數(shù)學教材中數(shù)學文化研究

徐云鴻 劉秀玲

徐云鴻，山東省教育科學研究院教研室副主任、小學數(shù)學教研員，山東師范大學碩士生導師、齊魯名師導師，中國教育學會小學數(shù)學教學專業(yè)委員會副秘書長。青島版數(shù)學教材主編，多篇論文被人大復印報刊資料《小學數(shù)學教與學》全文轉(zhuǎn)載。主持完成的課題《教學方式轉(zhuǎn)型的山東模式——小學數(shù)學3C教學法及其課程資源建設(shè)研究》獲得2018年山東省省級教學成果特等獎，國家基礎(chǔ)教育教學成果二等獎。

2001年課改之初，為了改變過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的教學現(xiàn)狀，提出“大問題 大空間 大智慧”的課堂教學理念，帶領(lǐng)山東省小學數(shù)學團隊，獨創(chuàng)了“情境串—問題串—知識串”教學法（簡稱3C教學法），將情境教學、問題教學、結(jié)構(gòu)教學融為一體，改變了教與學的方式，有效地促進了全省師生的發(fā)展。

【摘要】從數(shù)學文化的角度分析青島版數(shù)學《最美的圖形——圓》單元中的數(shù)學文化類型、運用水平及其功能，并從如何呈現(xiàn)豐富的數(shù)學文化類型、提高數(shù)學文化運用水平、體現(xiàn)更全面的數(shù)學文化功能三個方面提出思考與建議。

【關(guān)鍵詞】 小學數(shù)學 教科書 圓 數(shù)學文化

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在第一部分前言中明確指出：“數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！睌?shù)學作為人類文化的重要組成部分，對人的全面發(fā)展有著重大意義。數(shù)學文化，無論對激發(fā)學生的學習興趣還是對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素養(yǎng)，“其內(nèi)涵是宏闊而深邃的，其功效是堅固而持久的，其形態(tài)是不斷生成而富有生機的?！苯滩淖鳛榻處熃虒W的重要依據(jù)和資源，承擔著向?qū)W生傳遞數(shù)學文化的重要功能。鑒于此，本文嘗試對青島版小學數(shù)學《最美的圖形——圓》（以下簡稱為《圓》）單元的數(shù)學文化滲透情況進行分析解讀，從數(shù)學文化類型、數(shù)學文化運用水平、數(shù)學文化的功能三個維度進行分析，試圖解析教材是如何體現(xiàn)數(shù)學文化、包含了哪些數(shù)學文化以及是如何運用數(shù)學文化的，在此基礎(chǔ)上對教材進一步加強數(shù)學文化提出建議，并為教師教學提供一定的參考。

一、《圓》單元數(shù)學文化的類型分析

從文化的高度來建設(shè)數(shù)學課程是青島版教材的一大特色。教材力求通過各種文化素材浸潤學生心靈，點燃學生求知的激情，感受數(shù)學的美妙與美好，增強數(shù)學應(yīng)用和創(chuàng)新意識，進而促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)于數(shù)學文化的類型，不同的學者有不同的理解，因而劃分的角度也不盡相同。汪曉勤等將數(shù)學文化類型劃分為：數(shù)學史、數(shù)學與生活、數(shù)學與科技、數(shù)學與人文藝術(shù)四個方面，本文將按照這種劃分對《圓》單元進行分析。本單元共包括48項有關(guān)數(shù)學文化的項目，其中練習題之外的項目（記為C1）15項，練習題（記為C2）33項，見表1。

通過分析數(shù)學文化的類型，我們發(fā)現(xiàn)，青島版數(shù)學教材所選擇的素材內(nèi)容較為廣泛。其中，“數(shù)學與生活”的內(nèi)容最多，體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值;同時還設(shè)計了少量的“數(shù)學與人文藝術(shù)”的內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值;在C1和C2中均體現(xiàn)了“數(shù)學與科技”的融合?？傊?，數(shù)學文化類型涵蓋了各個方面。當然，從具體類型而言，數(shù)學文化的類型還不太均衡，“數(shù)學與生活”占絕大多數(shù)，“數(shù)學與人文藝術(shù)”“數(shù)學與科技”的類型不足。因此，如何納入更多的人文藝術(shù)類、科技類的文化素材需要進一步思考。具體分析如下：

（一）“數(shù)學史”的內(nèi)容分析及教材改進建議

（1）數(shù)學史的內(nèi)容分析。數(shù)學史是數(shù)學文化的一種載體，是教學中滲透數(shù)學文化的一種有效途徑。將數(shù)學史的內(nèi)容滲透到教材中可以讓學生產(chǎn)生文化歸屬感。本單元以數(shù)學史為載體滲透數(shù)學文化的項目共4項，包括我國的數(shù)學成就（圓周率）;圓的面積推導中引入了劉徽的“割圓術(shù)”和西方的“切西瓜”原理;數(shù)學家（介紹祖沖之），均出現(xiàn)在C1中，在C2中沒有出現(xiàn)數(shù)學史方面的文化滲透，這與本單元知識點有關(guān)。

教材中對史料內(nèi)容的選擇傳承了我國深厚的數(shù)學文化，既可以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，又有利于培養(yǎng)學生的民族自豪感。

（2）教材中“數(shù)學史”編寫的改進建議。建議進一步豐富與“圓”相關(guān)的數(shù)學史料。與圓相關(guān)的數(shù)學史料內(nèi)容很多，教材應(yīng)該為學生呈現(xiàn)出最經(jīng)典、最核心的數(shù)學史料內(nèi)容。在信息窗一“圓的認識”中可增加古代對圓的特征的記載。比如《墨子·經(jīng)上》：“圜，一中同長也?！薄睹献印分姓f“不以規(guī)矩，不能成方圓”后來演化成了用以指導人們生活的名言警句，《周髀算經(jīng)》中“圓出于方、方出于矩”等。這些數(shù)學史資料無疑可以很好地幫助學生更加深刻地認識“圓”，揭示“圓”的知識背后隱藏的深厚文化底蘊，增加民族自豪感與自信心。青島版教材在信息窗二僅介紹了《周髀算經(jīng)》的相關(guān)記載，而不能忽略的是劉徽的割圓術(shù)，正是有了劉徽的貢獻，才為后來圓周率的研究奠定了重要的基礎(chǔ)。還有阿基米德等的研究成果，以及現(xiàn)代利用計算機技術(shù)對圓周率的研究進展等，如果在教材中增加這些內(nèi)容，能夠讓學生更加完整地了解圓周率的研究史，體會數(shù)學發(fā)展歷史的曲折，感悟數(shù)學家孜孜以求的探索精神。

（二）“數(shù)學與生活”的內(nèi)容分析及教材改進建議

（1）“數(shù)學與生活”的內(nèi)容分析。本單元以“數(shù)學與生活”為載體滲透數(shù)學文化的內(nèi)容非常多，較好地體現(xiàn)了數(shù)學作為基礎(chǔ)學科的地位與價值。根據(jù)學生與現(xiàn)實生活的接近程度，將數(shù)學與現(xiàn)實生活分為兩類：個人的、公共的。

“數(shù)學與生活”的內(nèi)容總共出現(xiàn)29項，其中C1中的3項都是公共生活，C2中有11項屬于個人生活，其余15項屬于公共生活，個人生活與公共生活的數(shù)量差異不大，說明青島版教材非常注重兩類生活的均衡性。

進一步分析發(fā)現(xiàn)，“數(shù)學與生活”中的個人生活條目主要以家庭生活為主，比如“測量圓桌的周長、面積”等家庭用品為背景，較少涉及與學生個人相關(guān)的學校生活、日常生活、娛樂生活等;公共生活條目中主要以社會生活中出現(xiàn)的公共服務(wù)和設(shè)施為背景，比如“測量圓形花壇的周長和面積、種樹、磨面的石碾”等，但對于職業(yè)生活、經(jīng)濟生活則較少涉及。

（2）“數(shù)學與生活”的改進建議。第一，素材內(nèi)容應(yīng)選擇貼近學生生活的真實情境。脫離生活實際的數(shù)學往往帶給學生一種抽象晦澀、深奧玄妙的灰色形象。因此，在素材選擇上盡量選擇情境真實、貼近學生生活，同時具有深厚文化底蘊的素材。這樣既能增加學生的興趣，又可以讓學生體會數(shù)學知識在解決問題中的價值和作用。第二，素材內(nèi)容選擇應(yīng)盡量多樣化。建議盡可能涵蓋數(shù)學與生活的各個領(lǐng)域，使日常的、學校的、社會的、經(jīng)濟的、娛樂的、職業(yè)的等文化類型豐富多彩，開闊學生的視野，感受數(shù)學在生活中的作用，進而體會數(shù)學應(yīng)用的廣泛性。

（三）“數(shù)學與科技”的內(nèi)容分析及教材改進建議

（1）“數(shù)學與科技”的內(nèi)容分析。根據(jù)科學技術(shù)研究的對象類型，將其分為四類：生物科學、地球科學、物質(zhì)科學、高新技術(shù)。本單元中數(shù)學與科技的內(nèi)容共計3項，比如介紹日本的富士山、石子落入水中產(chǎn)生的圓形水波、荷葉的受光面積等相關(guān)知識。說明教材非常注重數(shù)學與科學的聯(lián)系，這與數(shù)學學科的本質(zhì)特性有關(guān)，同時教材選擇的是水波紋、荷葉等小學生生活中常見的現(xiàn)象和事物，符合小學生的心理特征。

（2）“數(shù)學與科技”的改進建議。數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科，推動著科技的發(fā)展，為科技進步帶來很多意想不到的成果?，F(xiàn)代科學技術(shù)日新月異，特別是計算機科學、人工智能領(lǐng)域發(fā)展迅猛，伴隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，數(shù)學的價值日益凸顯，同時，數(shù)學的研究領(lǐng)域、應(yīng)用領(lǐng)域也得到極大的拓展。在編寫教材時，應(yīng)加強數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，將不同學科的內(nèi)容進行有機整合，有利于提升學生的綜合素養(yǎng)。比如，在練習中可以增加圓形的向日葵花盤、楓樹的種子以旋轉(zhuǎn)的方式在地面上傳播、臺風以滾動的方式在海面或陸地上移動、激流以漩渦的方式?jīng)坝肯蚯暗人夭模寣W生在學習數(shù)學知識和解決問題的過程中，了解其他學科的知識;再比如在學完“圓的認識”后，在練習中可以增加利用信息技術(shù)手段設(shè)計用圓組成的美麗圖案，不僅有助于提升學生的興趣、培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力，還有助于提升學生的美學素養(yǎng)。另外，“圓”屬于空間與圖形領(lǐng)域，教材中受紙質(zhì)材料的限制，很多內(nèi)容的呈現(xiàn)不夠形象直觀，可以利用PowerPoint、flash、3D打印等信息技術(shù)手段幫助學生加強對于圓的特征，周長、面積公式推導等知識的理解，從而培養(yǎng)學生的空間觀念與空間想象能力，體會模型思想。

（四）“數(shù)學與人文藝術(shù)”的內(nèi)容分析及教材修訂建議

（1）“數(shù)學與人文藝術(shù)”的內(nèi)容分析。根據(jù)藝術(shù)形式的不同，分為四類：人文、美術(shù)、音樂和建筑。“數(shù)學與人文藝術(shù)”的內(nèi)容在C1和C2中均有出現(xiàn)，共計8項。

本單元涉及中國古代建筑天壇、英國的巨石陣等，這說明教材關(guān)注到了數(shù)學與人文藝術(shù)的聯(lián)系，但從整體看來，數(shù)學與人文、數(shù)學與音樂、數(shù)學與建筑的類型還不夠豐富。

（2）“數(shù)學與人文藝術(shù)”的改進建議。本單元“數(shù)學與人文藝術(shù)”的內(nèi)容中，沒有涉及與音樂相聯(lián)系的內(nèi)容，說明教材對數(shù)學與音樂這方面的關(guān)注度不夠，建議增加與音樂有關(guān)的內(nèi)容，如以閱讀材料的形式呈現(xiàn)“圓周率之歌”，把小學生喜愛的音樂與數(shù)學有機地融合起來，讓學生了解數(shù)學符號與音樂的關(guān)系，感受數(shù)學美的熏陶;數(shù)學與建筑方面雖有涉及但內(nèi)容不多，古今中外都有大量的與圓有關(guān)的著名建筑，教材可以增加更多的與建筑相關(guān)的素材;最后，適量增加數(shù)學與美術(shù)方面的背景素材。美術(shù)素描中基礎(chǔ)圖形圓的繪畫方法就是典型的圓出自方的詮釋和割圓術(shù)的反證。

二、數(shù)學文化在教材中的運用水平

就教材中數(shù)學文化的運用水平而言，采用王建磐等提出的框架進行分析，將數(shù)學教材中數(shù)學史的運用水平分為點綴式、附加式、復制式、順應(yīng)式四類。將其余類型的數(shù)學文化運用水平分為外在型、可分離型和不可分離型三類。

（一）數(shù)學史的運用水平

教材中祖沖之的介紹屬于附加式，圓周率以及圓的面積推導屬于順應(yīng)式。可見，青島版教材對于數(shù)學史的運用水平較高。以往的教材中，更多的是把數(shù)學史放到“你知道嗎？”中，青島版教材將數(shù)學史與教學內(nèi)容有機融合，充分體現(xiàn)了數(shù)學文化的教育價值，其史料內(nèi)容的介紹與學生的認知結(jié)構(gòu)相統(tǒng)一。比如在“圓的面積”推導中，將有關(guān)的史料放入教材例題的學習中，從而將數(shù)學史與教學知識內(nèi)容完美結(jié)合，避免了數(shù)學文化運用水平的淺層化。教材以幾個學生交流的方式呈現(xiàn)了圓的外切正多邊形和內(nèi)接正多邊形無限逼近以及用拼割法把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長方形的研究方法，隱含著古代中外數(shù)學家們關(guān)于“圓的面積”的探索歷程。教材對史料內(nèi)容的運用水平較高，學生在思考與探究中，既學到了圓的面積推理的方法，又領(lǐng)略了古人的智慧以及數(shù)學家孜孜不倦的求真求實精神。因此，教材編排獨具匠心，彰顯了數(shù)學教學的文化味，將數(shù)學的科學性與人文性有機結(jié)合。

（二）其余類型的數(shù)學文化運用水平

就其他數(shù)學文化類型的運用水平而言，外在型8項;可分離型18項;不可分離型22項。見表3。

教材中有一半多的條目屬于不可分離型，可見教材關(guān)注了數(shù)學文化與數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)?？煞蛛x型的條目有16項，占比不到一半?？煞蛛x的應(yīng)用情境主要出現(xiàn)在練習中，要解決的問題不是情境本身，情境只是附加的干擾性，只需要用數(shù)學知識解決隱藏的數(shù)學問題。比如：“求時針的尖端走過的路程是多少厘米？”顯然這是強加給這個情境的，在真實生活中沒有人會去計算分針走過的路程。

進一步分析《圓》單元中不同類型數(shù)學文化的運用水平可以發(fā)現(xiàn)（見表4），“數(shù)學與生活”超過50%的項目屬于不可分離型的運用水平，“數(shù)學與科技”有50%屬于不可分離型的運用水平，說明兩種文化類型在本單元中數(shù)學文化運用水平較高，“數(shù)學與人文藝術(shù)”的運用水平分布比較均衡。

整體來看，青島版教材中數(shù)學文化內(nèi)容多采用順應(yīng)式和不可分離型的運用方式，運用水平較高。其中，可分離型占18項，占一定的比例，說明有些數(shù)學文化的內(nèi)容與數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)度不高。為了進一步提高數(shù)學文化內(nèi)容的運用水平，就要充分發(fā)掘與篩選更多的文化素材，以更加自然的方式融入數(shù)學中，成為數(shù)學問題的有機組成部分，讓學生真正體驗到“數(shù)學本質(zhì)上就是一種文化”，否則會給教師和學生一種從外部強加背景或者貼標簽的生硬的感覺。用數(shù)學知識解釋生活現(xiàn)象，使問題內(nèi)生于情境，情境服務(wù)于數(shù)學學習，從而實現(xiàn)數(shù)學與文化二者的有機融合。

三、數(shù)學文化在教材中的功能

數(shù)學文化在教材中的功能借鑒Dickenson-Jones的分類，將數(shù)學文化的功能分為提供背景性情境、提供應(yīng)用性情境、拓展數(shù)學思維與方法、促進數(shù)學與文化交融、體驗文化實踐。

從以上數(shù)據(jù)可以看出，數(shù)學文化功能主要體現(xiàn)在提供應(yīng)用性情境上，大多出現(xiàn)在練習中。教材關(guān)注數(shù)學在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學的應(yīng)用價值;其他類型也有所涉及，比如數(shù)學史以促進數(shù)學與文化交融為主，這表明教材也充分考慮了數(shù)學文化價值的豐富性。青島版教材豐富而全面地呈現(xiàn)了數(shù)學文化的各類功能，而且各個文化類型的功能定位也不同。

比較C1和C2中的數(shù)學文化功能可以發(fā)現(xiàn)，C1以提供背景性情境和促進數(shù)學與文化交融為主，C2則是以提供背景性情境和提供應(yīng)用性情境為主。出現(xiàn)這一現(xiàn)象與欄目本身的特點有關(guān)，教材編排注重與圓相關(guān)的各種背景知識，并且注重用學到的圓的有關(guān)知識解決生活中的實際問題，有利于學生建立數(shù)學與生活的關(guān)系，體會數(shù)學的作用。

進一步分析各種數(shù)學文化類型的功能可以看出（見表6），數(shù)學史的功能主要是“拓展數(shù)學思維與方法”和“促進數(shù)學與文化交融”;數(shù)學與生活的功能主要是“提供應(yīng)用性情境”，其次是“提供背景性情境”;數(shù)學與科技的功能主要是“促進數(shù)學與文化交融”和“提供背景性情境”;數(shù)學與人文藝術(shù)的功能以“促進數(shù)學與文化交融”為主?？傮w而言，青島版教材中各種數(shù)學文化類型的功能比較豐富。

本文從數(shù)學文化類型、數(shù)學文化運用水平、數(shù)學文化的功能三個維度，以《最美的圖形——圓》單元為例，分析了青島版數(shù)學教材中數(shù)學文化的滲透情況，為教師提供了從數(shù)學文化視角研究教材的可操作的方法，有助于教師找準教材中數(shù)學文化的滲透點，全面領(lǐng)略數(shù)學文化功能，充分發(fā)揮數(shù)學課程的育人功能。

【參考文獻】

[1]李鐵安.文化意義下的數(shù)學及其教育意蘊[ J].數(shù)學教育學報，2008（6）.

[2]唐恒鈞，張維忠，李建標，余偉忠.澳大利亞數(shù)學教材中的數(shù)學文化研究——以“整數(shù)”一章為例[ J].數(shù)學教育學報，2016（6）.

[3]王建磐，汪曉勤，洪燕君.中、法、美高中數(shù)學教科書中的數(shù)學文化比較研究[ J].教育發(fā)展研究，2015（20）.

本文系“2019年度山東省基礎(chǔ)教育教學改革重點項目——數(shù)學文化教學促進小學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的研究（項目編號：3700006） 、山東省教育科學‘十三五規(guī)劃重點課題——省域小學數(shù)學文化教學的實踐與研究（課題編號：ZZ2019057）”階段性研究成果。