利用數(shù)字巖心抽象孔隙模型計算孔隙體積壓縮系數(shù)

隋微波，權(quán)子涵，侯亞南，程浩然

（1.中國石油大學（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249；2.中國石油大學（北京）石油工程學院，北京102249；3.深圳清華大學研究院，廣東深圳 518057；4.清能艾科（深圳）能源技術(shù)有限公司，廣東深圳 518057）

0 引言

巖石微觀結(jié)構(gòu)與其宏觀物理性質(zhì)密切相關。宏觀性質(zhì)或行為實質(zhì)上是微觀結(jié)構(gòu)的集中體現(xiàn)，或者說微觀結(jié)構(gòu)控制宏觀性質(zhì)。Torquato[1]在研究非均質(zhì)材料物理性質(zhì)時表明，材料的宏觀性質(zhì)如彈性、滲透率等都會受到微觀結(jié)構(gòu)變化的影響。在細觀力學研究領域，計算巖石彈性力學參數(shù)的理論方法一般有解析法和數(shù)值法兩類。數(shù)值方法需要在利用場發(fā)射掃描電鏡或CT設備觀測巖石樣品獲得微觀結(jié)構(gòu)后，采用有限元等數(shù)值方法對巖石微觀結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格剖分，并模擬加載過程、計算應力應變場，再反推出彈性力學參數(shù)。比較具有代表性的工作是 Arns等[2]采用有限元方法計算Fountainebleau砂巖數(shù)字巖心的彈性參數(shù)，結(jié)果表明彈性參數(shù)的變化規(guī)律符合Gassmann理論。數(shù)值方法可以比較真實地重現(xiàn)巖石的微觀孔隙結(jié)構(gòu)，但是真正擬合孔隙結(jié)構(gòu)時網(wǎng)格剖分難度很大，而且整體計算所需的時間成本非常高。解析方法一般基于Eshelby等效介質(zhì)理論，將巖石中的孔隙抽象為球形、橢球形、圓柱形、扁裂縫與硬空心球殼等，采用解析方法計算巖石彈性力學有效性質(zhì)。例如 Zimmerman[3]假設巖石中的孔隙為橢球形，根據(jù)不同的縱橫比具體可以劃分為球形孔、針狀孔和幣狀孔，根據(jù)線彈性胡克定律以及 Eshelby等效介質(zhì)理論等，推導出微觀尺度的巖石變形理論。解析方法與數(shù)值方法相比可節(jié)約大量計算成本，但是由于一般不對巖心的具體微觀孔隙結(jié)構(gòu)進行刻畫，大多用于理論方面的定性研究。

數(shù)字巖心技術(shù)是近年興起的研究儲集層微觀孔隙結(jié)構(gòu)、滲流特征參數(shù)和滲流機理的新手段[4-8]，因其對巖心樣品尺寸要求低，實驗及模擬計算可重復性強，成為非常規(guī)油氣微納米尺度條件下儲集層性質(zhì)和滲流機理研究的新途徑[9-10]。雖然近年來數(shù)字巖心技術(shù)已形成了較為成熟的研究方法與理論體系，但是與真實的儲集層情況和宏觀油藏研究手段相比[11]，數(shù)字巖心技術(shù)在模擬微觀滲流時一般沒有考慮真實條件下儲集層應力對微觀孔隙結(jié)構(gòu)和滲流情況的影響，忽略了應力敏感問題，這使得數(shù)字巖心技術(shù)在實際應用中還存在一定缺陷。本文研究數(shù)字巖心基本彈性參數(shù)（孔隙體積壓縮系數(shù)）與微觀孔隙結(jié)構(gòu)的關系，為數(shù)字巖心的微觀變形研究提供理論支持。在油藏工程中，孔隙體積壓縮系數(shù)不僅是物質(zhì)平衡方法計算中的重要輸入?yún)?shù)[12]，同時也是滲流力學與試井分析中壓力擴散方程的重要參數(shù)[13]。

本文采用Bentheimer砂巖等10種數(shù)字巖心，以數(shù)字巖心真實微觀孔隙結(jié)構(gòu)為基礎，根據(jù)數(shù)字巖心微觀孔隙結(jié)構(gòu)分析孔隙形狀參數(shù)分布特征，建立抽象孔隙模型，并采用解析方法結(jié)合等效介質(zhì)理論，考慮微觀結(jié)構(gòu)變形的本構(gòu)關系，求取數(shù)字巖心有效彈性模量和孔隙體積壓縮系數(shù)，分析孔隙結(jié)構(gòu)對孔隙體積壓縮系數(shù)的影響。

1 巖石抽象孔隙模型的理論基礎

1.1 單孔彈性變形

將孔隙抽象為橢球體最初是由 Sadowsky等[14-15]提出的，橢球體可以代表大部分孔隙形狀，例如球體、針狀圓柱體、薄片裂縫等。對于長半軸長度為A，短半軸長度為B的橢圓（見圖1a），當橢圓沿長軸為中心進行空間旋轉(zhuǎn)時得到長橢球體（Prolate Ellipsoid），也稱為“針狀孔”（見圖 1b）；當橢圓以短軸為中心進行空間旋轉(zhuǎn)時得到扁橢球體（Oblate Ellipsoid），也稱為“幣狀孔”（見圖1c）。

圖1 長橢球、扁橢球縱橫比定義示意圖

橢球體縱橫比（ρ）定義為不等長半軸與等長半軸之比，所以長橢球形的縱橫比大于1（ρ＞1），扁橢球形的縱橫比小于1（ρ＜1）。因此，通過求解球坐標系中的彈性問題，就能夠獲得其孔隙壓縮性參數(shù)[3]。

對于考慮微觀結(jié)構(gòu)的多孔介質(zhì)，Zimmerman認為對于微觀尺度的孔隙來說，在多孔介質(zhì)上所施加的外部應力相當于在無窮遠處，因此可以只考慮正向應力，則孔隙體積應變可以表示為[3]：

若先不考慮孔隙空間中含有流體的情況，即孔隙壓力不變，則上式變?yōu)?/p>

孔隙體積壓縮系數(shù)是指應力發(fā)生變化后，孔隙體積的變化量與應力變化之前孔隙體積的比值，孔隙體積壓縮系數(shù)Cpp可用來表征儲集層巖石孔隙的變形尺度。下面首先分析單孔變形條件下孔隙體積壓縮系數(shù)的解，分別考慮長、扁橢球孔變形和球形孔變形兩種情況，然后將其引申為多孔變形的情況。

1.1.1 長、扁橢球孔變形

對于無限大、各向同性彈性介質(zhì)中獨立長橢球孔的受壓變形問題，根據(jù)Zimmerman的單孔變形理論[3]，可以長橢球孔中心為原點建立直角坐標系，z軸為長半軸，再將直角坐標轉(zhuǎn)換為長橢球坐標（見圖2）：

其中l(wèi)為長橢球長軸（z軸）上的焦距半長，下文推導中取l為單位長度。α取值范圍為0到∞，β為0到π，γ為0到2π。當α為常數(shù)時，方程表示長橢球球體表面；β為常數(shù)時，方程表示雙曲面；γ為常數(shù)時，方程表示過z軸的平面。球孔的表面相當于α=α0，兩條等長的短軸為sinhα0，長軸為coshα0，縱橫比ρ=cothα0。

圖2 長橢球坐標轉(zhuǎn)換示意圖

為了方便表示，引入以下變量：

則該正交系下弧長表示為：

度量系數(shù)hi（i=α,β,γ）有以下關系：

由于所施加的壓力是垂直于孔洞表面的單位壓力，且孔洞無窮遠處的應力為零，則邊界條件為：

上述邊界條件下的線彈性力學問題可以采用Sadowsky等[14]提出的 Bossinesq三函數(shù)法求解，從而獲得位移（U）的解。通過進一步對位移正分量在整個孔洞表面的積分來計算孔隙體積的變化量，進而獲得孔隙壓縮系數(shù)。

假設孔隙所受應力變化為Δσ，則孔隙壓縮系數(shù)表示為：

將（8）、（10）式代入（9）式，可以求得長橢球坐標系下的孔隙壓縮系數(shù)為：

長橢球坐標系通過變換即可獲得扁橢球坐標系，因此扁橢球的孔隙壓縮系數(shù)可以直接由（11）式轉(zhuǎn)換得到：

長橢球孔、扁橢球孔的體積應變可分別表示為：

1.1.2 球形孔變形

球形孔的體積應變?yōu)椋?/p>

由（18）式可求得球形孔的孔隙體積壓縮系數(shù)為：

1.2 多孔彈性變形

前面討論了單個不同形狀孔隙的壓縮系數(shù)，表征為單個孔隙在單位壓差下的體積變化量。整個孔隙體系的孔隙體積變化量則為每個獨立孔隙體積變化量之和。但在真實巖石中，每個孔隙的應力場會因周圍其他孔隙的存在而受到影響，周圍孔隙的存在會使每個單獨孔隙的孔隙壓縮系數(shù)增加。

在真實多孔介質(zhì)材料（如巖石）的彈性變形分析中，考慮到巖石的宏觀力學性質(zhì)（或傳輸性質(zhì)）與其微觀結(jié)構(gòu)有著密切關系，常采用Eshelby[17]提出的等效介質(zhì)理論，通過微觀結(jié)構(gòu)計算得到宏觀材料的有效性質(zhì)。本文將巖石等效為無限大基質(zhì)中帶有夾雜的混合物，即將孔隙看作其中的夾雜，骨架顆?？醋骰|(zhì)，則多孔介質(zhì)巖石的有效彈性性質(zhì)與骨架-孔隙的彈性模量、體積分數(shù)、微觀幾何形狀、空間分布有關。求解多孔彈性變形條件下的孔隙體積壓縮系數(shù)前，需要首先求解多孔條件下的巖石有效模量。

1.2.1 有效模量求解

多孔彈性變形條件下的有效模量可采用自洽法求取，該方法最早由Hill[18]和Budiansky[19]提出，是最常用的等效介質(zhì)法。自洽法將復合材料中的夾雜（孔隙）視為球形，然后嵌入到未知有效模量的介質(zhì)中進行有效性質(zhì)的計算。Wu[20]將夾雜視為橢球形并提出了不同于球形夾雜的自洽模型。

本文考慮將任意形狀和性質(zhì)的夾雜（孔隙）都放入一個無限大的基質(zhì)中，這個含有夾雜的基質(zhì)其性質(zhì)等于整個非均質(zhì)材料的未知有效性質(zhì)。假設夾雜和基質(zhì)兩相均為各向同性，同時考慮球形夾雜為任意分布，則有效體積模量和有效剪切模量計算公式為[21]：

該式為隱式方程，計算過程需要使用數(shù)值迭代法。對于非球形夾雜的情況，采用Wu[20]提出的自洽模型，將夾雜視為橢球形處理，則兩相混合物模量的計算公式為：

1.2.2 孔隙體積壓縮系數(shù)求解

考慮到真實儲集層巖石均含有多種孔隙形狀，可以根據(jù)不同縱橫比分布的孔隙體積占比計算最終的孔隙體積壓縮系數(shù)。設巖心樣品孔隙縱橫比分布區(qū)間為［ρ1,ρN］，其中縱橫比為ρk的孔隙體積為Vk，孔隙體積占比為xk，則有：

混合孔隙壓縮系數(shù)為：

2 數(shù)字巖心抽象孔隙模型建立

本文中選取的數(shù)字巖心樣品涵蓋了高、中、低滲透砂巖與碳酸鹽巖，具體包括 Bentheimer砂巖、Doddington砂巖、Berea砂巖、Fountainebleau砂巖、Wilcox致密砂巖、Estaillades碳酸鹽巖、大慶砂巖、塔里木砂巖、南海東部砂巖和新疆砂巖等 10種數(shù)字巖心樣品。其中前 6種數(shù)字巖心樣品來源于公開的數(shù)字巖心標準比對巖樣數(shù)據(jù)體[22]，其他 4種分別是井下巖心（大慶和塔里木）和井下鉆屑（南海東部和新疆）制樣后CT掃描獲得的數(shù)字巖心數(shù)據(jù)體。下面介紹利用Berea砂巖數(shù)字巖心建立抽象孔隙模型的方法，其他巖心的抽象孔隙模型建立方法與之相同。

本次研究中使用的 Berea砂巖數(shù)字巖心來源于英國帝國理工大學PERM研究課題組公布的網(wǎng)上數(shù)據(jù)[23]。該數(shù)據(jù)是將 Berea砂巖樣品通過 CT掃描實驗獲得的1 024張1 024像素×1 024像素的二維灰度圖像（分辨率為2.77 μm），使用三維成像軟件將二維切片疊加得到巖樣的三維灰度圖像，同時采用分水嶺算法進行閾值分割提取孔喉結(jié)構(gòu)，獲得二值化巖心圖像。

基于數(shù)字巖心孔隙結(jié)構(gòu)特征分析，應用 Avizo圖像處理軟件對孔隙整體區(qū)域進行分離，并對單個孔隙進行標注（見圖 3，圖中顏色用于區(qū)分孔隙個體）。應用慣性矩原理對所有標注孔隙進行參數(shù)分析，計算每個孔隙對應的具有相同標準的二階中心矩橢圓的主軸長度、重心位置和歐拉角，通過Matlab編程將真實孔隙轉(zhuǎn)換為具有相同特征參數(shù)的橢球體，則真實孔隙空間可轉(zhuǎn)換為抽象孔隙模型（見圖4，圖中顏色用于區(qū)分孔隙個體）。

圖3 Berea砂巖數(shù)字巖心抽象孔隙分離示意圖

圖4 Berea砂巖數(shù)字巖心孔隙抽象示意圖

通過計算得到 Berea砂巖數(shù)字巖心樣品抽象孔隙體積占比與橢球體縱橫比之間的關系（見圖 5），從該圖中可以看出 Berea砂巖中各類孔隙縱橫比分布范圍為0.2～4.9。根據(jù)（27）式計算，可以由圖中每個縱橫比區(qū)間的孔隙體積占比計算最終的Berea砂巖孔隙體積壓縮系數(shù)。其他9種數(shù)字巖心的孔隙體積壓縮系數(shù)計算中也均需輸入孔隙縱橫比和孔隙體積占比的分布關系。

圖5 Berea砂巖抽象孔隙體積占比與縱橫比之間的關系

本文提出的數(shù)字巖心抽象孔隙模型方法適用于絕大部分砂巖和除鮞?；?guī)r之外的大部分碳酸鹽巖。主要原因是該方法的前提是假設巖心中的絕大部分孔隙為空間凸體，并在此基礎上對橢球體進行抽象形成孔隙模型；而從Ketton灰?guī)r的電鏡掃描圖片（見圖6a）和 CT掃描獲取的三維孔隙結(jié)構(gòu)（見圖 6b）可明顯看出，鮞?；?guī)r由于其成巖顆粒為圓形或橢圓形，顆粒間孔隙空間則呈明顯凹體，因此該方法不適用。

圖6 Ketton灰?guī)r電鏡掃描與CT成像獲取的孔隙結(jié)構(gòu)

3 孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙結(jié)構(gòu)

基于前文的巖石抽象孔隙模型理論基礎和建立的數(shù)字巖心抽象孔隙模型，分別從單一類型孔隙和混合類型孔隙兩方面研究孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙結(jié)構(gòu)的關系。

3.1 單一類型孔隙

假設巖心中只存在單一類型孔隙，考慮到巖石中發(fā)育多孔且孔隙縱橫比不同，此處假設長橢球孔、扁橢球孔的縱橫比符合高斯分布，且?guī)r石骨架顆粒（石英）體積模量為37 GPa，剪切模量為44 GPa，巖石孔隙度為20%。在此基礎上研究孔隙縱橫比對孔隙壓縮系數(shù)的影響。

首先考慮巖心中發(fā)育長橢球孔的情況，假設孔隙縱橫比均值為 6.00～20.00，方差為 0.50～3.00，巖石孔隙度為 20%，則可得孔隙壓縮系數(shù)Cpp,pro與縱橫比均值、縱橫比方差的關系（見圖 7）。可以看出：①長橢球形孔的縱橫比符合高斯分布時，孔隙壓縮系數(shù)隨縱橫比均值的增大而增大，且縱橫比小于10.00時增大速度較快；②方差越小孔隙壓縮系數(shù)越大，說明在相同縱橫比均值條件下，長橢球縱橫比分布越集中孔隙壓縮系數(shù)越大，在相同應力下的變形量也就會越大。

圖7 長橢球形孔孔隙壓縮系數(shù)與縱橫比均值、方差的關系

同理，假設扁橢球的縱橫比分布符合高斯分布，均值為0.10～0.80，方差為0.04～0.20，巖石孔隙度為20%，則可得孔隙壓縮系數(shù)Cpp,ob與縱橫比均值、縱橫比方差的關系（見圖8）。可以看出：①扁橢球形孔的縱橫比按高斯分布時，孔隙壓縮系數(shù)隨縱橫比均值的增大而減小，且方差越小減小速度越快；②與長橢球孔的結(jié)果相同，扁橢球孔的縱橫比方差越小孔隙壓縮系數(shù)越大，即扁橢球形孔縱橫比分布越集中，孔隙壓縮系數(shù)越大，在相同應力下的變形量就會越大；③當縱橫比均值大于0.30時，孔隙壓縮系數(shù)基本不隨方差的變化而變化。

圖8 扁橢球形孔孔隙壓縮系數(shù)與縱橫比均值、方差的關系

3.2 混合類型孔隙

真實巖心中極少存在單一類型孔隙，多以混合類型孔隙出現(xiàn)，其孔隙壓縮系數(shù)可由（27）式計算。這里主要討論不同類型孔隙體積占比、孔隙度對整體孔隙壓縮系數(shù)的影響。

3.2.1 孔隙體積占比的影響

假設巖石孔隙度為 20%，長橢球形孔的縱橫比為2.00，扁橢球形孔的縱橫比為0.10，計算得混合孔隙壓縮系數(shù)與不同類型孔隙（長橢球形、扁橢球形、球形）體積占比的關系（見圖 9）?？梢钥闯觯孩?種孔隙混合時，混合孔隙壓縮系數(shù)與扁橢球孔隙體積占比呈正相關，與球形孔或長橢球形孔的孔隙體積占比呈負相關；②只有球形、長橢球形 2種孔隙混合時，孔隙壓縮系數(shù)隨球形孔的增多而增大。上述結(jié)論表明，在一定的縱橫比前提下，長橢球形孔越多巖石越不容易變形，扁橢球形孔和球形孔越多巖石越容易發(fā)生變形，且扁橢球形孔的影響比球形孔更明顯。

圖9 不同混合模式下孔隙壓縮系數(shù)與孔隙體積占比的關系

3.2.2 孔隙度的影響

假設長橢球形孔的縱橫比為 2.00，扁橢球形孔的縱橫比為 0.50，按 4種模式進行混合：①長橢球孔與扁橢球孔的混合比為1∶1；②扁橢球孔與球形孔的混合比為1∶1；③長橢球孔與球形孔的混合比為1∶1；④長橢球孔、扁橢球孔、球形孔的混合比為1∶1∶1。根據(jù)（27）式可以獲得孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關系（見圖10）。可以看出，孔隙壓縮系數(shù)隨孔隙度的增加而增大，但不同的混合模式下壓縮系數(shù)及其增長速度有較大差異：①混有扁橢球孔的 3種模式，相同孔隙度條件下，孔隙壓縮系數(shù)遠大于長橢球孔與球形孔的混合模式，且孔隙度越大相差幅度越明顯，說明具有扁橢球孔的巖石更易發(fā)生變形，混合孔隙壓縮系數(shù)更大；②長橢球孔、扁橢球孔、球形孔同時存在時孔隙壓縮系數(shù)小于長橢球與扁橢球孔混合、球形孔與扁橢球孔混合的情況，說明 3種孔隙同時存在會增加巖石的抗壓能力；③扁橢球孔與球形孔混合，其孔隙壓縮系數(shù)比扁橢球孔、長橢球孔混合的孔隙壓縮系數(shù)略大，說明球形孔比長橢球孔更容易發(fā)生變形。

圖10 不同混合模式下孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關系

3.3 真實數(shù)字巖心孔隙

圖11 9種真實數(shù)字巖心樣品孔隙分布圖

表1 10種數(shù)字巖心抽象孔隙模型中不同類型孔隙縱橫比與體積占比情況

除Berea砂巖外的 9種真實數(shù)字巖心樣品孔隙分布如圖 11所示（圖中顏色用于區(qū)分孔隙個體）。在前述理論方法的基礎上，對這10種真實數(shù)字巖心建立了抽象孔隙模型并計算了不同類型孔隙體積占比和縱橫比分布范圍（見表1）?？梢钥闯觯?0種典型數(shù)字巖心中長橢球孔、扁橢球孔縱橫比分布范圍分別為 1.11～12.75和0.11～0.90。由于巖心最終的孔隙體積壓縮系數(shù)由不同類型孔隙的體積占比計算，因此不同類型孔隙的體積占比與數(shù)量占比相比更具有比較意義。根據(jù)前文理論分析結(jié)果，對于巖心孔隙壓縮系數(shù)影響較大的幾個因素包括各類孔隙體積占比、縱橫比分布范圍、均值和方差。

根據(jù)前述理論模型、表 1中孔隙結(jié)構(gòu)特征參數(shù)計算10種數(shù)字巖心樣品的孔隙體積壓縮系數(shù)（見圖12），由圖中可看出，孔隙體積壓縮系數(shù)總的變化趨勢是隨孔隙度增高而增大。其中孔隙度較大的3個樣品中（表中序號第1—3）Bentheimer和Doddington砂巖樣品孔隙特征參數(shù)整體很接近，孔隙體積壓縮系數(shù)受宏觀孔隙度差異影響有所不同，Doddington砂巖孔隙度稍大因此孔隙體積壓縮系數(shù)較大；Estaillades樣品與Doddington樣品孔隙度相同，但是 Estaillades樣品具有更多的球形孔和長橢球孔，因此壓縮系數(shù)相對較小?？紫抖戎械鹊?個樣品（表中序號第4、7—10）中，Berea砂巖樣品比其他4個具有更多的球形孔，長橢球孔隙縱橫比均值較小且分布范圍非常小，扁橢球孔隙縱橫比均值較大，因此壓縮系數(shù)相對較低。孔隙度最低的 2個樣品雖然孔隙壓縮系數(shù)相差不大，但是其變化規(guī)律與其他樣品略有不同，Wicox砂巖中長橢球孔體積占比高于Fountainbleau砂巖，扁橢球孔體積占比低于Fountainbleau砂巖，如果只從不同孔隙占比的角度分析，F(xiàn)ountainbleau砂巖應該具有更大的孔隙壓縮系數(shù)，但是這與模型的計算結(jié)果不同。通過對數(shù)據(jù)的深入分析發(fā)現(xiàn)，這一結(jié)果與兩種特低孔隙度樣品中扁橢球孔縱橫比的最小值有關，Wicox砂巖雖然扁橢球孔含量相對較低，但是樣品中縱橫比在 0.1～0.2的扁橢球孔更多，F(xiàn)ountainbleau砂巖中扁橢球孔縱橫比最小值是0.22，這一區(qū)別最終造成了與Fountainbleau砂巖相比稍高的孔隙壓縮系數(shù)。這一影響因素在以后的研究中將進行更加系統(tǒng)的分析。

圖12 10種真實數(shù)字巖心孔隙壓縮系數(shù)與孔隙度的關系

4 結(jié)論

數(shù)字巖心的孔隙體積壓縮系數(shù)與孔隙度、孔隙縱橫比以及不同類型孔隙體積占比有關：①長橢球孔孔隙壓縮系數(shù)與孔隙縱橫比正相關，扁橢球孔孔隙壓縮系數(shù)與孔隙縱橫比負相關。②孔隙縱橫比滿足高斯分布且縱橫比均值相同，長橢球孔與扁橢球孔縱橫比分布越集中孔隙壓縮系數(shù)越大，相同應力條件下變形量越大。③孔隙壓縮系數(shù)隨孔隙度增大而增大。④當巖心中發(fā)育多種孔隙類型時，孔隙壓縮系數(shù)與不同類型孔隙體積占比相關，孔隙度一定時，扁橢球孔、球形孔越多巖石越容易發(fā)生變形，孔隙壓縮系數(shù)越大；長橢球孔越多巖石越不容易變形，孔隙壓縮系數(shù)越小。

采用孔隙體積壓縮系數(shù)解析計算方法計算10種典型數(shù)字巖心樣品孔隙體積壓縮系數(shù)，所得結(jié)果與理論模型所述規(guī)律相符，該方法可用于數(shù)字巖心樣品的孔隙體積壓縮系數(shù)計算。

符號注釋：

A——橢圓長半軸長度，m；Ai——求解位移積分時的常數(shù)項，無因次；B——橢圓短半軸長度，m；Cpp——單孔孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——混合孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；Cpp,ob——扁橢球孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；Cpp,pro——長橢球孔隙體積壓縮系數(shù), Pa?1；Cpp,s——球形孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——縱橫比為kρ的孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——含扁橢球孔隙的多孔介質(zhì)孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；——含長橢球孔隙的多孔介質(zhì)孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa?1；G——剪切模量，Pa；G0——骨架相剪切模量，Pa；G1——孔隙相剪切模量，Pa；——有效剪切模量，Pa；h，hα，hβ，hγ——度量系數(shù)，m?1；i，j——橢球坐標系坐標軸編號；K0——骨架相體積模量，Pa；K1——孔隙相體積模量，Pa；K*SC——有效體積模量，Pa；l——長橢球長軸（z軸）上的焦距半長，m；N——孔隙縱橫比分布的區(qū)間數(shù)目；p——壓力，Pa；P，——橢球坐標系中間變量，m；Q，——橢球坐標系中間變量，m；Q0——橢球坐標系長半軸長度，m；——橢球坐標系短半軸長度，m；r——球形孔半徑，m；Rpro，Rob——中間變量，無因次；s——橢球坐標系弧長，m；SG——計算有效剪切模量的孔隙幾何因子，無因次；SK——計算有效體積模量的孔隙幾何因子，無因次；U——位移，m；Vk——縱橫比為kρ的孔隙體積，m3；Vp——孔隙體積，m3；xk——縱橫比為kρ的孔隙體積占比，無因次；x，y，z——直角坐標系坐標，m；α，β，γ——橢球坐標系坐標，（°）；0α——橢球坐標系中橢球孔表面處的α坐標值，（°）；Bα——Biot系數(shù)，無因次；δm,n——克羅內(nèi)克函數(shù)，m=n時為1，m≠n時為0，無因次；εp——孔隙體積應變，無因次；εp,pro，εp,ob，εp,s——長橢球、扁橢球、球形孔孔隙體積應變，無因次；ξ——孔隙表面積，m2；ρ——縱橫比，無因次；1ρ——縱橫比最小值，無因次；kρ——縱橫比分布區(qū)間內(nèi)特定值，無因次；Nρ——縱橫比最大值，無因次；ρob——扁橢球孔縱橫比，無因次；ρpro——長橢球孔縱橫比，無因次；σ——正向應力，Pa；Δσ——應力變化，Pa；υ——泊松比，無因次；φ——孔隙度，%。