基于高斯過程回歸的建筑物震陷量預(yù)測(cè)模型

王 飛,李東珺,閆 冬,王 威

(1.南陽(yáng)理工學(xué)院建筑與城市規(guī)劃學(xué)院，南陽(yáng) 473004；2.南陽(yáng)師范學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，南陽(yáng) 473061；3.北京工業(yè)大學(xué)建筑與城市規(guī)劃學(xué)院，北京 100124)

中國(guó)是世界上震害最嚴(yán)重的國(guó)家之一，隨著城城鎮(zhèn)進(jìn)程的加快，許多中心城區(qū)面臨地震潛在次生災(zāi)害的風(fēng)險(xiǎn)日益增高[1-2]。由于飽和砂土或砂礫土液化導(dǎo)致的建筑物震陷是造成城區(qū)建筑物破壞的主要危害之一，也是衡量工程結(jié)構(gòu)失效與否的主要指標(biāo)之一[3-4]。因此，對(duì)建筑物震陷量進(jìn)行科學(xué)合理預(yù)測(cè)研究，是進(jìn)行地震小區(qū)劃及提出抗震對(duì)策措施的重要依據(jù)。

目前，關(guān)于建筑物液化沉降量的預(yù)測(cè)方法研究主要有兩類[5]：①確定性方法，如現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查法和抽樣統(tǒng)計(jì)方法；②不確定性方法，如概率分析法、模糊數(shù)學(xué)法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。一般來講，現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查法是所有方法中最直觀、最可靠的方法，但存在工作量大、數(shù)據(jù)煩瑣、計(jì)算周期長(zhǎng)等缺陷。概率分析法雖能夠考慮和模擬隨機(jī)事件的不確定性，但具有結(jié)果不穩(wěn)定，沒有考慮隨機(jī)序列之間的相關(guān)性等缺陷。模糊數(shù)學(xué)理論在確定模糊算子時(shí)，存在一定的主觀隨意性。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)訓(xùn)練樣本和學(xué)習(xí)樣本的數(shù)量要求比較高。因此，有必要進(jìn)一步完善和豐富建筑物震陷量預(yù)測(cè)模型與方法。

高斯過程回歸(Gaussian process regression,GPR)是一種基于貝葉斯概率框架下的無參核方法[6-7]。該模型不僅可以對(duì)未知輸入進(jìn)行預(yù)測(cè)，還可以先驗(yàn)概率的形式表征過程的先驗(yàn)知識(shí)，從而提高模型性能，與BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與SVM(support vector machine)方法相比，其模型仿真參數(shù)更少，優(yōu)化和收斂過程也更易于實(shí)現(xiàn)。另外，高斯模型可從給定的樣本中選擇超參數(shù)，對(duì)于其他機(jī)器學(xué)習(xí)方法則需要通過交叉驗(yàn)證的方法進(jìn)行獲取超參數(shù)。目前，許多學(xué)者將高斯模型廣泛應(yīng)用于不同的專業(yè)領(lǐng)域：如燕柳斌等[8]提出一種基于高斯過程機(jī)器學(xué)習(xí)的巖溶塌陷預(yù)測(cè)模型，并將其成功應(yīng)用于工程實(shí)例。夏戰(zhàn)國(guó)[9]針對(duì)軸承性能數(shù)據(jù)中的時(shí)序性難以回歸的問題，采用EM(expectation maximization)算法學(xué)習(xí)高斯回歸模型參數(shù)，且采用Cholesky分解法降低算法復(fù)雜度，并與其他預(yù)測(cè)方法進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)比分析。張?jiān)迄i等[10]針對(duì)圍巖變形的高度非線性問題，采用高斯過程回歸模型對(duì)日本及四川兩個(gè)變形隧道工程進(jìn)行仿真預(yù)測(cè)分析。龔艷冰等[11]為快速準(zhǔn)確預(yù)測(cè)洪澇災(zāi)害損失情況，提出基于高斯過程回歸模型的災(zāi)害損失預(yù)測(cè)方法，并成功應(yīng)用于重慶市的洪澇災(zāi)損仿真模擬過程中?；诖耍瑸榱颂岣吆透纳颇Ｐ偷姆夯芰皖A(yù)測(cè)精度，本文根據(jù)高斯過程理論和貝葉斯規(guī)則對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行的“歸納推理學(xué)習(xí)”，即綜合先驗(yàn)信息，調(diào)整各隨機(jī)變量的后驗(yàn)分布。采用EP(expectation propagation)算法，獲得預(yù)測(cè)樣本潛在函數(shù)的近似后驗(yàn)高斯分布，并與LSSVM(least squares support vector machine)模型、PLS(partial least squares)模型和MLR(multiple linear regression)模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證分析，結(jié)果分析驗(yàn)證了高斯過程回歸預(yù)測(cè)模型的精度性和可靠性[12-13]。

1 高斯非線性統(tǒng)計(jì)建模實(shí)現(xiàn)

1.1 高斯過程回歸建模分析

高斯過程又稱為正態(tài)隨機(jī)過程[14]，設(shè)數(shù)據(jù)集D={(xi,yi),i=1,2,…,n}為模型的訓(xùn)練集，其中xi是其d維輸入變量，yi是目標(biāo)輸出。若f服從高斯分布，即：f～GP(m,k)，則m(x)是函數(shù)m的均值函數(shù)，k是協(xié)方差函數(shù)。根據(jù)高斯過程定義，均值函數(shù)f(x1),f(x2),…,f(xn)服從多元高斯分布，而且，m(xi)是多元高斯分布的均值向量，K是協(xié)方差矩陣，因此，服從高斯分布的均值函數(shù)可以描述為

f(xi)～MVN[m(xi),K]，i=1,2，…,n

(1)

式(1)中：

(2)

(3)

式(3)中：K*=[k(x*,x1),k(x*,x2),…,k(x*,xn)],K**=k(x*,x*)。

根據(jù)多元高斯分布的條件形式，可以得出其回歸預(yù)測(cè)方程：

f*|X,y,X*～GP[m(x*),cov(f*)]

(4)

式(4)中：矩陣X是由xi列組成，矩陣X*是由xl*列組成。

(5)

(6)

1.2 模型超參數(shù)選擇

根據(jù)上述分析，可以得出以下結(jié)論，協(xié)方差函數(shù)k的選擇對(duì)于高斯回歸過程分析至關(guān)重要。因此，協(xié)方差函數(shù)k必須滿足積分算子理論中Mercer定理?xiàng)l件，該定理?xiàng)l件的核函數(shù)可分為穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)兩類。常用的平方協(xié)方差函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，即：

(7)

考慮到白噪聲的情況，式(7)可用式(8)替代:

(8)

1.3 模型協(xié)方差函數(shù)選擇

在實(shí)際的高斯過程回歸模型預(yù)測(cè)研究中，一般會(huì)將協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行預(yù)先設(shè)定[6]，這樣可以使泛化更簡(jiǎn)單些。另外，在樣本數(shù)據(jù)分布的基礎(chǔ)之上，可以對(duì)較為復(fù)雜的情況進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析。為了使樣本數(shù)據(jù)更加清晰明確，有必要用更為復(fù)雜的協(xié)方差函數(shù)對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間的關(guān)系進(jìn)行重新描述。

(9)

2 算例仿真

2.1 影響因素選擇

2008年汶川地震之后展開了液化專項(xiàng)考察，發(fā)現(xiàn)較多的飽和砂土液化現(xiàn)象，并導(dǎo)致了地表破壞、噴水冒砂、結(jié)構(gòu)不均勻震陷破壞等危害，影響范圍之廣[15]，如圖1所示。

圖1 汶川地震中砂土液化破壞情況Fig.1 Sand liquefaction damage in Wenchuan Earthquake

一般來講，飽和砂土液化引起的建筑物震陷與三方面因素有關(guān)[5]：①地震動(dòng)方面，地震震級(jí)、烈度、地面峰值加速度和震中距等；②上部結(jié)構(gòu)特征方面，結(jié)構(gòu)類型、平面布置、基礎(chǔ)類型和荷載大小等；③地基土特性方面，土性、厚度、承載力、液化厚度及埋深等?；诖?，選取沉降因素為：地震烈度，長(zhǎng)高比，基底壓力，寬深比，土的相對(duì)密度，非液化層厚度和地下水位。不同烈度下基底壓力對(duì)建筑物沉降量的影響如表1所示，地基基礎(chǔ)震害等級(jí)劃分表詳如表2所示。

表1 基底壓力對(duì)多層建筑物沉降的影響Table 1 Effect of foundation pressures on induced settlements of multi-stones building

表2 地震基礎(chǔ)震害等級(jí)劃分程度Table 2 Gradation on seismic damage of foundation

2.2 樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

強(qiáng)震導(dǎo)致承災(zāi)體發(fā)生沉降的原因相當(dāng)復(fù)雜，影響因素也比較繁多，主要是由于飽和砂土液化或軟黏土的軟化引起的，液化是造成建筑物發(fā)生震害的首要原因，大約50%以上的地基震害源于液化。鑒于此，在抗震防災(zāi)規(guī)劃設(shè)計(jì)里如能準(zhǔn)確預(yù)估液化沉降，可以為抗震措施提供重要依據(jù)，借鑒李方明[5]液化判別及震陷預(yù)估思想，利用如日本新瀉地震液化震陷實(shí)例35個(gè)、唐山地震和海城地震實(shí)例20個(gè)及天津市建筑物震陷實(shí)例14個(gè)，共計(jì)震陷實(shí)例69個(gè)，選取其中61個(gè)樣本用來學(xué)習(xí)和測(cè)試，其中學(xué)習(xí)樣本41個(gè)，測(cè)試樣本20個(gè)，占樣本總數(shù)的33%，部分樣本數(shù)據(jù)如表3、表4所示。

表3 原始訓(xùn)練樣本Table 3 Original data of study samples

表4 原始測(cè)試樣本Table 4 Original data of forecast samples

3 模型驗(yàn)證和數(shù)據(jù)處理

3.1 其他統(tǒng)計(jì)建模方法

PLS方法因能處理復(fù)共線性、高維性、強(qiáng)噪音、甚至數(shù)據(jù)缺失的復(fù)雜問題，而廣泛被應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)和災(zāi)害學(xué)等領(lǐng)域。PLS將因變量Y和自變量X進(jìn)行雙線性分解：Y=UQT+F，X=TPT+E，使得潛隱變量U和T盡可能多地?cái)y帶數(shù)據(jù)樣本中的變異矩陣信息，并使進(jìn)行最大重疊或相關(guān)，即有：U=CT+e，系數(shù)C可以由最小二乘法求得，e為殘差矢量，以上要求表明：在提取U和T相關(guān)信息時(shí)，盡可能代表Y和X的信息量，同時(shí)T對(duì)U又有最強(qiáng)的解釋能力。MLR是以多個(gè)解釋變量的給定值為條件的回歸分析，其一般表達(dá)形式為：Y=b0+b1X1+b2X2+…+bjXj+…+bkXk+μ，其中k是解釋變量的數(shù)目，bj(j=1,2,…,k)是回歸系數(shù)，μ是去除k個(gè)自變量對(duì)Y影響的隨機(jī)誤差。MLR模型的參數(shù)估計(jì)出來后，即求出樣本回歸函數(shù)后，還需進(jìn)一步對(duì)該樣本回歸函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，以判定其參數(shù)估計(jì)的可靠程度。LSSVM是基于多類核的機(jī)器學(xué)習(xí)，其基本原理為：采用核函數(shù)，根據(jù)Mercer定理，從原始空間抽取數(shù)據(jù)特征，將原始空間中的數(shù)據(jù)樣本映射為高維特征空間中的一個(gè)向量，從而可以解決線性不可分的難題，其是SVM的一個(gè)擴(kuò)展，可以表征為是SVM在二次損失函數(shù)下的一種形式，其只求解線性問題，且求解速度快，在函數(shù)逼近和估計(jì)方面有著廣泛應(yīng)用。

3.2 模型交叉驗(yàn)證分析

對(duì)于上述預(yù)測(cè)模型，需要對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)交叉驗(yàn)證處理，以此來確定其有效性和是否處于病態(tài)，采用內(nèi)外部相結(jié)合的方式來測(cè)試其可靠性，內(nèi)部驗(yàn)證主要有訓(xùn)練集擬和優(yōu)度(goodness-of-fit)和10重交叉驗(yàn)證(10-fold cross-validation)兩部分組成，10重交叉驗(yàn)證將訓(xùn)練集樣本均分為10組，每次抽出一組剩下9組進(jìn)行模型預(yù)測(cè)，重復(fù)到每組都被抽中為止，以預(yù)測(cè)結(jié)果的優(yōu)劣程度作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計(jì)建模和交叉驗(yàn)證采用MATLAB工具箱ZP-explore[12-13]來完成，該程序已在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用和驗(yàn)證，并確認(rèn)了其科學(xué)性與可靠性。

3.3 模型處理分析過程

基于上述建模思路，分別采用MLR、PLS、LSSVM和GPR在原始訓(xùn)練學(xué)習(xí)樣本基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)建模，在此過程中，除了GPR模型無須人為干預(yù)，采用內(nèi)嵌最大化邊際似然法自動(dòng)獲取超參數(shù)外，其他三種方法均須選取模型參數(shù)確定策略，經(jīng)模型計(jì)算可確定超參數(shù)，整體尺度的超參數(shù)overall scales為z1=0.337 5、z2=0.121 4、z3=1.384 6、z4=0.000 5。長(zhǎng)度尺度的超參數(shù)length scales為：r1=10.660 3、r2=10.664 7、r3=10.660 6、r4=10.664 1、r5=10.662 9、r6=10.603 2。另外，其他三種統(tǒng)計(jì)方法也分別對(duì)訓(xùn)練集和測(cè)試集樣本進(jìn)行建模分析。對(duì)于MLR模型參數(shù)的選擇和確定，考慮利用最大似然估計(jì)得到其參數(shù)估計(jì)值，經(jīng)模型計(jì)算可得其回歸系數(shù)為b0=0.013 8、b1=0.015 8、b2=0.002 4、b3=0.000 6、b4=-0.024 9、b5=-0.191 3、b6=0.001 1、b7=0.000 5。PLS模型最佳潛變量的數(shù)目由10-fold cross-validation確定，即：依次向該模型增加潛在變量的數(shù)目，同時(shí)得到其均方根誤差值(RMSCV)的大小，直到達(dá)到其最小時(shí)的潛變量個(gè)數(shù)為最佳，經(jīng)模型計(jì)算得到其最佳個(gè)數(shù)為1。LSSVM的建模思路是基于SVM方法基礎(chǔ)之上的，該模型采用核函數(shù)擬采取RBF核函數(shù)，并基于網(wǎng)格的搜索方法來確定相關(guān)參數(shù)取值，在一定程度上提高了該模型的預(yù)測(cè)精度，為了與GPR模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證分析，四種模型的樣本訓(xùn)練集和測(cè)試集震陷量預(yù)測(cè)對(duì)比分析示意圖如圖2所示，非線性GPR模型測(cè)試集預(yù)測(cè)結(jié)果給出了90%置信區(qū)間。

表5 GPR模型與其他模型參數(shù)對(duì)比Table 5 Contrast of parameter analysis between GPR and other models

圖2 四種統(tǒng)計(jì)模型擬合預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 Fitting prediction result of four statistical models

以上研究表明：非線性預(yù)測(cè)模型GPR模型表現(xiàn)出了優(yōu)秀的擬合和預(yù)測(cè)能力，相比來看，線性模型MLR和PLS模型表現(xiàn)較差，可看出 GPR和LSSVM模型表現(xiàn)出了良好的適應(yīng)能力和執(zhí)行能力，兩種模型訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本預(yù)測(cè)值和實(shí)際震陷量值較為接近，如圖3所示，表明兩種模型均有較強(qiáng)的自學(xué)能力和外推能力。也進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的可靠性與適用性。

圖3 模型預(yù)測(cè)對(duì)比分析Fig.3 Comparison analysis of several models

4 結(jié) 論

(1)研究充分考慮建筑物震陷量的形成機(jī)理，構(gòu)建了建筑物震陷預(yù)測(cè)的高斯過程回歸非線性模型，該模型通過對(duì)原始訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本的預(yù)測(cè)后，建立了基于各輸入因素和輸出因素之間的非線性關(guān)系，并通過模型仿真對(duì)比分析和蒙特卡洛交叉驗(yàn)證，與其他統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證分析，顯示了模型優(yōu)勢(shì)之處。

(2)目前由于相關(guān)建筑物震陷實(shí)測(cè)基礎(chǔ)資料較少，在模型仿真過程中會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)過于離散化，因此會(huì)造成其預(yù)測(cè)精度不高，故須要增加新的實(shí)測(cè)學(xué)習(xí)樣本資料，并通過模型訓(xùn)練提高其泛化能力，進(jìn)一步提高其預(yù)測(cè)仿真效果及模型的適用性。