淺談高考解三角形常見問題

譚世敏

【摘? 要】“解三角形”是高中數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容，也是高考中的常見題型之一，在其中包含三角函數(shù)、平面向量等多個(gè)方面的內(nèi)容，在解決這類問題時(shí)，往往需要依靠三角形中的邊、角、面積等方面。本文就著眼于高考中解三角形的常見問題，提出如何幫助學(xué)生提高解三角形的能力，讓學(xué)生在高考中高質(zhì)地解決這方面的問題，從而取得理想的成績。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);解三角形;常見問題

解三角形的本質(zhì)就是幫助學(xué)生理清三角形當(dāng)中的所有邊、角關(guān)系，讓學(xué)生求解三角形中所有的邊、角問題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力。

一、解三角形在高考中的地位

通過對近些年高考試卷的分析，我們能夠看到，解三角形的相關(guān)知識分布在選擇、填空和問答題中的方方面面，并從多個(gè)角度考查學(xué)生對解三角形知識的綜合應(yīng)用能力和問題分析能力。學(xué)生能夠從整體上把握解三角形的全部知識，并且有效地應(yīng)用在實(shí)際問題的解答中。在實(shí)踐教學(xué)中，教師就應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生明晰高考中解三角形的常見問題，讓學(xué)生在建立解題模型中，更好地在高考中應(yīng)用這部分的知識，從而取得良好的成績。

二、高考解三角形中常見的問題

（一）正余弦定理的應(yīng)用問題

將三角函數(shù)、正余弦定理之間解三角形的關(guān)系進(jìn)行結(jié)合，讓學(xué)生解三角形，是高考中一種普遍的題型，這類題目的表述相對簡單，但是其中所考查的基本知識點(diǎn)卻是復(fù)雜多樣的，同時(shí)還涉及一些三角函數(shù)中的內(nèi)容，如兩角的和與差、二倍角的正、余弦等公式，將這些內(nèi)容靈活地使用在解三角函數(shù)問題中，也是學(xué)生進(jìn)行這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。所以，有效地提升學(xué)生對這類問題的解答能力，對強(qiáng)化學(xué)生的綜合思維、提高綜合知識應(yīng)用能力也具有重要的價(jià)值。例如，有這樣一道題，已知△ABC中，∠ABC=90°，其中AB=2，BC=1，又有點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠BPC=90°，給定條件中分為兩部分，一是已知PB的長度是3，求PA的長度，二是給定三角形中∠APB=150°，詢問tan∠PBA是多少。對于這道題目來說，可以在△PAB中應(yīng)用余弦定理，就可以求得第一問的答案，而通過三角形正弦定理的應(yīng)用就可以求出tan∠PBA。對于這類題目的解決，就需要學(xué)生對三角形中的正弦、余弦定理進(jìn)行學(xué)習(xí)和應(yīng)用，并對一些簡單的誘導(dǎo)公式進(jìn)行使用，才能夠逐步找到問題的突破口，促進(jìn)問題的有效解決。

（二）不等式與解三角形結(jié)合的問題

在解三角形的問題中遇到三角形求角、求邊及求面積范圍的內(nèi)容時(shí)，就會(huì)需要使用到三角形不等式問題的相關(guān)知識，讓學(xué)生從分析三角形角、邊的取值范圍，充分認(rèn)識到三角形函數(shù)值符號，以及三個(gè)邊的關(guān)系等，實(shí)現(xiàn)問題的解決。此時(shí)三角形存在的價(jià)值就是盡可能地縮小角和邊的取值范圍，避免增根產(chǎn)生和所求變量取值范圍擴(kuò)大的情況。例如以下習(xí)題：三角形中的三個(gè)角A、B、C分別對應(yīng)a、b、c三個(gè)邊，其中a=2，且有（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，求三角形ABC面積的最大值。在題目當(dāng)中已經(jīng)給出（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC的條件，其中邊、正弦已經(jīng)明確，因此，學(xué)生可以聯(lián)系正弦定理進(jìn)行變量的統(tǒng)一，讓學(xué)生對化解之后的等式進(jìn)行觀察，從而獲得化解之后的等式，得出cosA的值，之后，學(xué)生可以再以此為出發(fā)點(diǎn)，最終獲得三角形ABC面積的最大值。在這道題目當(dāng)中就考查了學(xué)生對三角形正弦定理、余弦定理的理解，以及對這部分內(nèi)容的合理應(yīng)用，促進(jìn)不等式問題的有效解決。

（三）三角形三邊的最值問題

這類題目主要考查的是三角形正余弦定理的使用，以及其與三角形有關(guān)的綜合性問題，也是在高考當(dāng)中經(jīng)?？疾榈降膬?nèi)容，一般來說針對的是三角形中邊的代數(shù)式的最值問題，假設(shè)三角形當(dāng)中最大邊長或者最小邊長等。在進(jìn)行這類問題的解答時(shí)，教師可以先讓學(xué)生根據(jù)三角形中三個(gè)角的大小來判斷三個(gè)邊的關(guān)系，之后，再讓學(xué)生利用三角形的正余弦定理進(jìn)行解答。此外，也可以根據(jù)情況的不同，使用基本不等式或者三角形的正余弦定理的轉(zhuǎn)化進(jìn)行最值的求解。同時(shí)，對于三角形中三角函數(shù)的最值求解來說，如果是其中一個(gè)角余弦的最值問題，那么在解答的過程中也常常使用余弦定理來進(jìn)行化邊，然后再使用基本不等式進(jìn)行求解。但是在解答的過程中也會(huì)遇到多個(gè)角的三角函數(shù)值求解問題，對于這類問題可以先將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的求解，然后再使用三角函數(shù)公式得出最后的值。

三、解三角形教學(xué)中的改進(jìn)方向

解三角形部分內(nèi)容的重要性，使教師更加注重教育方法的有效設(shè)計(jì)，提高學(xué)生對這部分基礎(chǔ)知識的認(rèn)知效果，并且能夠?qū)⑦@部分的知識應(yīng)用在實(shí)際問題的解決中，所以，傳統(tǒng)灌輸?shù)姆绞讲⒉贿m用于當(dāng)前解三角形部分的教學(xué)。為此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)從高考的實(shí)際問題解決路徑出發(fā)，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)知識的特點(diǎn)，進(jìn)行解三角形知識的高效施教，以便讓學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)中提高應(yīng)用的能力，逐步提高對此類問題的解決效果。

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