一個(gè)算術(shù)函數(shù)及其有關(guān)的恒等式

沈慧津

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710100）

0 引 言

設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，TóTH[1]引入了模n的正則數(shù)的概念，即對(duì)任意給定的正整數(shù)模n，如果存在一個(gè)整數(shù)x，使得m2x≡m(modn)，那么，整數(shù)m被稱為模n的正則數(shù)。事實(shí)上正則數(shù)的概念也是模n可乘逆的推廣或延伸，因?yàn)?，如?m,n)=1，那么，其中的x就滿足同余方程mx≡1(modn)。此時(shí)x就是m模n的可逆乘元！當(dāng)然也存在整數(shù)m，使得(m,n)＞1 且m2x≡m(modn)。 例 如 ，取n=15,m=3，則x=2，且 32× 2≡ 3(mod 15)。容易證明整數(shù)m是模n的正則數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)這里(m,n)表示m和n的最大公因子。如果正整數(shù)為模n的Hall因子，并記為d‖n。因此，整數(shù)m是模n的正則因子當(dāng)且僅當(dāng)(n,m)是n的Hall因子，記α(n)為模n在其完全剩余系中的所有正則數(shù)的個(gè)數(shù)，利用正則數(shù)的定義容易證明

其中，φ(n)表示Euler函數(shù)，即模n的完全剩余系中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。

特別地，當(dāng)n=p為素?cái)?shù)時(shí)，有α(p)=p。

對(duì)任意正整數(shù)q及整數(shù)n，設(shè)A(q)表示模q在區(qū)間1≤m≤q中所有正則數(shù)的集合，顯然此集合對(duì)模q的同余以及普通乘法形成一個(gè)半群！在此半群中，對(duì)任何元素m，均存在一個(gè)非零整數(shù)x，使得mx為冪等元，即對(duì)所有正整數(shù) k有(mk)k≡mx(mod q)。如果(m,q)=1，那么m一定存在逆元；而當(dāng)(m,q)＞1時(shí)，m不存在逆元。類似的代數(shù)性質(zhì)很多，但這并不是本文關(guān)注的重點(diǎn)?，F(xiàn)在引入新的三角和函數(shù)C*q(q)：

設(shè)B(q)表示區(qū)間1≤m≤q中所有與q互素的正整數(shù)集合，記

那么，稱Cq(n)為Ramanujan和。對(duì)任意正整數(shù)，Ramanujan的經(jīng)典結(jié)果[2]給出了恒等式

其中ζ(s)表示Riemannζ-函數(shù)，σ(n)表示n的所有因數(shù)之和。

TóTH[3]將這一結(jié)果進(jìn)行了推廣，并證明了對(duì)任意正整數(shù)q1,q2,…,qk，有恒等式

其中(n1,n2,…,nk)和[q1,q2,…,qk]分別表示整數(shù)n1,n2,…,nk的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。

文獻(xiàn)[4]也對(duì)以上結(jié)果進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和延伸。有關(guān)其他的和式或恒等式可見文獻(xiàn)[5-13]，不再一一列舉。

受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā)，利用初等方法以及三角和的性質(zhì)研究了無窮級(jí)數(shù)

的計(jì)算問題，并得到以下2個(gè)結(jié)果。

定理1設(shè)q是任意正整數(shù)，則有恒等式

顯然可用此結(jié)論來判斷一個(gè)正整數(shù)q是不是square-full數(shù)（一個(gè)正整數(shù)n稱為square-full數(shù)，如果p|n，則有 p2|n）。

定理2對(duì)任意正整數(shù)n，有恒等式

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有恒等式

利用正則數(shù)的性質(zhì)還可得到以下推論。

推論1設(shè)整數(shù)q＞1，且標(biāo)準(zhǔn)分解式為q=表示所有自然數(shù)中q的正則數(shù)的集合，則對(duì)任意實(shí)數(shù)s＞2，有

特別地，當(dāng)q是一個(gè)無平方因子數(shù)時(shí)，有

對(duì)一般的正整數(shù)q，當(dāng)s=2時(shí)，有

事實(shí)上，由定理2的證明過程可知，對(duì)任意整數(shù)n及實(shí)數(shù)s＞1，也可以給出Dirichlet級(jí)數(shù)的精確計(jì)算式，只是此時(shí)不一定能計(jì)算得到ζ(s)。

很顯然，將本文的結(jié)果推廣為文獻(xiàn)[4]中的形式，是我們進(jìn)一步研究的方向和目標(biāo)！

1 若干引理

為了完成定理的證明，需要以下引理。下文中，將用到一些初等數(shù)論知識(shí)以及三角和的性質(zhì)，這些內(nèi)容在文獻(xiàn)[13-15]中有詳細(xì)描述，不再贅述。

引理1設(shè)n是一個(gè)給定的整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)q，有恒等式

引理1得證。

引理2設(shè)k是一個(gè)給定的整數(shù)，對(duì)任意整數(shù)n，有恒等式

證明由M?bius函數(shù)以及三角和的性質(zhì)，可得恒等式

于是應(yīng)用式（1）和式（2），有

ζ-函數(shù)的定義，有

引理2得證。

2 定理的證明

先證定理1。設(shè)q和h是2個(gè)正整數(shù)且(q,h)=1，那么對(duì)任意正整數(shù) n，有 C*qh(n)=C*q(n)C*h(n)，即C*q(n)是q的可乘函數(shù)。事實(shí)上，注意到Ramanujan和Cq(n)是q的可乘函數(shù)，由引理1，有

所以，為證明定理1，只需證明q=pα即可，其中p為素?cái)?shù)，α為正整數(shù)，顯然 C*1(n)=1，如果q=pα，則有

結(jié)合式（4）和式（5），定理1立刻得證。

再證定理2。對(duì)任意整數(shù)，應(yīng)用引理1、引理2及Euler積公式（參見文獻(xiàn)[1]第11章定理11.7），有恒等式

利用整數(shù)n是模q的正則數(shù)的充要條件，易得推論1（此處證略）。