余數(shù)不同，結(jié)果就不相同？

馬迎雪

摘要：對(duì)于數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)，無論學(xué)生還是老師，都應(yīng)該對(duì)其深度挖掘，追求知識(shí)本質(zhì)，不應(yīng)局限于課本本身。在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中要善于利用教學(xué)思想把知識(shí)連點(diǎn)成線，建構(gòu)屬于自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：本質(zhì)?深度挖掘?過程?思想?能力

學(xué)習(xí)了“商不變的規(guī)律”（蘇教版四年級(jí)上冊(cè)）后，學(xué)生出現(xiàn)了較大面積的理解誤區(qū)：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。這種情況立刻引起筆者的重視和研討的興趣。為了調(diào)查全班的理解狀況，筆者在班級(jí)進(jìn)行了一次針對(duì)性問答。

對(duì)于算式200÷30=6……20，20÷3=6……2，

調(diào)查顯示，大部分四年級(jí)的孩子認(rèn)為余數(shù)不相等，結(jié)果就不相等。

而五年級(jí)學(xué)生不再輕易地被表面的結(jié)果迷惑，幾乎所有學(xué)生都認(rèn)定余數(shù)不同只代表沒有充分地平均分，充分平均分后的結(jié)果是一樣的，就是那個(gè)小數(shù)結(jié)果。隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生在解決問題時(shí)有了更多的思考方式，當(dāng)不同方法呈現(xiàn)的表象不一樣時(shí)，學(xué)生會(huì)換個(gè)角度思考，綜合理解。

在與五年級(jí)學(xué)生的交流過程中，四年級(jí)關(guān)于余數(shù)的思想誤區(qū)已經(jīng)消除。從除法的本質(zhì)平均分入手，有余數(shù)說明有剩余的部分沒有充分地平均分，如果繼續(xù)平均分呢？用此方法跟四年級(jí)學(xué)生分析時(shí)，學(xué)生也是豁然開朗。

在班級(jí)較大面積出現(xiàn)理解誤區(qū)并對(duì)該誤區(qū)進(jìn)行調(diào)查、解決的過程中，筆者引發(fā)了幾點(diǎn)關(guān)于課堂教學(xué)的思考。

一、追求知識(shí)本質(zhì)，規(guī)避表面誤區(qū)

學(xué)生產(chǎn)生余數(shù)不同、結(jié)果就不相同的誤解，歸根結(jié)底還是因?yàn)闆]有重視知識(shí)的本質(zhì)，沒有養(yǎng)成從本質(zhì)入手去思考問題的習(xí)慣。其實(shí)，無論課堂上，還是習(xí)題中，學(xué)生都能很快判斷什么情境用除法，也知道除法包含平均分和除。但在這個(gè)余數(shù)問題中，學(xué)生似乎把目光都放在余數(shù)上，完全忘記了這是除法中產(chǎn)生的余數(shù)，更別說從平均分的角度來思考問題。

面對(duì)每一個(gè)新接觸的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生需要充分經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，才可以把新接觸的知識(shí)納入自己的知識(shí)系統(tǒng)中。比如，本文的案例中的除法可以說是四則運(yùn)算中最抽象的運(yùn)算，這就要求學(xué)生在第一次接觸除法時(shí)，充分經(jīng)歷“平均分”的過程，知道分的是什么、怎樣平均分、分的結(jié)果又是怎樣的，加深對(duì)除法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。這樣，學(xué)生面對(duì)類似問題時(shí)，才能及時(shí)從潛意識(shí)中調(diào)動(dòng)出相應(yīng)的知識(shí)本質(zhì)并進(jìn)行思考，這樣就不易受到年級(jí)、知識(shí)廣度的限制。

追求公式、定理、題海的數(shù)學(xué)時(shí)代已經(jīng)過去，義務(wù)階段更是注重對(duì)知識(shí)的追根溯源及追源過程中建立的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這顯然對(duì)學(xué)生尤其是老師提出了更高的要求。要使學(xué)生獲得一顆珍珠，老師必須擁有一串項(xiàng)鏈，要求學(xué)生養(yǎng)成從知識(shí)本質(zhì)思考的習(xí)慣。老師必須對(duì)每一個(gè)知識(shí)的來龍去脈了如指掌，而且還要善于洞察學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)、困難點(diǎn)的把握，并及時(shí)引導(dǎo)突破。比如：本文圍繞的案例出自“商不變的規(guī)律”，進(jìn)行教學(xué)時(shí)，老師就可以從不同角度闡釋知識(shí)本質(zhì)。書上是利用歸納推理的方式，從三個(gè)算式的對(duì)比中找到變與不變：變化的是被除數(shù)和除數(shù)乘或者除以的數(shù)值，不變的是施加于被除數(shù)和除數(shù)的運(yùn)算同時(shí)進(jìn)行，而且商不變。進(jìn)而歸納出商不變的規(guī)律。那除此之外，還有其他的理解方式嗎？比如，放入具體情境中：“帶20元買筆記本，3元一個(gè)，可以買幾個(gè)”這個(gè)問題和“帶200角買筆記本，30角一個(gè)，可以買幾個(gè)”一樣嗎？情境代入的方式似乎更能讓學(xué)生理解“商不變的規(guī)律”，而且也為進(jìn)一步理解余數(shù)的變化提供了很好的思想土壤。

二、提高推理能力，抓住培養(yǎng)關(guān)鍵期

在調(diào)查五年級(jí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然會(huì)有短暫的思考停頓，但是很快就得出雖然余數(shù)不相等，但是得數(shù)依然相等的結(jié)論。學(xué)生盡管已經(jīng)有了小數(shù)除法的理論基礎(chǔ)，但是沒有停止思考，而是用小數(shù)除法的知識(shí)得出肯定結(jié)論后，反過來思考為什么會(huì)出現(xiàn)余數(shù)不同的表象，一步步想到為什么會(huì)出現(xiàn)余數(shù)，深層次思考除法的本質(zhì)，這個(gè)問題就不攻自破了。這一切都得益于學(xué)生有一定的推理能力。而對(duì)比中明顯可以看到四年級(jí)學(xué)生推理能力的不足。小學(xué)生思維能力的發(fā)展是有一定規(guī)律的，其中四、五年級(jí)是推理能力發(fā)展的關(guān)鍵期。雖然數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒有明確給出推理能力的定義，但是可以通俗地理解為“學(xué)生思考‘為什么是這樣，然后一步步‘因?yàn)椤浴乃季S過程”。所以老師應(yīng)該抓住培養(yǎng)關(guān)鍵期，有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，上課多設(shè)計(jì)有效的核心問題及問題串，組織學(xué)生思考“為什么”。

其實(shí)數(shù)學(xué)課程本身就包含很多培養(yǎng)推理能力的內(nèi)容，比如商不變的規(guī)律，就能培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力，這是從特殊到一般的推理。對(duì)該內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)這樣有意思的現(xiàn)象：通過對(duì)比式子大部分學(xué)生得出的結(jié)論是“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，商不變;被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，商不變……”結(jié)論傾向于就題論題。而只有少部分同學(xué)可以得出比較有概括性的結(jié)論：不管被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘幾，商都不變。所以，如何通過課堂教學(xué)的組織，實(shí)現(xiàn)全班學(xué)生從特殊到一般的思想飛躍，再進(jìn)而驗(yàn)證推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、完善推理等，對(duì)學(xué)生和老師都提出了更高的挑戰(zhàn)。

對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和加強(qiáng)應(yīng)該融進(jìn)課程本身，老師要深入思考學(xué)生和課堂的結(jié)合點(diǎn)，提高課堂質(zhì)量，聚焦素養(yǎng)培養(yǎng)。

三、深度挖掘教材，拓寬思維視角

學(xué)習(xí)商不變的規(guī)律是通過具體的計(jì)算、表格填寫，而后對(duì)其歸納推理，進(jìn)而得出結(jié)論。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)本身并不難，但是容易造成什么都不變的假象。就像剛開始問學(xué)生“200÷30=20÷3成立嗎”，學(xué)生都回答成立，因?yàn)槎蒙滩蛔兊囊?guī)律。其實(shí)學(xué)生這時(shí)根本就沒有認(rèn)識(shí)到雖然結(jié)果是相等的、商是不變的，但是余數(shù)是會(huì)變化的事實(shí)，更不會(huì)認(rèn)識(shí)到余數(shù)不僅有變化，而且也是有規(guī)律的。因此在教學(xué)中，老師有必要深度挖掘教材，拓寬思維角度。

在教學(xué)中，商不變的規(guī)律是否可以升級(jí)為2.0版本：商不變、余數(shù)變化的規(guī)律？在設(shè)計(jì)表格時(shí)，除了被除數(shù)、除數(shù)、除法算式和商，增設(shè)余數(shù)一欄，通過同樣的推理方式，得到2.0版結(jié)論：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變，但是余數(shù)會(huì)變，余數(shù)隨被除數(shù)或除數(shù)變化，也要乘或除以這個(gè)相同的數(shù)。其實(shí)這個(gè)設(shè)計(jì)老師肯定不陌生，因?yàn)樗贸霈F(xiàn)在課后練習(xí)中，但是這個(gè)問題是不是可以滲透到新課程的學(xué)習(xí)中呢？各位老師可以進(jìn)行思考。甚至可以拓展出更多的版本：商隨被除數(shù)變化的規(guī)律、商隨除數(shù)變化的規(guī)律等等。

知識(shí)和思維的延展對(duì)學(xué)生來說是有必要的，但是更重要的是通過這種方式，讓學(xué)生了解到書本上的知識(shí)是有限的，而在知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中感悟收獲的思維和能力卻是無限的。學(xué)生可以從不同知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中感受到相同的思維方式和知識(shí)本質(zhì)，比如：“小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）學(xué)習(xí)中同樣應(yīng)用到了歸納推理，“小數(shù)除以小數(shù)”（蘇教版五年級(jí)上冊(cè)）轉(zhuǎn)化時(shí)亦用到了商不變的規(guī)律等等。學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生對(duì)相同的數(shù)學(xué)思路又進(jìn)行了一次調(diào)用和鞏固，并且通過相同思維方式的牽引，把看似不同的知識(shí)點(diǎn)連成線，建立自己的知識(shí)體系，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

作為老師，針對(duì)平時(shí)教學(xué)中出現(xiàn)的問題，及時(shí)反思，改進(jìn)教學(xué)，應(yīng)該成為常態(tài)，并以此激勵(lì)自己：學(xué)生引領(lǐng)，讓課堂更有質(zhì)量。

責(zé)任編輯：黃大燦?趙瀟晗