流體黏性對受迫振蕩水平圓柱受力的影響

袁劍平，毛鴻飛，赫巖莉，潘新祥，賈寶柱

流體黏性對受迫振蕩水平圓柱受力的影響

袁劍平1，毛鴻飛1，赫巖莉1，潘新祥2，賈寶柱2

（1. 廣東海洋大學(xué)海洋工程學(xué)院，廣東 湛江 524088；2. 廣東海洋大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，廣東 湛江 524088）

【目的】準(zhǔn)確預(yù)測顯著黏性效應(yīng)下結(jié)構(gòu)物所受流體作用力?！痉椒ā坎捎糜邢摅w積（FVM）方法構(gòu)建兩相流數(shù)值波浪水槽模型。首先，通過半潛水平圓柱受波浪力數(shù)值結(jié)果與前人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比，驗(yàn)證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性。其次，對不同流體黏性下，受迫振蕩淹沒水平圓柱上的流體作用力進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過黏性流結(jié)果和勢流結(jié)果的對比，分析流體黏性對圓柱受力的影響特征。最后，通過將黏性流和勢流理論壓力結(jié)果對比，并結(jié)合對圓柱周圍黏性渦量場分布特征分析，解釋不同流體黏性下，黏性流與勢流結(jié)果之間出現(xiàn)差異的原因?！窘Y(jié)果】在不同流體黏性條件下，圓柱所受各倍頻流體作用力均出現(xiàn)一定程度上的差別，表明流體黏性的影響明顯。【結(jié)論】相比勢流理論，采用黏性流理論對受迫振蕩水平圓柱受力的影響的研究更為準(zhǔn)確。

圓柱；受迫振蕩；流體作用力；數(shù)值模擬；波浪水槽

在流體與結(jié)構(gòu)相互作用的流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究中，近自由面淹沒水平圓柱在水中受迫振蕩問題受到了關(guān)注和研究?；趧萘骼碚撜归_的相關(guān)研究為了簡化計(jì)算，將結(jié)構(gòu)物上的流體作用力分解為固定物體上的波浪繞射力和振蕩運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)物上的輻射力。Wu[1]基于勢流理論，考慮線性自由面條件，對近水面淹沒水平圓柱受迫振蕩受力問題進(jìn)行了理論解析，并將圓柱受力分解到了不同倍頻上。Tyvand等[2]基于勢流理論，考慮線性自由面條件，對近水面水平圓柱初始入水沖擊問題進(jìn)行了理論解析，分析了圓柱受力特征和自由面波動(dòng)特征。上述基于勢流理論的研究僅考慮線性自由面條件，考慮非線性自由面條件的相關(guān)研究也相繼開展。Wu等[3]、Liu等[4]分別基于勢流理論，考慮非線性自由面條件，對近自由面淹沒水平圓柱受迫振蕩問題進(jìn)行了計(jì)算，考察了輻射波浪分布情況，分析了輻射波的非線性。Kent等[5]基于勢流理論，考慮了非線性自由面條件，對淹沒水平圓柱垂向受迫振蕩的受力問題進(jìn)行了數(shù)值研究，發(fā)現(xiàn)對于三倍頻垂向力，其結(jié)果區(qū)別于Wu[1]的解析結(jié)果。Guerber等[6-7]基于勢流理論建立了二維非線性數(shù)值水槽模型，并對淹沒水平圓柱受迫振蕩受力問題進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算研究，研究發(fā)現(xiàn)非線性自由面條件對二倍頻力有影響。

由于上述研究基于勢流理論忽略了流體黏性，無法對圓柱受力給出真實(shí)準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果；而僅考慮線性自由面條件也顯然把問題理想化。因此，本研究有必要使用基于黏性流理論對淹沒水平圓柱受迫振蕩受力問題開展研究。本研究在Teng等[8-9]和毛鴻飛等[10-11]分別對波浪作用于淹沒圓柱結(jié)構(gòu)物和波浪對近水面結(jié)構(gòu)物沖擊作用問題研究的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，采用基于黏性流理論建立的數(shù)值波浪水槽模型開展計(jì)算研究，模型的基本控制方程為Navier-Stokes方程，方程的數(shù)值離散采用有限體積方法，自由面捕捉采用流體體積函數(shù)方法，數(shù)值造波和消波采用松弛區(qū)和速度邊界結(jié)合方法，同時(shí)可以滿足長時(shí)間計(jì)算需求。首先，對半淹沒水平圓柱上的垂向波浪力進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，與前人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比，驗(yàn)證數(shù)值模型對結(jié)構(gòu)物上流體作用力計(jì)算的準(zhǔn)確性。其次，對受迫振蕩水平圓柱受力進(jìn)行計(jì)算，將流體作用力并分解至多倍頻項(xiàng)，考察其隨振幅變化的特征規(guī)律，并將多個(gè)黏性流體下的受力結(jié)果與勢流結(jié)果對比，分析黏性對各倍頻流體作用力的影響規(guī)律。最后，將基于黏性流理論和勢流理論得到圓柱上的壓力以及黏性力幅值進(jìn)行對比，結(jié)合圓柱周圍黏性渦量場分布特征的分析，解釋不同流體黏性下流體作用力差別原因。

1 數(shù)值模型

采用Navier-Stokes方程對不可壓縮黏性流體的流動(dòng)求解，其表示為：

為了精確計(jì)算湍流流動(dòng)，模型結(jié)合了RNG模型，其對流輸運(yùn)方程表示為：

式中，為湍動(dòng)能，為耗散率，1ε、2ε、σ、σ為模型常數(shù)。

對自由面的捕捉采用流體體積函數(shù)法，單元密度和黏性系數(shù)表示為：

式中，為體積分?jǐn)?shù)，氣相中= 0，液相中= 1，自由面內(nèi)= 0 ~ 1，ρ和ρ分別為液相和空氣相的密度，μ和μ分別為液相和空氣相的流體黏性系數(shù)。

為提高計(jì)算穩(wěn)定性和界面分辨率，將人工壓縮項(xiàng)引入界面方程，即

數(shù)值水槽模型采用速度邊界法造波，結(jié)合松弛方法保證波浪穩(wěn)定傳輸和消除反射，其設(shè)置如圖1所示。協(xié)助波浪生產(chǎn)、穩(wěn)定傳播和吸收從結(jié)構(gòu)物的一次反射浪的功能集成于松弛區(qū)I中，消除消波出口邊界的二次反射波的功能集成于松弛區(qū)II中。

松弛區(qū)內(nèi)，以解析形式修正數(shù)值求解，松弛修正需要借助如下松弛函數(shù)：

式中，為函數(shù)的關(guān)系函數(shù)，松弛函數(shù)的分布如圖1所示。進(jìn)而，松弛區(qū)內(nèi)的數(shù)值修正可表達(dá)為：

式中，代表需要修正的物理量，即流體速度和體積分?jǐn)?shù)，角標(biāo)、分別表示解析值、計(jì)算值、目標(biāo)值[13]。

構(gòu)建數(shù)值波浪水槽模型首先需要對水槽和結(jié)構(gòu)邊界條件進(jìn)行初始設(shè)置：將“速度邊界條件”定義為“入口邊界”，即邊界上的流體速度始終按所需波浪理論給定，初始動(dòng)態(tài)壓強(qiáng)定義為*/= 0；將“可自由進(jìn)出邊界條件”定義為“頂邊界”，即初始速度定義為?u/= 0，初始動(dòng)態(tài)壓強(qiáng)定義為*= 0；將“不可滑移邊界條件”定義為“出口邊界”、“底邊界”和“水槽中固定結(jié)構(gòu)物邊界”，即初始速度定義為u= 0，初始動(dòng)態(tài)壓強(qiáng)定義為*/= 0。

圖1 邊界條件

為實(shí)現(xiàn)強(qiáng)非線性波浪生產(chǎn)和傳播功能，數(shù)值波浪水槽模型速度邊界結(jié)合了五階Stokes波浪理論控制模塊。波面形式以及水平和垂向速度表達(dá)形式分別如式（10）、（11）和（12）所示，

式中，I為松弛區(qū)I長度，為階數(shù)，=為無量綱波幅，a和b為轉(zhuǎn)化函數(shù)，為波數(shù)，為波幅，=（?I）?+為相位角，為波浪角頻率，為初相位，B為與水深和波數(shù)相關(guān)的無量綱參數(shù)，0和A為與水深和相關(guān)的無量綱參數(shù)。上述無量綱參數(shù)及相關(guān)函數(shù)具體表達(dá)式可參考Fenton五階Stokes波浪理論[14]。

通過上述數(shù)值方法獲得壓強(qiáng)和速度場分布后，結(jié)構(gòu)物上的流體作用力可通過下式進(jìn)行計(jì)算，

2 驗(yàn)證計(jì)算

2.1 計(jì)算設(shè)置

為了驗(yàn)證數(shù)值波浪水槽模型對結(jié)構(gòu)物受流體作用力計(jì)算的準(zhǔn)確性，根據(jù)Dixon等[15]的實(shí)驗(yàn)室物理模型試驗(yàn)，并參考前人[16-17]相關(guān)數(shù)值計(jì)算的設(shè)置，對半淺固定水平圓柱上垂向波浪力進(jìn)行計(jì)算和對比驗(yàn)證，本研究的驗(yàn)證計(jì)算設(shè)置示意如圖2所示。為水平圓柱半徑，設(shè)置為0.125 m；為水深，設(shè)置為1.0 m，初始時(shí)刻軸心至于靜水面處。速度邊界的造波理論采用五階Stokes波浪理論，波浪周期為1.646 s；波幅設(shè)置為0.125 m。圓柱水平位置，松弛區(qū)I和松弛區(qū)II的長度均根據(jù)入射波波長的一定比例進(jìn)行設(shè)置。

圖2 驗(yàn)證計(jì)算示意圖

2.2 波浪力驗(yàn)證對比

圖3為采用本文數(shù)值模型計(jì)算獲得的圓柱所受垂向波浪力數(shù)值結(jié)果與Dixon等[15]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比情況。圖中，無量綱垂向波浪力用z/(π2)表示，時(shí)間的無量綱形式表示為/（為入射波周期），考察一個(gè)周期內(nèi)垂向波浪力的時(shí)間歷程對比情況。通過觀察可知，本研究數(shù)值結(jié)果與前人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總體上吻合良好，這表明，該數(shù)值模型對結(jié)構(gòu)物受力計(jì)算具有良好的準(zhǔn)確性。

圖3 一個(gè)周期內(nèi)圓柱上的垂向波浪力

3 振蕩圓柱上各倍頻流體作用力

3.1 算例設(shè)置

本研究的黏性流數(shù)值計(jì)算根據(jù)Wu[1]考慮線性自由面條件的勢流理論的解析研究條件，以及Guerber等[6-7]完全非線性的勢流理論數(shù)值模擬研究條件進(jìn)行設(shè)置，計(jì)算域如圖4所示。圓柱分別在垂向方向和水平方向受迫振蕩運(yùn)動(dòng)，振蕩幅值用表示，圓柱半徑為10 cm，水深設(shè)置為4.0 m。圓柱初始淹沒深度，即圓心與靜水面距離為0.3 m，為了消除反射波的影響，將松弛區(qū)II設(shè)置在水槽兩側(cè)，長度取2.5。

圖4 計(jì)算域示意圖

3.2 不同黏性下各倍頻流體作用力對比

將本研究計(jì)算所得不同黏性下的黏性流數(shù)值結(jié)果與勢流結(jié)果進(jìn)行對比。用于對比的勢流結(jié)果包括前人考慮線性自由面條件的理論解析結(jié)果，以及本文考慮非線性自由面條件采用高階邊界元方法計(jì)算所得到的數(shù)值結(jié)果，該數(shù)值計(jì)算方法參見Zhou等[18]。

為了獲得圓柱上各頻率的流體作用力分量，將流體作用力水平和垂向方向分量按照傅里葉級(jí)數(shù)形式進(jìn)行分解，表達(dá)為：

式中，(0)為力的均值，(m)為倍頻力，(m)為倍頻分量的相位，下標(biāo)和分別表示水平和垂向方向分量?？疾旄鞅额l流體作用力隨振幅變化特征，并進(jìn)行對比。為了對比和分析黏性影響，需排除其他參數(shù)的比例影響，將各倍頻流體作用力按照無量綱形式(m)/(π22) 表示，將振幅按照無量綱形式/表示。

圖5為圓柱在振蕩方向上所受一倍頻流體作用力的對比情況。從圖中結(jié)果可見，對于小黏性工況，當(dāng)振幅較小時(shí)，黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果比較接近；而當(dāng)振幅較大時(shí)，出現(xiàn)黏性流結(jié)果逐漸小于勢流結(jié)果的現(xiàn)象，且二者差距逐漸增大。對于大黏性工況，當(dāng)振幅較小時(shí)，黏性流結(jié)果明顯大于勢流結(jié)果；當(dāng)振幅較大時(shí)，無量綱的黏性流結(jié)果隨著振幅增大出現(xiàn)先逐漸減小，而后逐漸增大的現(xiàn)象。兩種不同黏性下的黏性流結(jié)果和勢流結(jié)果之間均有明顯差別，這說明一倍頻流體作用力受到了流體黏性變化的顯著影響。此外，自由面條件不同的勢流結(jié)果非常接近，這表明線性自由面條件和非線性自由面條件對一倍頻流體作用力的影響不顯著。

圖5 振蕩方向上的一倍頻流體作用力

Fig. 5 The first harmonic components of the hydrodynamic forces in the oscillation direction

圖6為圓柱在振蕩方向上所受流體作用力的均值以及高倍頻量的對比情況。從圖中結(jié)果可見，相比之下，當(dāng)振幅較大時(shí)，小黏性工況下的黏性流結(jié)果和考慮非線性自由面條件的勢流結(jié)果總體上更為接近。大黏性工況下的黏性流結(jié)果與其他各組結(jié)果存在不同程度的差別，這表明，該情況下圓柱振蕩方向上的流體作用力均值和高倍頻量受到流體黏性變化不同程度的影響。此外，當(dāng)振幅較大時(shí)，兩組勢流結(jié)果之間也存在一定差別，其原因?yàn)樽杂擅鏃l件的不同；也正是因?yàn)槎伎紤]了非線性自由面條件，本研究小黏性工況黏性流結(jié)果與本文的勢流結(jié)果更加接近，相比前人考慮線性自由面條件的勢流結(jié)果在大振幅下有偏差。

圖6 振蕩方向上力的均值和高倍頻量

Fig. 6 The mean and the high harmonic components of the hydrodynamic forces in the oscillation direction

圖7為圓柱在水平振蕩情況下所受垂向力均值和二倍頻垂向力的對比。圖中結(jié)果可見，當(dāng)振幅較小時(shí)，不同黏性下的黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果均比較接近；而隨著振幅增大，兩次黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果之間的逐漸出現(xiàn)不同程度的差別，相比之下，大黏性工況下的黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果的差別相對更大一些。這表明，當(dāng)振幅較大時(shí)，圓柱水平振蕩情況下所受垂向力均值和二倍頻垂向力均受到流體黏性變化的顯著影響。此外，兩組勢流結(jié)果之間的差別原因仍為自由面條件不同。需要注意的是，水平振蕩情況下圓柱所受垂向力均值并不為零，這是由于該情況下輻射波并不以振蕩中心對稱。

圖7 水平振蕩下垂向力均值和二倍頻垂向力

Fig. 7 The mean vertical forces and the second harmonic components of the vertical forces

3.2 不同黏性下各倍頻流體作用力對比

為了解釋不同黏性的黏性流工況與本文考慮非線性自由面勢流工況計(jì)算所得圓柱上流體作用力之間差別原因，并揭示黏性影響機(jī)理。以圓柱水平方向受迫振蕩，不同黏性條件，/= 0.40，1.25和1.75工況為例，將流體作用力分解為壓力和黏性力，從而進(jìn)行對比，并對圓柱附近黏性渦量場分布特征進(jìn)行分析。

圖8為將圓柱所受流體作用力分解后的壓力和黏性力時(shí)間歷程對比情況。從對比結(jié)果可見，/= 0.40工況下，對于壓力，兩組黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果的幅值很接近，說明流體黏性對壓力影響不顯著。/= 1.25工況下，對于壓力，兩組黏性流結(jié)果的幅值均小于勢流結(jié)果。/= 1.75工況下，對于壓力，小黏性工況下的壓力幅值小于勢流下的壓力，而大黏性工況下的壓力幅值大于勢流下的壓力。在本文所考察的工況下，對于黏性力，小黏性工況下的黏性力遠(yuǎn)小于壓力，相比之下，大黏性工況下的黏性力對總流體作用力的貢獻(xiàn)相對較大。

圖9為水平壓力為負(fù)極值時(shí)圓柱附近黏性流渦量場。圖中，“Vorticity”為渦量，可表達(dá)為=(?????)/(/)，其中為流速大小，為圓柱直徑；“F”為慣性力，箭頭指向表示流體相對加速度的方向；“S”和“L”分別代表小黏性工況和大黏性工況，對應(yīng)的數(shù)值為無量綱振幅/值。從圖9-a和9-d可見，兩種黏性小振幅下，圓柱附近無明顯的渦旋產(chǎn)生。從圖9-b、9-c和9-e可見，隨著振幅增大，貼體渦旋出現(xiàn)圓柱加速度方向相反一側(cè)。從圖9-f可見，渦旋運(yùn)動(dòng)相比圓柱運(yùn)動(dòng)滯后性更強(qiáng)，此刻的渦旋位置發(fā)生明顯改變。同時(shí)，可以判斷，隨著振幅和黏性增大，渦旋壓力在流體作用力中的作用和占比也會(huì)發(fā)生變化。另外，需要注意的是，圓柱上下渦旋均為明顯的非對稱分布。

圖9 水平壓力為負(fù)極值時(shí)的圓柱周圍渦量場

為了更直觀說明渦旋對圓柱表面壓力的影響，將/= 0.40和1.75下，水平壓力達(dá)到負(fù)極值時(shí)圓柱表面壓強(qiáng)分布進(jìn)行對比，如圖10所示。其中，圖10-a為對圓柱表面環(huán)向角度的定義，Angel表示環(huán)向角度。從圖10-b壓強(qiáng)對比結(jié)果可見，曲線的凹陷出現(xiàn)在貼體渦旋對應(yīng)位置（圖9），且在大黏性工況下，曲線凹陷范圍較大，曲線在水平方向上的積分面積較大。這表明，在小黏性，/= 1.75工況下，由于渦旋壓強(qiáng)始終小于周圍壓強(qiáng)，則其減小了圓柱表面正壓側(cè)表面壓強(qiáng)。由于渦旋壓力的幅值相對較小，黏性流下的壓力幅值小于勢流下的壓力幅值，無量綱一倍頻力呈現(xiàn)隨振幅增大而逐漸減小的趨勢（/= 0.80 ~ 1.75）；在大黏性，/= 1.75工況下，渦旋壓力幅值相對較大，并在圓柱所受壓力占比中起主導(dǎo)作用，使黏性流下圓柱所受壓力幅值增大至大于勢流結(jié)果，因而無量綱一倍頻力呈現(xiàn)隨振幅增大而逐漸增大的趨勢（/= 1.50 ~ 1.75）。

通過上述分析可以得知，對于一倍頻流體作用力，小黏性工況，大振幅下，由于渦旋壓力的存在，圓柱所受壓力幅值相比勢流結(jié)果較小，黏性流下一倍頻力隨振幅增大逐漸小于勢流結(jié)果，二者之間差距也逐漸增大。大黏性工況，小振幅下，由于黏性力的貢獻(xiàn)相對較大，黏性流一倍頻流體作用力大于勢流結(jié)果，而隨著振幅增大，貼體渦旋由起減小圓柱所受壓力作用轉(zhuǎn)為增大壓力的作用，因而黏性流下一倍頻力無量綱結(jié)果呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。對于振蕩方向上的均值力和高倍頻力，大黏性下黏性流和勢流結(jié)果之間有明顯差別，這是因?yàn)榇藭r(shí)黏性力對流體作用力貢獻(xiàn)較大，即黏性力的均值和高倍頻分量對總的流體作用力所造成的影響。水平振蕩下的垂向力均值和二倍頻垂向力，在圓柱大幅水平振蕩情況下，受到自由面波動(dòng)的影響，圓柱上下所產(chǎn)生的渦旋為非對稱分布，導(dǎo)致了兩組黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果有不同程度的差別。

4 結(jié)論

本研究對流體黏性對自由面下受迫振蕩水平圓柱所受流體作用力特征的影響開展了黏性流數(shù)值計(jì)算研究，研究結(jié)論總結(jié)如下：

（1）對于振蕩方向上的一倍頻力，兩組黏性流結(jié)果與勢流結(jié)果均有明顯差別，其原因?yàn)榇蠓穹聹u旋的產(chǎn)生對于圓柱表面壓力造成的影響，以及大黏性工況下黏性力對流體作用力的貢獻(xiàn)較大。

（2）對于振蕩方向上力的均值和高倍頻力，大黏性工況結(jié)果與其他各組結(jié)果有明顯差別，其原因?yàn)轲ば粤Φ呢暙I(xiàn)較大，黏性力的均值和高倍頻分量對總流體作用力有影響。

（3）對于水平振蕩下的垂向力均值和二倍頻垂向力，大幅振蕩下，兩組黏性流結(jié)果均與勢流結(jié)果有差別，并且大黏性工況下差別更明顯，其原因?yàn)樵谧杂擅嬗绊懴?，圓柱上下渦旋分布不對稱對圓柱所受垂向壓力有影響。

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Viscous Effects on Hydrodynamic Forces on a Horizontal Circular Cylinder under Forced Oscillation

YUAN Jian-ping1, MAO Hong-fei1, HE Yan-li1, PAN Xin-xiang2, JIA Bao-zhu2

（1.,,524088,;2.,,524088,）

【Objective】To accurately predict the hydrodynamic force of a circular structure under viscous fluid effects.【Method】A viscous fluid numerical wave tank model was established by using the finite volume method. Firstly, the accuracy of the numerical model was validated against available experimental data for the wave forces on a semi-submerged circular cylinder. Secondly, the viscous numerical calculations for different fluid viscosities were carried out. The comparisons of the hydrodynamic forces on the circular cylinder predicted by the viscous fluid model and the potential flow model were conducted to show the viscous effects on the hydrodynamic forces.Finally, by studying the components of the pressure forces and the viscous shear forces, and by analyzing the vorticity fields around the cylinder, the reasons for the differences between the results based on the viscous fluid theory and the potential flow theory were explained.【Result】There are different degrees of differences among the harmonic components of the hydrodynamic forces on the horizontal circular cylinder under different viscosities.【Conclusion】The numerical results predicted by the viscous fluid model are more accurate than those from the potential flow models.

circular cylinder; forced oscillation; hydrodynamic forces; numerical simulation; wave tank

TV139.2+6

A

1673-9159（2020）04-0116-08

10.3969/j.issn.1673-9159.2020.04.016

2020-04-10

廣東省自然科學(xué)基金（51979045，51479017）；國家裝備預(yù)研基金項(xiàng)目（6142204190711）；國家國防科工局穩(wěn)定支持課題（JCKYS2019604SXJQR-02）；廣東省教育廳重點(diǎn)領(lǐng)域?qū)ｍ?xiàng)（2019KZDZX1024）；廣東省教育廳高校青年創(chuàng)新人才項(xiàng)目（2019KQNCX045）；廣東海洋大學(xué)科研啟動(dòng)費(fèi)項(xiàng)目（120602-R19024）；廣東省“沖一流”省財(cái)政專項(xiàng)資金建設(shè)項(xiàng)目（231419010）

袁劍平（1979－），男，碩士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)榇爸悄芸刂葡到y(tǒng)開發(fā)。E-mail: yjp_103@163.com

毛鴻飛（1985－），男，博士，講師，研究方向?yàn)椴ɡ伺c結(jié)構(gòu)物的相互作用。E-mail：maohongfei-gdou@qq.com

袁劍平，毛鴻飛，赫巖莉，等. 流體黏性對受迫振蕩水平圓柱受力的影響[J].廣東海洋大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，40（4）：116-123.

（責(zé)任編輯：劉朏）