面向應(yīng)用型本科的“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)改革研究

都娥娥，圣文順

（南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院，江蘇南京 211200）

0 引言

“離散數(shù)學(xué)”（又稱計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)理論的基礎(chǔ)，作為應(yīng)用型本科計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程之一的“離散數(shù)學(xué)”正變得日益重要。它是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互之間的關(guān)系為主要目標(biāo)［1］，在計(jì)算機(jī)理論研究及軟、硬件開發(fā)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。“離散數(shù)學(xué)”也是計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)原理、算法分析、邏輯設(shè)計(jì)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、容錯(cuò)技術(shù)、人工智能等許多課程的先導(dǎo)課程［2］。

對(duì)于面向應(yīng)用型本科的高校而言，在學(xué)生的培養(yǎng)上，立足于培養(yǎng)信息技術(shù)與應(yīng)用實(shí)踐相結(jié)合的特色型社會(huì)人才，注重能力與素質(zhì)并重，滿足社會(huì)各界對(duì)高質(zhì)量應(yīng)用型人才的需求。但是通過實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐及效果來看，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)中存在一些問題，與學(xué)校定位的培養(yǎng)方向產(chǎn)生部分背離，尤其是一些理論性很強(qiáng)的學(xué)科，比如“離散數(shù)學(xué)”，在學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)點(diǎn)抽象，學(xué)生感覺理解較為困難，進(jìn)而缺乏興趣。

本文將以“離散數(shù)學(xué)”中的部分內(nèi)容為例，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、實(shí)踐設(shè)計(jì)等方面進(jìn)行探討，將教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，使用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)來解決日常生活中的問題，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高學(xué)習(xí)興趣。

1 “離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中存在的問題

1.1 教學(xué)模式的限制

在正常的教學(xué)中，“離散數(shù)學(xué)”一般的教學(xué)時(shí)長(zhǎng)都是48～64課時(shí)，但是其涵蓋面較廣，正常都包含數(shù)理邏輯、集合論、圖論、代數(shù)結(jié)構(gòu)幾大模塊，有的教材還增加有組合數(shù)學(xué)和形式語言與自動(dòng)機(jī)等的相關(guān)知識(shí)，因此這門課的典型特點(diǎn)就是概念/定理多、內(nèi)容瑣碎、知識(shí)點(diǎn)抽象。就以“圖論”的相關(guān)知識(shí)來說，作為“離散數(shù)學(xué)”課程中的重要知識(shí)模塊之一，內(nèi)容十分豐富，在整個(gè)“離散數(shù)學(xué)”中所占比重最大（如圖1所示）。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅速發(fā)展，圖論在許多學(xué)科的應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，諸如運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、計(jì)算機(jī)科學(xué)等，都是以圖作為工具來解決實(shí)際問題和理論問題［3］，因此，學(xué)好圖論知識(shí)并能靈活運(yùn)用就顯得至關(guān)重要。

圖1 “離散數(shù)學(xué)”各知識(shí)模塊課時(shí)比例

目前，在“離散數(shù)學(xué)”這門課程的授課中，大部分教學(xué)均采用傳統(tǒng)的授課模式進(jìn)行教學(xué)，即按照數(shù)學(xué)的教學(xué)方式進(jìn)行講解，把一個(gè)個(gè)概念、定理和證明非常生硬地講給學(xué)生，這對(duì)學(xué)生來說聽起來覺得枯燥無味，理解上難度大，學(xué)起來不明白它到底在計(jì)算機(jī)科學(xué)和實(shí)際的生活中有什么用處。例如，在教學(xué)中占據(jù)比重最大的“圖論”內(nèi)容［4］，圖的分類較多，各個(gè)圖的概念定理都較為抽象，不同的圖有不同的判斷定理，有的使用充分必要條件判斷，而有的只能使用必要條件的逆否命題判斷，有的又要使用充分條件來判定，判定方法多而抽象。在這種情況下，由于知識(shí)點(diǎn)多，迫于進(jìn)度，教師只能按照課本進(jìn)行定義和定理的講解和證明，這種典型的照本宣科的教學(xué)方式，授課速度太快，學(xué)生無法跟上老師的教學(xué)思路，更加大了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解難度，使其教學(xué)效果大打折扣。

1.2 教學(xué)缺乏實(shí)踐設(shè)計(jì)

對(duì)于應(yīng)用型本科而言，學(xué)生大多時(shí)候關(guān)注的是如何將學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用，如何提高自己的動(dòng)手能力，才能在畢業(yè)找工作時(shí)對(duì)自己有所幫助。而傳統(tǒng)的“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計(jì)上只有理論教學(xué)，無實(shí)踐環(huán)節(jié)，由于不需要做上機(jī)實(shí)驗(yàn)，因而經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己除了知道一些知識(shí)點(diǎn)和概念外，所學(xué)的知識(shí)在實(shí)際生活中并沒有得到應(yīng)用，而且也不知道如何使用這些知識(shí)，進(jìn)而在真正遇到需要用“離散數(shù)學(xué)”的知識(shí)點(diǎn)來解決實(shí)際問題的時(shí)候，不能活學(xué)活用，在解決問題能力上也比較欠缺，同時(shí)對(duì)后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)也不能起到良好的鋪墊作用。

像“離散數(shù)學(xué)”這種典型的純理論、缺乏實(shí)踐、考研又不是必考科目的課程，只能使學(xué)生的學(xué)習(xí)停留在枯燥的理論層面，對(duì)未來要從事信息化建設(shè)類工作的學(xué)生來說，無法將所學(xué)的知識(shí)與計(jì)算機(jī)軟件設(shè)計(jì)、編程等相關(guān)能力結(jié)合起來［5］，總覺得不如去寫段代碼、組件一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)來的實(shí)用。這門課程也常常因?yàn)檫@些情況，無法讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣而去主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，長(zhǎng)此以往，就會(huì)形成學(xué)“離散數(shù)學(xué)”沒什么用，只求考試通過的學(xué)習(xí)風(fēng)氣，進(jìn)而漸漸地不被同學(xué)重視。

針對(duì)上述問題，本文從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、實(shí)踐環(huán)節(jié)等幾個(gè)方面做了教學(xué)改革的嘗試和研究。

2 “離散數(shù)學(xué)”教學(xué)改革研究

2.1 教學(xué)內(nèi)容的刪減

由于“離散數(shù)學(xué)”內(nèi)容較多，就如目前我們專業(yè)選擇的教材除了傳統(tǒng)的幾大知識(shí)模塊外，還增加了“組合數(shù)學(xué)”和“形式語言與自動(dòng)機(jī)”等方面的內(nèi)容，所以在實(shí)際授課時(shí)候，可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的刪減。如“形式語言與自動(dòng)機(jī)”的相關(guān)知識(shí)目前對(duì)于學(xué)生用處不是很大，可以不列入教學(xué)計(jì)劃，“組合數(shù)學(xué)”相關(guān)內(nèi)容因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)編碼、算法設(shè)計(jì)及密碼學(xué)方面有較大的用處，可以列入教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行講授。而且需要根據(jù)各個(gè)知識(shí)模塊在實(shí)際應(yīng)用中所占的比重，加大比重較大的知識(shí)點(diǎn)的課時(shí)數(shù)，如“圖論”部分。對(duì)于集合部分，因?yàn)閷W(xué)生以前或多或少接觸過相關(guān)知識(shí)，所以在授課時(shí)候，集合的基本概念和運(yùn)算方面可以加快點(diǎn)進(jìn)度，在關(guān)系、函數(shù)的復(fù)合及反函數(shù)等章節(jié)可以多舉例子進(jìn)行講解，加深理解。

2.2 教學(xué)方法的改進(jìn)

“離散數(shù)學(xué)”這門課傳統(tǒng)的教學(xué)方法較為古板，教師大部分照本宣科，無法引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，如何在教學(xué)方法上進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)，提起學(xué)生對(duì)這門課的興趣顯得至關(guān)重要，提起學(xué)習(xí)興趣后再進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的講解，這樣所取得的效果會(huì)好很多。本文以“圖論”部分的內(nèi)容為例來從以下兩個(gè)方面探討教學(xué)方法的改進(jìn)。

2.2.1 趣味入題

在進(jìn)行新的知識(shí)點(diǎn)講授的時(shí)候，盡量以一些有趣的話題來引入所講的內(nèi)容，首先引起學(xué)生的注意，讓學(xué)生不再感覺到這門課是枯燥乏味的，調(diào)動(dòng)其積極性。

例如，在講“圖論”知識(shí)的時(shí)候，可以先向?qū)W生講述圖論的起源：18世紀(jì)中葉在歐洲普魯士的哥尼斯堡城內(nèi)有一條河，河中有兩個(gè)小島，由七座橋相連接。當(dāng)時(shí)人們熱衷于一個(gè)難題：一個(gè)人怎樣不重復(fù)地走完這七座橋？這就是著名的哥尼斯堡七橋問題。當(dāng)時(shí)很長(zhǎng)時(shí)間沒人能解決這一問題，直到1736年，歐拉發(fā)表了第一篇關(guān)于圖論的論文，將該題轉(zhuǎn)化為圖論問題才得以解決［3］。以這樣的趣味性問題入題，進(jìn)而引申出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，能夠使學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容留下深刻的印象，也可以提起對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

2.2.2 結(jié)合實(shí)際講授知識(shí)點(diǎn)

在授課過程中，為了加深學(xué)生對(duì)抽象的知識(shí)點(diǎn)的理解，盡量將該知識(shí)點(diǎn)和實(shí)際中的例子結(jié)合起來，讓同學(xué)了解到在遇到不同的問題時(shí)使用哪些知識(shí)點(diǎn)來解決。

例如，在講“圖論”中的哈密頓圖［6］時(shí)候，由于哈密頓圖的特殊性，至今沒有一個(gè)較好的定理或者方法來判定，都是結(jié)合各種必要條件、充分條件進(jìn)行判斷。定理多，每種判斷方法都存在局限性，使學(xué)生無法理解哈密頓圖到底有何使用。這時(shí)候可以列舉一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的例子，來加深學(xué)生的理解和了解哈密頓圖的用法。如：某次國(guó)際會(huì)議8人參加，已知每人至少與其余7人中的4人有共同語言，問服務(wù)員能否將他們安排在同一張圓桌就座，使得每個(gè)人都能與兩邊的人交談？這個(gè)例子就可以使用到哈密頓的知識(shí)點(diǎn)來解答，可以將參加與會(huì)的人員看成圖的8個(gè)頂點(diǎn)，如果兩個(gè)人有共同語言，就給他們之間畫一條邊進(jìn)行關(guān)聯(lián)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圖論問題。由于每個(gè)人都可以和其他7個(gè)人中的4個(gè)人有共同語言，所以每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)至少為4，根據(jù)判斷哈密頓圖的充分條件知道，兩個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)之和大于實(shí)際頂點(diǎn)數(shù)，則是哈密頓圖［3］，所以該題肯定存在一條哈密頓回路，服務(wù)員只需要在該圖中找一條哈密頓回路，然后按回路中相鄰關(guān)系安排座位即可解決此題。

上述例子在現(xiàn)實(shí)生活中是極可能存在的推理問題，對(duì)這類題感興趣的同學(xué)肯定很多，這時(shí)借助所學(xué)知識(shí)就能很簡(jiǎn)單地解決實(shí)際中的復(fù)雜問題，以這樣的方式進(jìn)行內(nèi)容講解，既不會(huì)讓學(xué)生感覺到枯燥乏味，還能引起學(xué)生的興趣，提高同學(xué)解決實(shí)際問題的能力。

2.3 增加實(shí)踐環(huán)節(jié)

前面闡述了對(duì)于應(yīng)用型本科生而言，最主要的是實(shí)際動(dòng)手能力，而要提高動(dòng)手能力，實(shí)踐環(huán)節(jié)必不可少。但是傳統(tǒng)的“離散數(shù)學(xué)”課程無實(shí)踐環(huán)節(jié)，只說離散數(shù)字在計(jì)算機(jī)中應(yīng)用廣泛，學(xué)生無法理解如何使用“離散數(shù)學(xué)”的知識(shí)去解決與計(jì)算機(jī)相關(guān)的問題。為了解決這一問題，本文提出在正常的教學(xué)中，增加一些實(shí)踐內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和鞏固，同時(shí)也可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力。

例如，在講“圖論”中的最短路徑問題時(shí)，使用到了著名的算法——Dijkstra算法，教材上已經(jīng)給出了該算法的具體步驟。在教學(xué)中，可以將該算法列入實(shí)踐內(nèi)容，讓學(xué)生用自己熟悉的語言，編寫出該算法的相應(yīng)代碼，給定一個(gè)特定的圖，規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)，調(diào)用自己編寫的算法函數(shù)，求出最短路徑。然后用數(shù)學(xué)上的方法，手動(dòng)繪制該圖的最短路徑計(jì)算過程圖表，最后也會(huì)確定一條路徑，去驗(yàn)證是否和程序運(yùn)行的結(jié)果一致。

通過對(duì)類似的內(nèi)容增加實(shí)踐環(huán)節(jié)，不但加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，而且使學(xué)生的編程能力得到了鍛煉，也使學(xué)生對(duì)自己產(chǎn)生很大的自信，能運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的編程語言和“離散數(shù)學(xué)”的知識(shí)，編寫出小的應(yīng)用程序，解決一些算法問題，進(jìn)而對(duì)學(xué)習(xí)也產(chǎn)生濃厚的興趣。

3 結(jié)語

“離散數(shù)學(xué)”作為計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的支撐學(xué)科之一，正變得日益重要，在計(jì)算機(jī)的各個(gè)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，同時(shí)它又可以提高學(xué)生的思維能力，使其在解決計(jì)算機(jī)問題時(shí)候激發(fā)一些設(shè)計(jì)思想。通過對(duì)“離散數(shù)學(xué)”課程進(jìn)行一系列的教學(xué)改革實(shí)踐后，上述教學(xué)改革措施非常有效，大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將理論與實(shí)踐相結(jié)合，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，也提高了學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，取得了較好的教學(xué)效果。