的提升.表2為最后的優(yōu)化結(jié)果，可以看出，在計算時間僅增加0.13%的情況下，改進算法尋找到的4個極值均具有更高的精度.

表1 SSGA-GD參數(shù)設置

圖6 SSGA和SSGA-GD迭代曲線

表2 SSGA與SSGA-GD結(jié)果對比

4 有限元模型修正

4.1 ASCE-Benchmark模型

為了給不同的模型修正方法提供一個統(tǒng)一的對比和評價平臺，國際結(jié)構(gòu)控制協(xié)會(IASC)和美國土木工程協(xié)會(ASCE)于1998年在位于加拿大的英屬哥倫比亞大學(UBC)建立了ASCE-Benchmark模型[15]，如圖7所示.

圖7 ASCE-Benchmark結(jié)構(gòu)

ASCE-Benchmark模型為一鋼框架模型，建立于加拿大UBC地震工程實驗室.該結(jié)構(gòu)為4層等高、2×2等跨的鋼結(jié)構(gòu)框架，層高3.6 m，每跨2.5 m.為了能夠模擬實際情況，在第1、2、3層設置樓板，第1層樓板的質(zhì)量為4×800 kg，第2、3層板的質(zhì)量為4×600 kg，第4層樓板有對稱和非對稱兩種設置方式，質(zhì)量分別為4×400 kg和(3×400+1×550) kg.在每層中設置斜撐.結(jié)構(gòu)鋼材屈服強度為300 MPa.支撐、梁以及柱的截面尺寸及材料屬性如表3所示.

表3 ASCE-Benchmark參數(shù)

4.2 有限元模型及模態(tài)試驗

根據(jù)ASCE-Benchmark模型[16]建立的有限元模型共含有36個節(jié)點和116個單元，每個節(jié)點有3個獨立的自由度Dx，Dy，Rz，每層樓板有共同的Dx，Dy，Rz3個自由度，共120個自由度.其中，梁和柱采用歐拉-伯努利梁單元進行模擬，斜撐采用拉壓桿單元進行模擬.

圖8 ASCE-Benchmark結(jié)構(gòu)的有限元模型及損傷位置示意圖

圖9 模態(tài)識別穩(wěn)態(tài)圖

本文設置的損傷形式如圖8所示.選取120個自由度非對稱結(jié)構(gòu)有限元模型，為便于得到可視化結(jié)果，共選取兩組參數(shù)進行修正，桿件53、54的彈性模量為變量X1，桿件33、57、58的彈性模量為變量X2，設置損傷工況為X1彈性模量損傷為初始彈性模量的30%，X2為初始彈性模量的90%.

利用有限元程序計算結(jié)構(gòu)在設定損傷工況下的瞬態(tài)響應，記錄每層的x、y兩個方向的加速度響應.對得到的響應數(shù)據(jù)利用隨機子空間法(Stochastic Subspace Identification, SSI)[17]進行模態(tài)識別，并利用穩(wěn)態(tài)圖(見圖9)輔助確定模態(tài)階次，識別結(jié)果如表4所示(ft為頻率識別值).頻率、阻尼比和振型的穩(wěn)定準則分別為相鄰兩階的誤差不超過兩者中最小值的1%、5%和1%.

表4 SSI頻率識別結(jié)果

4.3 ASCE-Benchmark有限元模型修正

根據(jù)識別結(jié)果和模型計算之間的誤差構(gòu)建目標函數(shù).選取前5階模態(tài)的自然頻率和前4階的模態(tài)振型和作為修正目標，構(gòu)建目標函數(shù)

(9)

式中：fai為有限元模型分析得到的第i階頻率；fti為損傷模型隨機子空間法識別出的頻率結(jié)果；MACj為第j階模態(tài)置信準則，

(10)

式中：φi和φj分別表示需要對比的兩個陣型.MAC結(jié)果范圍為[0 1]，越接近1，則說明兩者越有可能是同一階模態(tài).

目標函數(shù)的圖像如圖10所示.從圖像中可以看出，目標函數(shù)在(0.3,0.9)和(0.9,0.3)附近均有一個極值.

圖10 目標函數(shù)圖像

圖11 SSGA和SSGA-GD迭代曲線

4.4 尋優(yōu)結(jié)果及分析

分別采用SSGA和SSGA-GD對目標函數(shù)進行優(yōu)化，算法中參數(shù)設置情況同上算例.將每輪迭代中前兩個個體的目標函數(shù)值取平均，然后作圖11，從圖中可以看出，SSGA-GD優(yōu)化速度明顯優(yōu)于SSGA.優(yōu)化結(jié)果如表5和6所示.表6中誤差的計算公式如下：

(11)

式中：E為誤差；f為初始有限元模型的頻率(fini)或修正后模型的頻率(fup)；fid為識別的頻率.

可以看出兩種算法計算時間相差不大，且均尋找到了定義域內(nèi)的兩個極值.從圖11、表5及表6中均可看出，SSGA-GD的尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于SSGA.從表6中可以看出， 初始有限元模型與實測結(jié)果有較大誤差，頻率最大差值達到9.15%.經(jīng)過兩種算法修正后誤差均有減小，且SSGA-GD的修正精度優(yōu)于SSGA的修正精度.SSGA-GD中，修正結(jié)果1與識別結(jié)果之間的最大誤差僅為0.09%，其中多階修正結(jié)果與實測結(jié)果相同，修正結(jié)果2與實測結(jié)果最大誤差也僅為0.28%， 可以看出兩個修正結(jié)果均具有較高的精度.

表5 SSGA和SSGA-GD結(jié)果對比

表6 有限元模型修正前后頻率對比

5 結(jié)論

本文分析了有限元模型中的多解問題，并且為了尋找到全局最優(yōu)以及質(zhì)量較好的局部最優(yōu)，將尋優(yōu)速度快但精度低的穩(wěn)態(tài)遺傳算法與尋優(yōu)精度高但受初始位置影響大的梯度下降算法相結(jié)合，分別利用兩種算法的優(yōu)點，提出了一種尋優(yōu)速度快、精度高的混合智能算法.采用數(shù)值算例和ASCE-Benchmark模型修正過程測試了所提算法尋找多個解的能力，同時將穩(wěn)態(tài)遺傳算法作為對比算法，測試改進前后算法多解尋優(yōu)能力及計算效率.

(1) 數(shù)值算例尋優(yōu)結(jié)果表明，所提混合智能算法能尋找到自變量定義域內(nèi)的多個極值，且相比于穩(wěn)態(tài)遺傳算法，改進的算法具有更高的尋優(yōu)精度.

(2) 在有限元模型過程中，所提算法修正能準確找到定義域內(nèi)的兩個極值，且相對穩(wěn)態(tài)遺傳算法均具有更高的精度，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)頻率誤差最大值從9.15%分別下降到0.09%和0.28%，表明兩個尋優(yōu)結(jié)果均具有較高的精度.多個質(zhì)量較優(yōu)的修正結(jié)果可以為決策者提供更多的選擇.