零膨脹Poisson回歸模型極大似然估計的相合性與漸近正態(tài)性

侯 文， 蔡夢瑤， 謝新惠

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

Poisson回歸模型通常用于計數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，應(yīng)用十分廣泛. 但是，在實(shí)際問題的研究中，當(dāng)出現(xiàn)零觀測值過多的情形時，Poisson回歸模型已不再適用了.針對此種情況，Lamber[1]提出了零膨脹Poisson回歸模型，并且用該模型對生產(chǎn)過程中產(chǎn)品所含有的瑕疵數(shù)量進(jìn)行了分析. 關(guān)于零膨脹Possion回歸模型研究的文獻(xiàn)很多，例如，Welsh等[2]采用零膨脹Poisson回歸模型分析了珍稀物種的生存狀況， Shankar,Milton和Mannering[3]把該模型用于對事故發(fā)生頻數(shù)的建模.還有Bohning等[4]分析了有關(guān)牙科流行病預(yù)防研究中的數(shù)據(jù)，Cheung[5]分析了醫(yī)學(xué)調(diào)查中關(guān)于兒童生長發(fā)育的數(shù)據(jù)，都用了零膨脹Poisson回歸模型. 目前文獻(xiàn)大多是從實(shí)際問題出發(fā)，主要注重于模型的應(yīng)用，而涉及零膨脹Poisson回歸模型極大似然估計的相合性和漸近正態(tài)性等大樣本性質(zhì)的研究文獻(xiàn)并不多見.本文借鑒Fahrmeir和Kaufmann[6]對廣義線性模型極大似然估計大樣本性質(zhì)的研究結(jié)果，在一定的正則條件下，證明了零膨脹Poisson回歸模型極大似然估計的相合性和漸近正態(tài)性等性質(zhì).

1 零膨脹Poisson回歸模型介紹

如果隨機(jī)變量Y服從零膨脹Poisson分布，λ、ω為參數(shù)，其概率分布律為

記作Y～ZIP(λ,ω)，則其均值和方差分別為

E(Y)=(1-ω)λ,

Var(Y)=E(Y)(1+λω)=(1-ω)λ(1+λω).

零膨脹Poisson回歸模型與廣義線性模型的構(gòu)成類似，模型結(jié)構(gòu)如下：

(i)模型的響應(yīng)變量為Yi，Yi～ZIP(λi,ω),且Yi相互獨(dú)立，i=1,2,…,n．

(iii)線性組合ηi(β)與Yi的均值λi之間有指數(shù)型函數(shù)聯(lián)結(jié)，即λi=exp(ηi(β))，i=1,2,…,n.

令

ZIP回歸模型的對數(shù)似然函數(shù)為

(log(1-ω)-log(yi!)+yilog(λi(β))-λi(β)).

其Score向量

sn(θ)=(s0(θ),s1(θ),…,sp(θ),sp+1(θ))T.

其中,

又

xirI{yi>0}(yi-λi(β)),

而

2 條件和引理

在給出假設(shè)條件之前，先設(shè)定一些記號. 令λminA和λmaxA分別表示方陣A的最小特征根和最大特征根；用AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A1/2表示正定矩陣A的Cholesky分解中左平方根的下三角矩陣，且其對角元素為正，即A1/2(A1/2)T=A.為表示方便,設(shè)定AT/2∶=(A1/2)T，A-T/2∶=(AT/2)-1，A-1/2∶=(A1/2)-1.

Hn(θ)和Fn(θ)分別表示為ZIP回歸模型參數(shù)θ的觀測信息陣和Fisher信息陣.

此外，為了記號的簡便，分別將λi(β0)、sn(θ0)、Fn(θ0)、Eθ0和Pθ0記為λi、sn、Fn、E和P.

(B){Xn,n≥1}?Kx，Kx?p+1是一個緊集；

(C)假設(shè)B?p+1是一個開集且θ0是集合Kθ∶=B×Ω的內(nèi)點(diǎn)，其中,Ω:=[0,1]；

零膨脹Poisson回歸模型的觀測值矩陣為

(1)

Fisher信息陣Fn(θ):=EθHn(θ)，有

fr,s(θ)=fs,r(θ)=

(2)

若函數(shù)u(·)在[0,∞)是非負(fù)的，有

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由函數(shù)u(·)在[0,∞)是非負(fù)的，顯然有

其中，k為整數(shù)，k>0，C1>0，且C1取決于k,θ0.

證根據(jù)Gupta[7]中定理1，有遞推公式

其中,C>0且取決于k,θ0.

證在假設(shè)(A)下，對?n∈，鄰域Nn(ε)是緊集，且對于?ε>0，當(dāng)n→∞時，Nn(ε)收縮于θ0.因此由引理2.1和引理2.2以及多項(xiàng)式Qk(y)系數(shù)的連續(xù)性，有

證由Gramer-Wald策略，對?a∈p+2(a≠0)，且使得令由于因此,可由Lyapunov條件

由Cr不等式

(3)

有

由式(3)得

4Ap(θ0)+4Bp(θ0).

再由Cauchy-Schwarz不等式和引理2.2，得

其中,Y～Poisson(exp(xTβ0)),Yi～Poisson(λi),i=1,2,…,n.

引理2.5在假設(shè)(A)～(C)下，有

即只需證明

(4)

(5)

為了證明式(4)，需證明

(6)

(7)

(8)

由于式(6)～式(8)有相似的結(jié)構(gòu)，只證明式(6)成立，其他可類似處理.

令

urs(θ)∶=xirxis(1-ω)λi(β)(exp(-λi(β)))×

vrs(θ)∶=xirxisλi(β).

為得到式(6)，只需證

(9)

(10)

由大數(shù)定律可得，式(9)、式(10)成立．

下面看式(5)，有

(11)

(12)

(13)

由于式(11)～式(13)有相似的結(jié)構(gòu)，只證明式(11)成立，其余可用類似處理.

當(dāng)n充分大時，由θ∈Nn(ε)，由式(2)中frs(θ)的連續(xù)性，可得式(11)成立.

3 主要結(jié)果

證令?Nn(ε)表示Nn(ε)的邊界，由假設(shè)(A)知，當(dāng)n→∞ 時，Nn(ε)收縮于θ0.

則

ln(θ)-ln(θ0)<0,?θ∈?Nn(ε).

(14)

有

P(ln(θ)-ln(θ0)<0, 對?θ∈?Nn(ε))≥1-η

(15)

成立.由此可以推得定理3.1的(i)和(ii)成立.

由此可知式(15)成立.

由引理2.4和引理2.5即可推得定理3.1的(iii)成立.