開展數(shù)學(xué)深度教學(xué)助力學(xué)生思維進階

朱國軍 彭亮

【摘要】數(shù)學(xué)是思維的體操，發(fā)展學(xué)生的高階思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重以深度教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生進行深度學(xué)習，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里、由點到面、由淺入深、由窄變寬、由低升高，不斷向高階思維進階，這樣做還有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育真正落地。

【關(guān) 鍵詞 】核心 素養(yǎng) ;深度 教學(xué) ;數(shù)學(xué) 思維 ;思維 進階 ;高階 思維

在全面深化教育改革的大背景下，數(shù)學(xué)教育目標發(fā)生了巨大的變化——從“雙基”到“四基”再到“核心素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)教學(xué)理念也因而不斷被刷新升級，使得“核心素養(yǎng)”“深度學(xué)習“”深度教學(xué)“”高階思維”成為教育界的熱點話題。筆者嘗試對數(shù)學(xué)深度教學(xué)和思維進階進行了一些思考和探索。

一、數(shù)學(xué)深度教學(xué)與思維進階

“深度”表示認識觸及事物本質(zhì)的程度。美國心理學(xué)家布盧姆將認知領(lǐng)域的教學(xué)目標由簡到繁分為六個層次——記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造?！坝洃洝薄袄斫狻焙汀皯?yīng)用”沒有研究到本質(zhì)問題，屬于淺層學(xué)習;“分析”“評價”與“創(chuàng)造”就有了深度學(xué)習的味道?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程 標準 （2 01 1年 版） 》（以 下簡 稱課 標） 也對 數(shù)學(xué)學(xué)習過程與結(jié)果作了不同水平的劃分，以了解（認識）、理解、掌握等術(shù)語表述學(xué)習活動結(jié)果的不同水平，以經(jīng)歷、體驗、探究形容學(xué)習活動過程的不同程度。

深度學(xué)習是一種深入學(xué)科本質(zhì)和知識內(nèi)核，由符號記憶轉(zhuǎn)向邏輯理解和內(nèi)涵認知的學(xué)習。它追求學(xué)生對知識的深度認知、深度理解、深度體驗。學(xué)生深度學(xué)習的實現(xiàn)有賴于教師的深度教學(xué)。南京大學(xué)鄭毓信教授對數(shù)學(xué)深度教學(xué)的具體內(nèi)涵作出如下概括“：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升;我們還應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進行學(xué)習轉(zhuǎn)向更自覺的學(xué)習，包 括善 于通 過同 學(xué)間 的合 作與 互動 進行 學(xué)習 ，從而真正成為學(xué)習的主人?！?/p>

思維進階是針對思維水平而言的低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)變。筆者按照布盧姆的教學(xué)目標分類，把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維分為六個層次，“記憶”“理解”與“應(yīng)用”屬于低階思維，“分析”“評價”和“創(chuàng)造”屬于高階思維。教師直接告知、學(xué)生記憶結(jié)論、重復(fù)練習等都屬于低階思維，而學(xué)生自己主動去探尋問題、提出問題、創(chuàng)造性地思考問題等都屬于高階思維。低階思維是高階思維發(fā)展的前提，要更好地推動學(xué)生發(fā)展高階思維，就要讓學(xué)生在原有低階思維的基礎(chǔ)上展開富有批判性、探索性和創(chuàng)造性的深度學(xué)習。

深度學(xué)習與學(xué)生思維進階有著相輔相成的關(guān)系，學(xué)生從低階思維進階到高階思維需要以深度教學(xué)做媒介，也可以說，深度教學(xué)可以推動學(xué)生由低階思維向高階思維進階。

二、以數(shù)學(xué)深度教學(xué)推動學(xué)生思維進階的策略

淺層學(xué)習體現(xiàn)出不可變通、不成結(jié)構(gòu)、缺少批判性和創(chuàng)新性等低階思維的特征，而深度學(xué)習體現(xiàn)出靈活性、深刻性、敏捷性、創(chuàng)造性、批判性和結(jié)構(gòu)性等高階思維的特征。筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維多處于低階思維水平的現(xiàn)象比較明顯，如認知膚淺，缺少思維支點;知識碎片化，思維不成體系;啟發(fā)泛濫，缺乏思維空間;思考無序，思維能力有待提高。長此以往，學(xué) 生將 會出 現(xiàn)“ 高分 低能 ”“高 分低 品” 等問 題。 因此 ，教師 應(yīng)潛 心研 究教 學(xué)，更新 教學(xué) 理念 ，改進教學(xué)方法，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)深度教學(xué)，從而提高學(xué)生的思維力、學(xué)習力，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

1.追本溯源，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里。

美國數(shù)學(xué)家赫斯說：“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠解決不了教學(xué)的爭議。”教師在教學(xué)中應(yīng)注重深度挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生追溯知識的本質(zhì)和內(nèi)核，促進他們的數(shù)學(xué)思維由表及里不斷深入。

例如，“3的倍數(shù)的特征”的學(xué)習是以原有探究“2、5的倍數(shù)的特征”為基礎(chǔ)的。常規(guī)教學(xué)是先引導(dǎo)學(xué)生在給定的數(shù)中找出3 的倍數(shù)，再讓他們觀察、猜測這些數(shù)的特征，然后舉例驗證自己的發(fā)現(xiàn)是否正確，最終總結(jié)出3 的倍數(shù)的特征。教師不妨在學(xué)生探索出3 的倍數(shù)的特征后追問：為什么探究“3的倍數(shù)的特征”要關(guān)注各個數(shù)位上的數(shù)？并借助“小棒圖”引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)的組成，從而使他們發(fā)現(xiàn)隱藏在知識背后的道理。當教師試探性地問學(xué)生：你知道3 的倍數(shù)的特征嗎？這屬于淺層教學(xué)，會使學(xué)生的認知處 于“記 憶”和“理 解”水平 ，從而 使他 們的 數(shù)學(xué) 思維處于低階層面。教師應(yīng)在淺層教學(xué)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)的組成和擺小棒等發(fā)現(xiàn) 3的倍數(shù)的特征的本質(zhì)問題，使他們“知其然，知其所以然”。這才是數(shù)學(xué)深度教學(xué)，能推動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低階上升到高階。

2.前后串聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由點到面。

美國教育家杜威認為：一次完整的思維包含著兩種運動，一種是用于發(fā)現(xiàn)的歸納性運動，一種是用于檢驗的演繹性運動，歸納與演繹的雙向互動實現(xiàn)了學(xué)生思維“點—線—面”的輻射式發(fā)展。瑞士兒童心理學(xué)家皮亞杰認為：隨著學(xué)習者學(xué)的知識越來越多，就應(yīng)該讓他們認清所學(xué)知識之間的聯(lián)系，主動構(gòu)建認知圖式。教師要認真研究教材，把握編者的設(shè)計意圖，關(guān)注前后知識之間的關(guān)聯(lián)，并引導(dǎo)學(xué)生去比較、去分析、去歸納。

例如，教學(xué)“梯形的面積”，當學(xué)生通過割補探究出梯形的面積計算公式后，教師追問：我們已經(jīng)學(xué)過哪些平面圖形呢？它們的面積計算公式是什么？這些平面圖形的面積計算公式之間有什么聯(lián)系呢？接著引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形可以看成上底與下底相等的梯形，長方形的面積計算公式可以根據(jù)梯形的面積計算公式推導(dǎo)出來。學(xué)生隨即聯(lián)想到正方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式都可以借助梯形的面積計算公式推導(dǎo)出來。教師接著提問：圓的面積計算公式是否也可以借助梯形的面積計算公式推導(dǎo)出來呢？把知識延伸到未知的領(lǐng)域，給予學(xué)生遐想的空間。然后，教師拋出直追知識本質(zhì)的問題：為什么梯形的面積計算公式可以與其他幾個平面圖形通用呢？并借助幾何畫板動態(tài)演示梯形的變化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來這些平面圖形之間都是有聯(lián)系的。最后追問：既然梯形的面積計算公式是通用的，為什么其他圖形的面積不都用這個公式來計算呢？引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的共性與個性、復(fù)雜性與簡捷性。上例中，讓學(xué)生探究梯形的面積計算公式并且靈活運用只是淺層的學(xué)習，實現(xiàn)的是思維的“點”狀提升;接著要求學(xué)生研究各個平面圖形的面積計算公式之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)梯形的面積計算公式與其他幾個平面圖形通用，使他們的學(xué)習逐 步走 向深 入，達到 了思 維的“線 ”上串 通;最后延伸到圓的面積計算公式，并追問梯形的面積計算公式為什么可以通用，這是思維的“面”上延展。整個過程從基礎(chǔ)知識的“點”走向基于 知識 脈絡(luò) 的“ 線” 和“ 面” ，學(xué) 生從 “理 解”“運 用”到“分析”“評價”，經(jīng)歷了深度學(xué)習，增強了數(shù)學(xué)思維的深刻性，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習也呈現(xiàn)出生長態(tài)勢。

3.質(zhì)疑問難，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由淺入深。

亞里士多德曾說過“：思維是從疑問和驚奇開始的?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對情境 中的 數(shù)學(xué) 信息 進行 充分 的觀 察、提取 、概括 ，并聯(lián)系已有知識經(jīng)驗進行聯(lián)想、加工，從而使他們產(chǎn)生疑惑，進而發(fā)現(xiàn)和提出問題。質(zhì)疑問難可以是生生互相質(zhì)疑，也可以是師生互相質(zhì)疑。

例如，教學(xué)“小數(shù)的近似數(shù)”，在學(xué)生匯報預(yù)習所得環(huán)節(jié)，教師發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生只是機械地把整數(shù)求近似數(shù)的原理遷移到小數(shù)中來，從而只能淺層次地匯報求小數(shù)近似數(shù)的方法，對于近似數(shù)知識中的道理則表現(xiàn)出一臉茫然。此時，教師鼓勵學(xué)生拋出自己還不明白的問題，有學(xué)生提出他在學(xué)習整數(shù)近似數(shù)時就搞不清楚為什么要與“5”比，現(xiàn)在精確到十分位，就更不明白為什么要與十分位的“5”比了。于是，教師借助數(shù)軸讓學(xué)生明晰了為什么要精確到十分位以及怎么來精確到十分位，并讓他們探究怎么精確到百分位。學(xué)生的問題接踵而來：1.50和 1.5相 等，1.50的 0可以去掉嗎？為什么一個精確到十分位，一個精確到百分位，它們的數(shù)值卻一樣呢？教師繼續(xù)讓學(xué)生借助數(shù)軸自己去解決。學(xué)生從數(shù)軸上發(fā)現(xiàn)：近似數(shù)1.50和近似數(shù)1.5的取值范圍不同，也就是說它們的精確度不同。學(xué)生在上述不斷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程中，數(shù)學(xué)學(xué)習不斷走向深入，數(shù)學(xué)思維也逐漸走向深刻。

4.求異創(chuàng)新，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由窄變寬。

創(chuàng)新是我國人才培養(yǎng)的重要標準。課標提到的十個核心概念中就有“創(chuàng)新意識”。布盧姆將“創(chuàng)造”作為人認知的最高水平。小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的重要時期。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，鼓勵學(xué)生運用多種方法解決問題。

例如，教學(xué)“奇妙的割補”（蘇教版五上“你知道嗎？”中的以盈補虛相關(guān)內(nèi)容）時，教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習平行四邊形的面積計算方法及其推導(dǎo)過程，并鼓勵學(xué)生說說是否還有其他方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把平行四邊形分割成直角梯形再組合成長方形;還可以沿著平行四邊形左右兩邊的中點畫垂直線段，然后沿著這個垂直線段剪下來旋轉(zhuǎn)一下拼成長方形。接著，教師打破常規(guī)，讓學(xué)生用同樣的割補方法來研究三角形的面積計算方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把三角形轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形。最后，教師鼓勵學(xué)生大膽想象：梯形要怎樣轉(zhuǎn)化呢？此時，平行四邊形、三角形的多種轉(zhuǎn)化方法為學(xué)生提供了廣闊的思維空間，使他們找到了多種割補方法來求梯形的面積。“創(chuàng)新來源于求異，創(chuàng)造來源于想象”。我們可以看到，在上述教學(xué)中，學(xué)生一開始研究平行四邊形和三角形的面積計算方法時思維比較緩慢，找到的三角形的割補方法也只局限于兩三種;研究到梯形時，他們的思路全部打開了，找到了更多種不一樣的割補方法。教師不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了方法的多樣化，還使他們順利實現(xiàn)了從思維多樣化向本質(zhì)統(tǒng)一性的過渡。

5.理性分析，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低升高。

批判性思維是高階思維之一。發(fā)展學(xué)生的批判性思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維品質(zhì)，是引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)深度學(xué)習的手段和目的。教師要精心設(shè)計教學(xué)，根據(jù)學(xué)生生成的問題進行有深度的提問和課堂推進，引導(dǎo)學(xué)生獨立進行多角度的思考，鼓勵他們發(fā)出真實的聲音，做出理性的判斷。

例如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，課前教師調(diào)查發(fā)現(xiàn)，幾乎所有學(xué)生都知道三角形的內(nèi)角和是 180毅。于是，課始，教師直接要求學(xué)生想辦法驗證三角形的內(nèi)角和是不是180毅。學(xué)生首選“量”的方法，當學(xué)生量出三個角的度數(shù)并把它們相加之后發(fā)現(xiàn)不是180毅時，有部分學(xué)生迅速涂改數(shù)據(jù)，還有的學(xué)生一臉茫然。教師拋出問題：難道三角形的內(nèi)角和不是180毅？進而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)測量都會有誤差，并引導(dǎo)學(xué)生想出更多驗證方法，如撕拼、折拼等，但學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)它們都有誤差，教師繼而告訴學(xué)生：動手操作都會有誤差。最后，有學(xué)生想到可以通過推理來驗證——利用兩個一模一樣的直角三角形拼成長方形，因為長方形的四個角都是直角，內(nèi)角和是 360毅，所以這個三角形的內(nèi)角和是360毅的一半，90毅伊4衣2=180毅;還有學(xué)生想出把三角形分割成兩個直角三角形，180毅伊2-90毅伊2=180毅。其實，每次教學(xué)這個內(nèi)容，都會有學(xué)生為了湊成180毅而涂改測量所得的數(shù)據(jù)。上例，教師沒有漠視學(xué)生測量的數(shù)據(jù)，而是引導(dǎo)學(xué)生理性分析，進而從量拼引出撕拼、折拼，當學(xué)生學(xué)會了理性分析，直接指出撕拼、折拼也有誤差時，教師抓住時機點撥，水到渠成地過渡到計算推理，進而引導(dǎo)學(xué)生了解初中要學(xué)的知識——邏輯推理。研究一步步走向深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也得到了很好的進階。

綜上所述，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)深度教學(xué)呼應(yīng)發(fā)展學(xué)生高階思維的訴求，高階思維又是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標識。教師要找準學(xué)生的認知起點，探尋學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長點，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在深度學(xué)習中由表及里、由點到面、由淺入深、由窄變寬、由低升高，從而有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]鄭毓信“.數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之二——“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的具體涵義[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教 師，2019（9）：10-12.

[2]龔如軍.基于深度學(xué)習理念的高階思維 發(fā)展探索[J].小學(xué)教學(xué)研究：教研版，2018（9）：50-52.

[3]王瑩“.高階思維”與學(xué)生數(shù)學(xué)“深度學(xué)習”[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（19）：13-14.

[4]姚蕊.經(jīng)歷思維進階感悟模型思想——以“表 面涂 色的 正方 體”教學(xué) 為例[J].遼 寧教 育，2017（12）：28-31.