基于數(shù)學史：軌跡概念教學中的問題串設計

張佳淳 汪曉勤

摘要：從古希臘數(shù)學史料出發(fā)，利用問題提出的策略，提煉有關(guān)的軌跡問題，然后根據(jù)深度學習的四個原則，對這些問題進行編排，最終形成一個完整的問題串，從而為HPM視角下的軌跡概念教學提供參考。這個問題串體現(xiàn)了數(shù)學史融入數(shù)學教學的“知識之諧”“探究之樂”“方法之美”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。

關(guān)鍵詞：HPM 深度學習 軌跡概念 問題串

課堂教學中，教師提問有四種功能：誘發(fā)學生參與教學活動、提供學習線索、提供練習與反饋機會、助推學習結(jié)果的遷移。已有研究表明，在一節(jié)50分鐘的初中數(shù)學課上，高效的教師平均提出24個問題，而低效的教師平均提出8.6個問題。因此，問題設計至關(guān)重要。但是，如果問題設計缺乏整體性，則會導致課堂教學內(nèi)容零散，不利于學生思維的提升。從問題走向問題串，不僅能更簡潔、連貫、有效地驅(qū)動教學過程，而且能讓學生在解決系列問題的過程中學會提煉知識、總結(jié)問題解決策略。

滬教版初中數(shù)學八年級上冊《19.6軌跡》一節(jié)，在簡單地引入線段垂直平分線、角平分線和圓這三類基本軌跡后，給出了4道例題、2道練習，共計13個軌跡問題。但是，這13個問題之間缺乏關(guān)聯(lián)性和遞進性，不能形成問題串。那么，針對軌跡概念的教學，能否設計出理想的問題串呢？

數(shù)學發(fā)展史就是一部問題解決的歷史，蘊含著無數(shù)的數(shù)學問題，其中的很多問題都可以直接或間接地用于數(shù)學教學。當然，要設計理想的數(shù)學教學問題串，還需要兼顧問題的“歷史序”“邏輯序”和“學生心理序”。為此，除了對問題的發(fā)展歷史進行研究以及對教材和學情進行分析之外，還需要尋求相關(guān)學習理論的支撐。

下面，從古希臘數(shù)學史料出發(fā)，利用問題提出的策略，提煉有關(guān)的軌跡問題，然后根據(jù)深度學習的四個原則，對這些問題進行編排，最終形成一個完整的問題串，從而為HPM視角下的軌跡概念教學提供參考。

一、軌跡概念教學中的問題提出

古希臘數(shù)學家研究過三類軌跡，即平面軌跡、立體軌跡和線軌跡。平面軌跡包含直線和圓，立體軌跡包含三類圓錐曲線。古希臘數(shù)學家在解決三大幾何難題時已經(jīng)利用了軌跡;歐幾里得《幾何原本》中的一些命題已涉及某些平面軌跡;阿波羅尼奧斯在《平面軌跡》中專門探討了八類平面軌跡問題。因此，古希臘數(shù)學文獻為軌跡概念教學中的問題提出，提供了豐富的素材。

教師從無到有地提出問題時，往往會覺得“腹中無墨，鍋中無米”。這時，數(shù)學史料便是一種可利用的資源。當然，還需要利用問題提出的一些策略。當數(shù)學史料本身是一個數(shù)學問題時，可以采用復制式、情境式（僅改變情境）、條件式（改變已知條件）、目標式（改變要求目標）、對稱式（將已知條件和要求目標互換）、鏈接式（對現(xiàn)有問題進行擴充，讓新問題的解決依賴于現(xiàn)有問題的解決）和自由式（改變情境、條件和目標）等策略提出問題;當數(shù)學史料是一個數(shù)學命題時，可以采用情境式、條件式、目標式、對稱式和自由式等策略提出問題。

基于學生的認知基礎（了解的軌跡類型），通過對古希臘有關(guān)平面軌跡史料的整理與選擇，我們采用適當?shù)膯栴}提出策略，最終得到—組問題（見表1）。

二、深度學習的原則及其與問題串設計的關(guān)系

深度學習是“21世紀技能”形成必不可少的途徑。美國國家研究委員會認為，深度學習是個體將已學的知識從一種情境應用到另一種情境的過程，即遷移。孫妍妍等人認為，將“21世紀技能”與深度學習聯(lián)系在一起的正是“遷移”這一經(jīng)典概念，深度學習的本質(zhì)是形成可遷移的知識。Goldman和Pellegrino分析了1955-2015這60年里基于研究的學習、教學、評估方面的已有研究成果，以及它們對教學和評估設計的影響，歸納出了深度學習背景下的四個學習原則：

1.學生來到教室學習的時候，并不是白紙一張，相反，他們帶著來自先前教育經(jīng)驗的知識。

2.知識的內(nèi)容和組織至關(guān)重要，為了發(fā)展探究能力，學生必須：（1）具有扎實的知識基礎;（2）在概念框架的背景下理解事實和想法;（3）以有助于檢索和應用的方式組織知識。

3.元認知過程有助于增強學習能力。

4.學習本質(zhì)上是人與人之間的活動，人們經(jīng)常通過社會交往進行學習。

一方面，學生學習最終的目標（之一）是遷移（運用），而最大的障礙就是不會遷移。數(shù)學教學中，雖然不同的問題往往具有某些一致性（相似或相關(guān)），但是，表述、條件、目標等的多樣化往往會阻礙學生對它們的識別與解決。問題串中不同問題之間或明或暗的關(guān)聯(lián)與遞進，往往可以促進學生對已解決問題（已學習知識、已獲得經(jīng)驗）的遷移運用。

另一方面，在有關(guān)問題串設計的已有文獻中，部分研究結(jié)論與上述四個原則不謀而合。王先進認為，設計問題串時，同樣應根據(jù)學生的認知規(guī)律，以學生原有知識或經(jīng)驗為起點。該觀點與上述原則1一致。崔艷君提出，教師應通過設計有層次、有方向的問題串，把零散的知識結(jié)合起來，建立相互聯(lián)系的系統(tǒng)，幫助學生在大腦中形成清晰、穩(wěn)定的知識鏈，當需要知識的時候，能快速提取信息;章建躍等人提出，以問題串為線索的教學過程設計，應為學生搭建理解的平臺，鋪設對概念進行概括的路線和階梯。這些觀點與上述原則2相對應。宋曉平等人認為，教師在課堂教學中使用的多種問題均可歸為元認知問題，這類問題能促使學生自主探究，激發(fā)學生對自我進行元認知監(jiān)控，并根據(jù)監(jiān)控結(jié)果調(diào)整策略，以完成任務。該觀點符合上述原則3所強調(diào)的元認知過程的重要性。羅國忠指出，小組討論能有效激發(fā)學生的問題意識，結(jié)合問題串，可有效訓練學生提出探究問題的能力。該觀點與上述原則4相匹配。

因此，我們認為，深度學習的四個原則能夠指導數(shù)學教學中的問題串設計。

三、軌跡概念教學中的問題串設計

為了使表1中提出的問題形成整體系統(tǒng)（而不是零散的），并且貫穿全課（而不是只出現(xiàn)在新課引入或知識探究環(huán)節(jié)），我們以問題1為起點，依次進行難度遞進的變化和推廣，從而得到新的問題;以“△ABC的邊BC=2cm”（即三角形的一條邊固定）為統(tǒng)一背景，將各個問題串聯(lián)起來，從而形成問題串。在具體的設計中，深度學習的四個原則起到了很好的指導作用。

（一）用原則1指導設計

有效教學的一個關(guān)鍵特征是，激活學生對主題的認知基礎，并提供機會使學生在此基礎上發(fā)展。學生在學習新知識之前，往往已接觸過相關(guān)知識。但是，學生借助先前所學形成的對新知識的理解，可能比較淺顯，甚至存在錯誤。應該通過教學，讓深刻的、正確的認知取代淺顯的、錯誤的認知，讓學生看到后者的不足之處。

學習軌跡概念之前，學生已經(jīng)學習了有關(guān)平行線、線段垂直平分線、角平分線和圓的性質(zhì)定理及其逆定理，具備了這四類基本軌跡（我們認為教材中引入的三類基本軌跡是不全面的，漏掉了平行線）的認知基礎。但是，對于軌跡問題，還要求同時論證其純粹性與完備性，即論證性質(zhì)定理及其逆定理。學生對此認識不足，普遍存在以純粹性掩蓋完備性的情況。為了引導學生將新知識納入已有認知，并糾正論證的易錯點，我們設計了如下問題：

問題1 如果△ABC的面積為已知數(shù)，那么頂點A的軌跡是什么？（兩平行線）

問題2 如果△ABC是以BC為底的等腰三角形，那么頂點A的軌跡是什么？（線段垂直平分線除去一點）

問題3 如果∠CBD大小固定（不為平角），且BD與BC相等，△ABD面積與△ABC面積相等，那么頂點A的軌跡是什么？（兩角平分線及其反向延長線除去一點）

問題4 如果△ABC是以BC為腰的等腰三角形，那么頂點A的軌跡是什么？（兩圓除去兩點）

這里，問題1就是表1中的第1題（用符號語言表達），問題2是表1中的第7題在統(tǒng)一背景下的條件式改編，問題3是表1中的第5題在統(tǒng)一背景下的條件式改編，問題4是表1中的第9題在統(tǒng)一背景下的條件式改編。它們分別對應四類基本軌跡。

而且，在三角形的統(tǒng)一背景下，問題1特別需要注意完備性的驗證，問題2特別需要注意純粹性的驗證，問題3、4同時需要注意完備性和純粹性的驗證。

（二）用原則2指導設計

該原則來自一份對專家和新手學習效果的比較研究：相比于新手，專家對知識的理解更為系統(tǒng)化，他們將知識聯(lián)結(jié)并組織成有意義的模式或圖解，反映出深刻的理解，這有助于他們記住和選取相關(guān)信息，從而進行知識遷移。

學生通過上面四個問題，認識了四類基本軌跡后，教師應該對問題進行變化和推廣，讓學生體會到基本軌跡的多元表征，然后引導學生提煉不同表征的共同本質(zhì)（即尋找“變中不變”），并總結(jié)解決問題的一般方法（即關(guān)注“多題一解”），從而幫助學生形成一個有層次性和條理性的軌跡概念框架，促進知識遷移。

具體地，由問題2可以變化或推廣得到：

問題5 在△ABC中，若AB：AC=2：1，則頂點A的軌跡是什么？（圓）

問題6 在△ABC中，若∠BAC=90°，則頂點A的軌跡是什么？（兩半圓）

問題7 （1）在△ABC中，若∠BAC=60°，則頂點A的軌跡是什么？（兩優(yōu)?。?/p>

（2）在△ABC中，若∠BAC=120°，則頂點A的軌跡是什么？（兩劣?。?/p>

這里，問題5相當于將問題2的條件“AB：AC=1：1”變?yōu)椤癆B：AC=2：1”，也就是表1中的第8題;問題6、7相當于將問題2邊長關(guān)系一定的條件變?yōu)榻堑拇笮∫欢ǎ渲袉栴}6也就是表1中的第4題，問題7也就是表1中第3題的兩個特殊情況。

由問題3可以變化或推廣得到：

問題8 若DE與BC平行且相等，△ADE面積與△ABC面積相等，則頂點A的軌跡是什么？（平行線）

問題9 若∠CBD大小固定（不為平角），且BD與BC相等，△ABD面積與△ABC面積之比為2：1，則頂點A的軌跡是什么？（兩角的“不平分線”及其反向延長線）

問題10 若DE與BC平行且相等，△ADE面積與△ABC面積之比為2：1，則頂點A的軌跡是什么？（兩平行線）

這里，問題8、9、10相當于將問題3的條件“∠CBD大小固定”或“△ABD面積與△ABC面積相等”變?yōu)椤癉E與BC平行”或“△ABD面積與△ABC面積之比為2：1”，也就是表1中第6題的三個特殊情況。

這樣，基于問題1-10，教師可以引導學生提煉軌跡表征的本質(zhì)：在平面幾何中，兩個條件決定一個點（對具體的軌跡類型，可具體地分析“兩個條件”）。同時，可以引導學生總結(jié)解決軌跡問題的數(shù)學思想方法：描點法或轉(zhuǎn)化法（轉(zhuǎn)化為基本軌跡）。

（三）用原則3指導設計

元認知是一個主動監(jiān)控學習的過程：什么是被理解的，什么是沒被理解的？哪些符合當前的概念，哪些不符合當前的概念？回答了什么問題？有什么進展？……通過元認知，學生可以培養(yǎng)以下能力：猜想，向自己解釋以提高理解，注意未能理解的地方，激活背景知識，提前計劃。

教師可以利用波利亞的“解題表”，幫助學生構(gòu)建解決軌跡問題的元認知體系。首先，熟悉問題：動點滿足的兩個條件是什么？其次，尋求解題方法：是否可以轉(zhuǎn)化為四類基本軌跡？能否考慮特殊點？然后，書寫過程：直接畫出圖形或描點觀察，再采用文字語言描述軌跡，并判斷是否符合純粹性與完備性。最后，總結(jié)與回顧：動點的條件與同類型題目是否有共性？如何納入軌跡的知識框架？

通過上述10個問題，學生已經(jīng)學習了四種基本軌跡的不同表征和共同本質(zhì)，感悟了軌跡探求的一般過程。教師可以設計如下問題幫助學生監(jiān)控學習進度：

問題11 若△ABC是等邊三角形，則頂點A的軌跡是什么？

問題12 若△ABC是等腰三角形，則頂點A的軌跡是什么？

問題13 若平面上兩個三角形面積相等，公共頂點A所對的底邊長也相等，則頂點A的軌跡是什么？

問題14 若平面上兩個三角形面積之比為2，公共頂點A所對的底邊長也相等，則頂點A的軌跡是什么？

問題15 若平面上兩個三角形面積之比為B，公共頂點A所對的底邊長也相等，則頂點A的軌跡是什么？

這五個問題是之前問題的進一步特殊化或一般化。學生在解決問題時，不僅可以關(guān)注元認知過程，而且能夠充分理解軌跡概念，破除思維定式，提高思維的靈活性。問題11是問題2和問題4的“交集”（特殊化），需要運用交軌法，能讓學生注意到軌跡也可能是有限個點。問題12是問題2和問題4的“并集”（一般化），需要分類討論，能讓學生注意到軌跡也可能是多條直線或曲線的合并。問題13是問題3和問題8“并集”的進一步一般化（公共頂點A所對的底邊所在直線除了相交、平行，還可能重合），問題14是問題9和問題10“并集”的進一步一般化（公共頂點A所對的底邊還可能共線），問題15是問題14的進一步一般化（面積之比不確定），它們都需要分類討論。

（四）用原則4指導設計

當學生合作時，他們使思維對彼此可見，從而分享、討論可能的挑戰(zhàn)，擴展彼此思維和理解的策略和觀點。各種類型的合作學習，對個體學習都有積極的影響。教師要設置具有挑戰(zhàn)性以及開放性的問題，引導學生通過小組討論和全班交流，解決問題，碰撞思維，融合理解。特別地，設置開放性的問題時，可以不局限在數(shù)學范圍內(nèi)，而拓展到人生、文化等領域內(nèi)，進行更發(fā)散的關(guān)聯(lián)、想象，以真正提出具有充分開放性的問題。

上面的問題5、9、14、15對學生來說，就具有一定的挑戰(zhàn)性，教師可以重點引導學生小組討論、全班交流，或者留給學生課后充分思考、探究。

此外，教師還可以提出以下具有開放性的問題，引導學生進行課堂的小結(jié)與提升：

問題16 你能不能自己提出并解決一個軌跡問題？

問題17 你的成長軌跡是怎么樣的？

問題18 人生的軌跡該怎么走？

問題16檢查學生學習情況;問題17、18升華課堂格局，引發(fā)學生思考人生規(guī)劃。

四、設計反思

上述基于數(shù)學史、利用問題提出的一些策略、根據(jù)深度學習的四個原則設計的軌跡概念教學問題串（問題1-18），以四類基本軌跡為核心，以線段（長度）、角（角度）、直線、圓、平行、垂直、平分（對稱）、三角形（面積）等為要素，既縱向承接上節(jié)課的內(nèi)容，又橫向涵蓋平面幾何中常見的元素。其結(jié)果更是反映了集合思想在平面幾何中的滲透：不同的軌跡圖形對應不同的點的集合，交軌法的結(jié)果為多個圖形公共點所成的交集，分類討論的結(jié)果為多個圖形的所有點所成的并集。其內(nèi)涵之豐富、變化之多元，是理想的描述與解釋軌跡概念、引導學生“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的材料，甚至可設計為一節(jié)軌跡練習課或復習課。

進一步來看，這個問題串還體現(xiàn)了以下教育價值：

1.構(gòu)建知識之諧。問題串不僅揭示了古希臘軌跡思想的源與流，而且向?qū)W生提供了古人研究軌跡的視角，即從靜態(tài)的曲線看動態(tài)的軌跡，從幾何元素的運動變化看不變量。

2.營造探究之樂。層層遞進、由淺入深的問題串，是圍繞學生“最近發(fā)展區(qū)”搭建的“腳手架”，為學生提供了拓展探究的機會與材料，使學生能夠在合作學習中彌合個體問題解決能力的差距。

3.彰顯方法之美。軌跡問題串的解答利用了描點法或轉(zhuǎn)化法，其中的部分問題需要利用分類討論的思想，而純粹性與完備性的檢驗也滲透了特殊化（注意特殊位置的點是否符合條件）和反證法的思想。

4.實現(xiàn)能力之助。首先，利用描點法觀察并猜想軌跡，有助于培養(yǎng)學生的直觀想象能力;其次，對軌跡問題純粹性與完備性的辨析，有助于提高學生的邏輯推理能力;再次，概括不同表征的共同本質(zhì)和解決問題的一般方法，有助于發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力。

5.展示文化之魅。一方面，問題串以滿足條件的動點為載體，以交軌法為手段，以分類討論為思想，呈現(xiàn)了一個多彩迷人的平面軌跡圖景，讓學生領略到軌跡的多元性;另一方面，問題串跳出純粹數(shù)學內(nèi)容，既為數(shù)學平添了“人情味”，更將課堂上升到哲學思考的層面，體現(xiàn)了數(shù)學與人類其他知識領域之間的聯(lián)系。

6.達成德育之效。問題串的設置由易到難，可幫助學生培養(yǎng)堅韌不拔、刻苦鉆研的探究精神，形成不畏困難、越挫越勇的學習態(tài)度，重塑獨立自信、樂學善學的學習信念，從而有效落實學科育人。