矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用及教學研究

張 芳 英 朱 睦 正

（河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 張掖 734000）

矩陣初等變換是《高等代數(shù)》課程的一個重要組成部分，在該課程中有著特殊的地位與作用，其思想貫穿于高等代數(shù)的始終，是研究和學習該課程的一個重要工具和手段，在矩陣的理論研究中占有非常重要的地位.

1 矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1.1 求矩陣（向量組）的秩

矩陣（向量組）的秩是矩陣（向量組）的一個重要特征，是反映矩陣（向量組）本質(zhì)的一個不變量.求矩陣（向量組）秩的常規(guī)方法是求極大無關(guān)組所含向量個數(shù)或求矩陣（向量組）最高階非零子式的階數(shù)，但這倆方法的缺點都是技巧性比較強，不能機械運算.下考慮矩陣初等變換法求矩陣（向量組）的秩.

定理1［1］若矩陣A 與B 相似，則.

步驟如下：

（1）矩陣行初等變換化矩陣A 為階梯形矩陣B；

（2）階梯形矩陣B 非零行的行數(shù)即為A 的秩.

矩陣行、列初等變換可單獨亦可混合使用，因為矩陣的行、列初等變換都不改變矩陣的秩.

1.2 求逆矩陣

定義［1］如果n 級方陣A 和B 滿足條件AB=BA=E，則稱A 和B 均可逆且互為逆矩陣.

根據(jù)逆矩陣的定義，求矩陣A 的逆就是尋找矩陣B 使得AB=BA=E 成立.由于AA*=A*A= ||A E，取B=A*||A 則滿足矩陣可逆定義的條件，從而是矩陣A 的逆矩陣，即A-1=B=A*||A .因為這里的A*是矩陣A 的轉(zhuǎn)置伴隨矩陣，此方法也被稱為伴隨矩陣法［1］.

根據(jù)可逆矩陣是有限個初等矩陣的乘積，一方面BA=E可視為對矩陣A 左乘可逆矩陣B（系列初等矩陣），即對矩陣A 進行系列行初等變換；另一方面AB=E 亦可視為對矩陣A 右乘可逆矩陣B（系列初等矩陣），即對矩陣A 進行系列列初等變換［2］.

特別注意，對A 左乘可逆矩陣B 時沒有右乘任何矩陣，所以進行行初等變換時不能進行列初等變換.對A 右乘可逆矩陣B 時沒有左乘任何矩陣，所以進行列初等變換時亦不能進行行初等變換.

解 對矩陣( )

A,E 進行行初等變換，

相比伴隨矩陣法，矩陣行初等變換法求逆矩陣更加簡單.因為伴隨矩陣法求矩陣的逆時，矩陣階數(shù)越高，要求的代數(shù)余子式就越多，從而運算量就越大，而初等變換只需要進行行初等變換即可.特別注意，不能使用矩陣列初等變換.

1.3 求解線性方程組

用消元法解線性方程組，實質(zhì)就是將它的增廣矩陣經(jīng)過一系列行初等變換化為階梯形矩陣.

解 利用行初等變換將增廣矩陣化成階梯形，則

相比消元法，矩陣初等變換法求解線性方程組更加直觀和簡潔，不需要未知量直接參與運算，只需要對增廣矩陣( A?b) 施行行初等變換.同時，線性方程組的解其實是常數(shù)列向量由系數(shù)矩陣列向量線性表出的系數(shù)，絕對不能施行列初等變換，即要抓住矩陣（向量組）初等變換的本質(zhì).

1.4 解矩陣方程

例4［4］求矩陣方程AX=B 的解，其中

解 構(gòu)造3行6列的矩陣并施行行初等變換

矩陣方程AX=B 的解為

利用矩陣初等變換解決有關(guān)問題時，要改變行、列初等變換對等思想，應(yīng)根據(jù)實際情況盡量強調(diào)“列向量，行變換”.這里類似于增廣矩陣進行行初等變換求線性方程組的解，要絕對避免矩陣的列變換.

1.5 化二次型為標準形

定理3［1］任意二次型f=(x1,x2,…,xn)=XTAX 一定可以通過非退化線性替換X=CY 化為標準形.

根據(jù)定理3，可以得到化二次型的矩陣為對角矩陣的初等變換法：

例5［5］將二次型f=+2+52x1x2+6x2x3化為二次標準型.

解 令

其中

C 為線性替換矩陣，所作的非退化線性替換為

特別注意，由于是合同變換，行、列初等變換必須同時使用.

1.6 化基為標準正交基

施密特正交化方法［1］是化基為標準正交基的基本方法，但該方法計算繁瑣，運算量大.下面利用矩陣初等變換法解決［6］.

設(shè)歐氏空間Rn的一組基是

令A=( α1,α2,…,αn)，則ATA是一個n 階正定矩陣，必與E 合同，存在n 階可逆矩陣Q，使得QT( ATA) Q=(QTAT)( AQ )=E，即ATA 合同于單位矩陣且AQ 的列向量組是Rn的一個標準正交基.從而，得到利用矩陣初等變換法化基為標準正交基的方法

則AQ 的列向量組即為所求的標準正交基.

解 設(shè)A=( α1,α2,α3,α4)，則

利用( η1,η2,η3,η4)=( α1,α2,α3,α4)Q，可得所求標準正交基為

相比施密特正交化方法［1］，矩陣行初等變換法更為直觀且計算量小.

2 矩陣初等變換的教學建議

2.1 講明原理，說清方法

教學的目的是抓住復雜內(nèi)容的實質(zhì)，梳理核心思想和思路，講明白原理，說清楚關(guān)鍵的步驟和具體的做法.例如，求矩陣A 的逆矩陣就是尋找可逆矩陣B 使得AB=BA=E，將矩陣B 視為系列初等矩陣的乘積，從而引入行初等變換或列初等變換，進而說明二者絕對不可以同時使用.

2.2 緊扣矩陣初等變換本質(zhì)，強調(diào)“列向量，行變換”［6］

矩陣初等變換的本質(zhì)是向量組的等價.例如，線性方程組的向量理解就是常數(shù)列向量能否寫出系數(shù)矩陣列向量的線性組合，組合系數(shù)就是方程的解.對增廣矩陣進行行初等變換實際上就是在尋找矩陣列向量的極大無關(guān)組，直觀理解就是消元法，所以矩陣列初等變換是不合適的.

2.3 多做練習，加深理解

學好數(shù)學最好的辦法莫過于動手做題，高等代數(shù)也不例外.通過具體的例子去理解抽象的定義和證明，將定理的結(jié)論運用到具體的例子中，從而加深對概念、定理和方法的理解和掌握.良好的解答證明題的能力是學好高等代數(shù)的重要標志之一.

3 總結(jié)

矩陣的初等變換是高等代數(shù)課程的重要組成部分，其思想貫穿于高等代數(shù)的始終.本文討論了矩陣初等變換在高等代數(shù)中矩陣的秩、矩陣的逆、二次型標準化和標準正交基等問題中的應(yīng)用，并就該知識點的教學策略進行了一些探討.教師在教學工作中應(yīng)當講明原理，說清方法，強調(diào)行列初等變換的區(qū)別，有針對性地讓學生做一定練習以便進一步理解矩陣初等變換的思想，提升靈活應(yīng)用矩陣初等變換法簡化或解決實際問題的能力，夯實專業(yè)理論基礎(chǔ).