基于板-梁理論的桁架拱整體穩(wěn)定分析

華俊凱，張文福,，趙文艷，黃斌，詹陽，計靜

（1.蘇州科技大學，江蘇 蘇州 215000；2.南京工程學院，江蘇 南京 211167；3.東北石油大學，黑龍江 大慶 163318）

0 引言

大跨度桁架拱結構作為橋梁和大跨度建筑重要的支承結構，在工程領域已有廣泛應用，但其設計理論體系仍未完善。

目前對于實腹式拱結構的穩(wěn)定性分析較多，對于平面桁架拱的研究還較少。 以平面桁架圓管鋼拱為研究對象， 如圖1 所示， 其中R 為圓拱半徑，θ 為圓心角，S 為圓拱弧長，h 為桁架截面上下弦桿形心之間的距離。 取平面桁架單一節(jié)間進行分析， 將斜腹桿按扭轉剛度等效原則等效為腹板后，基于板-梁理論求出平面桁架的抗彎、抗扭以及翹曲剛度。 利用ANSYS 對不同跨徑比的軸壓和純彎鉸支拱進行有限元建模與分析，驗證所給出的截面參數(shù)的正確性。

圖1 桁架拱

1 彎扭屈曲應變能及截面參數(shù)

1.1 板-梁理論

板-梁理論是由張文福[1-4]教授提出的薄壁構件組合扭轉以及彎扭屈曲問題的新工程理論。其基本假設為：①剛周邊假設；②板變形假設；③梁變形假設。 對于開口截面構件，將薄壁板件的變形分為扭轉變形和彎曲變形， 分別用Kirchhoff 薄板理論和Euler 梁理論進行分析。 對于扭轉變形，令其遵循剛周邊假設。

1.2 腹桿的等效

對于細長的平面桁架，腹桿主要抵抗扭矩的作用，因此令腹桿對形心的抗扭剛度等效為腹板的抗扭剛度，可得

即

可解得等效腹板的厚度tw為

式中：G為材料剪切模量；It，f3和It,w分別為腹桿和等效腹板截面極慣性矩；Df3為腹桿外徑；hw為等效腹板高度；αf3=df3/Df3為腹桿內外徑之比。

1.3 等效腹板應變能

1.3.1 等效腹板截面任意點的位移

圖2 截面變形

如圖2 所示，腹板局部坐標系軸與截面整體坐標系x軸之間的夾角為α，腹板截面任意點在局部坐標系下的坐標 （n，s） 和整體坐標系下的坐標（0，0）之間的關系可表示為

腹板截面任意點（n，s）沿n，s軸方向的位移μn,w、μs,w及截面形心繞z軸的轉角θw可表示為

其中

可得腹板形心位移為

其中，u0w、v0w、w0w分別為腹板形心沿著局部坐標系n軸、s軸、z軸方向的位移。

1.3.2 等效腹板的平面內彎曲應變能

根據(jù)變形分解原理，腹板平面內位移可分解為

沿著n軸的位移

沿著s軸的位移

縱向位移由Euler 梁模型來確定

平面內彎曲的幾何方程

平面內彎曲的物理方程

則應變能根據(jù)

可得

其中，E為材料彈性模量。

1.3.3 等效腹板的平面外扭轉應變能

根據(jù)變形分解原理，腹板平面外位移可分解為：

沿著n軸的位移

沿著s軸的位移

縱向位移由Kirchhoff 薄板模型來確定

平面外彎曲的幾何方程

根據(jù)物理方程式（14），可得平面外彎曲應變能為

1.4 弦桿彎扭屈曲應變能

與腹板求解過程相同， 上弦桿平面內彎曲的應變能為

其中，Df為弦桿外徑；αf=df/Df為弦桿內外徑之比。

上弦桿平面外彎曲的應變能為

下弦桿平面內彎曲的應變能為

下弦桿平面外彎曲的應變能為

則平面桁架拱單一節(jié)間彎扭屈曲的總應變能為

令

為平面外抗彎剛度；

為截面翹曲剛度；

為截面自由扭轉剛度。

則可將應變能轉化為一般形式，即

2 桁架截面參數(shù)的簡化算法

平面桁架拱截面參數(shù)的簡化算法如下

其中，Iyc為弦桿截面慣性矩。

其中，It，c為弦桿截面極慣性矩。

3 桁架拱平面外彈性屈曲極限承載力

桁架拱與實腹式拱在穩(wěn)定的平面外變形情況上并無明顯區(qū)別， 因此可以沿用實腹式拱平面外穩(wěn)定性的極限荷載公式。 簡支拱受力情況如圖3所示。

圖3 截面變形

為模擬理想的簡支拱受壓與受彎情況，令一拱腳可沿法向滑動。

3.1 純壓作用下的極限承載力

實腹式拱在純壓作用下的彎扭屈曲極限荷載Nysa為

其中，kysac為純壓拱的平面外屈曲系數(shù)， 其表達式為

其中，

式中，Mys為簡支梁在純彎矩作用下的平面外屈曲極限荷載；Ny為簡支柱在軸壓作用下的屈曲荷載；Ns為簡支柱在扭轉作用下的屈曲荷載。

3.2 純彎作用下的極限承載力

拱在純彎矩作用下的彎扭屈曲極限荷載Mysa為

其中，kysam為純彎拱的平面外屈曲系數(shù)，其表達式為

求解純彎拱平面外屈曲方程可得

4 有限元對比驗證

為驗證求解的截面參數(shù)與簡支拱平面外屈曲極限承載力的正確性，用ANSYS 建立有限元模型，模型采用BEAM188 單元，分別建立不同徑跨比的簡支桁架拱。 相關截面尺寸與徑跨比如表1 所示。

4.1 軸壓拱彎扭屈曲荷載公式驗證

將式（29）-（31）和式（33）-（35）計算所得的桁架節(jié)間截面參數(shù)分別代入式（36）-（39），計算桁架拱平面外屈曲荷載，與有限元分析結果對比（假設有限元結果為精確解），如表2 所示。

由表2 可知，式（29）-（31）計算結果更能準確地反映截面性質，腹桿對于整體截面剛度有較大影響。

表1 有限元模型參數(shù)

表2 軸壓拱平面外屈曲荷載

4.2 純彎拱彎扭屈曲荷載公式驗證

對于純彎簡支拱，將式（29）-（31）分別代入式（40）和式（41），并與有限元結果對比，如表3 所示。

表3 純彎拱平面外屈曲荷載

由表3 可知，在一般情況下式（40）和（41）的平面外屈曲荷載公式都具有良好的精度。但對于細長構件，式（40）計算結果誤差可達24.78%，不能真實反映簡支桁架拱的力學性能。

5 結論

（1）平面桁架拱在平面外變形過程中具有與實腹式拱相同的受力及變形特點，因此實腹式拱的平面外穩(wěn)定理論可以應用于平面桁架拱。

（2）板-梁理論無需運用傳統(tǒng)的扇性坐標，能精確推導出薄壁構件的各類截面參數(shù)； 腹桿對于平面桁架抵抗彎扭屈曲具有較大幫助。

（3）式（40）和式（41）的平面外屈曲荷載公式都具有良好的精度，但不能用于細長的純彎簡支拱平面外屈曲荷載計算。