基于雙曲正切函數(shù)的工業(yè)機(jī)器人滑模控制算法分析

鄭銀湖 宋永勝 鄧靜

摘? 要：滑?？刂品椒ň邆浜芎玫牟蛔冃院涂箶_動(dòng)性能，這得益于系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面不斷滑動(dòng)。但由于其控制量變化較快，電機(jī)遭受的沖擊較大，給實(shí)際應(yīng)用造成了一定困難。針對(duì)此問題，文章通過將傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ㄅc雙曲正切函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，優(yōu)化傳統(tǒng)滑模控制算法，使得系統(tǒng)在維持原有性能的基礎(chǔ)上大幅度削減控制輸入信號(hào)的抖振問題。理論分析表明，在該方法作用下，系統(tǒng)是漸進(jìn)收斂的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了其有效性。

關(guān)鍵詞：機(jī)械臂;滑?？刂?雙曲正切函數(shù);軌跡跟蹤

中圖分類號(hào)：TP242? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2020）22-0119-04

Analysis of Sliding Mode Control Algorithm for Industrial Robot Based on Hyperbolic Tangent Function

ZHENG Yinhu，SONG Yongsheng，DENG Jing

（Guangdong University of Technology，Guangzhou? 510006，China）

Abstract：The sliding mode control method has good invariance and anti-disturbance performance，which benefits from the continuous sliding of the system state along the sliding mode surface. However，due to the rapid change of its control quantity，the motor suffers a greater impact，which causes certain difficulties in practical applications. In response to this problem，this paper combines the traditional sliding mode control algorithm with hyperbolic tangent function to optimize the traditional sliding mode control algorithm，so that the buffeting problem of control input signal can be greatly reduced on the basis of maintaining the original performance of the system. Theoretical analysis shows that the system gradually converges under the action of this method. The simulation results verify its effectiveness.

Keywords：mechanical arm;sliding mode control;hyperbolic tangent function;trajectory tracking

0? 引? 言

在筆者實(shí)驗(yàn)室中所研發(fā)的六關(guān)節(jié)焊接機(jī)器人，由于焊接環(huán)境復(fù)雜，遭受外界干擾多，易出現(xiàn)機(jī)器人抖動(dòng)等問題從而導(dǎo)致焊接效果不佳。為提高控制精度，提升焊接效果，針對(duì)六關(guān)節(jié)焊接機(jī)器人，研究一種抗干擾能力好、魯棒性強(qiáng)的控制方法具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

機(jī)器人是高度復(fù)雜的系統(tǒng)，其控制難度較大。但隨著近年來控制學(xué)科理論的發(fā)展，各類控制算法不斷涌現(xiàn)。常用于機(jī)器人的主要有PID算法、自適應(yīng)算法、滑模變結(jié)構(gòu)等等[1-4]。文獻(xiàn)[1]結(jié)合PID算法和模糊系統(tǒng)規(guī)則，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制策略，以提升機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)行穩(wěn)定性。針對(duì)所考慮系統(tǒng)，文獻(xiàn)[2]提出了一種自適應(yīng)控制方法以補(bǔ)償不確定參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響。文獻(xiàn)[3]對(duì)機(jī)器人魯棒控制方法的發(fā)展進(jìn)行了回顧與展望。基于滑?？刂评碚摚墨I(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了三種行之有效的方法。在上述方法中，滑?？刂埔云淇箶_動(dòng)性能強(qiáng)、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，受到了廣大科研工作者的強(qiáng)烈關(guān)注[5-7]。

滑?？刂剖沟孟到y(tǒng)狀態(tài)能夠順利按照預(yù)設(shè)滑模面滑動(dòng)以提高整體系統(tǒng)的性能。但這也導(dǎo)致了系統(tǒng)的控制量需要不斷切換，其切換頻率較高，這在實(shí)際系統(tǒng)中是不容易實(shí)現(xiàn)的[8-11]。一方面，這對(duì)于電機(jī)性能的要求較高，另一方面，控制量頻繁地切換也會(huì)造成對(duì)電機(jī)的沖擊，影響電機(jī)壽命。文獻(xiàn)[8]針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)，結(jié)合滑模算法和自適應(yīng)算法，提出了一種新型的控制方法，可以實(shí)現(xiàn)所考慮系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能。由于機(jī)械臂工作的環(huán)境一般較為復(fù)雜，遭受外界干擾多，為減小外界擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器，將擾動(dòng)項(xiàng)引入系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)中進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償，同時(shí)利用滑模理論，進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，該方法效果顯著。文獻(xiàn)[10]研究了直線跟蹤機(jī)器人的自主跟蹤給定路徑問題，并提出了相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)。而文獻(xiàn)[11]則對(duì)多時(shí)間尺度下的帶擾動(dòng)及不確定項(xiàng)的柔性機(jī)械臂進(jìn)行了探討。因此，對(duì)滑?？刂品椒ㄖ械目刂屏慷墩瘳F(xiàn)象進(jìn)行研究具有非常深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。

雙曲正切函數(shù)由于其特殊的性質(zhì)，常被用于逼近系統(tǒng)的非線性特征，例如系統(tǒng)的飽和特性等。此外，雙曲正切函數(shù)相較于傳統(tǒng)的切換函數(shù)，其最大的優(yōu)勢(shì)在于其可以通過近似擬合的方法避免切換時(shí)出現(xiàn)的轉(zhuǎn)角，從而減少系統(tǒng)控制量的抖振問題[12-15]。文獻(xiàn)[12]將基于雙曲正切函數(shù)的軌跡模型與傳統(tǒng)的多項(xiàng)式規(guī)劃、樣條曲線規(guī)劃等進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明其所提出的方法具有更高的擬合精度。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]結(jié)合雙曲正切函數(shù)和傳統(tǒng)LMS算法（least mean square），可進(jìn)一步提升系統(tǒng)收斂速度和降低穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[15]則基于雙曲正切函數(shù)和最優(yōu)控制理論，對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的控制問題展開了探討。結(jié)合上述討論，可以得知雙曲正切函數(shù)應(yīng)用范圍較廣，可以切實(shí)地提升系統(tǒng)的性能。鑒于傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ǔ４嬖谥袚Q函數(shù)，本文將在控制實(shí)際中，引入雙曲正切函數(shù)，通過與傳統(tǒng)方法進(jìn)行結(jié)合，以提升系統(tǒng)性能。

綜上所述，本文將針對(duì)單關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的軌跡跟蹤問題，結(jié)合雙曲正切函數(shù)，對(duì)傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行改造，以保證所考慮系統(tǒng)的跟蹤性能。同時(shí)，也使其系統(tǒng)控制量抖動(dòng)問題進(jìn)一步緩解，易于物理實(shí)現(xiàn)。

1? 問題描述

1.1? 系統(tǒng)模型

本文將以單關(guān)節(jié)機(jī)械臂為例，其動(dòng)力學(xué)模型可描述為：

其中，q∈R1為關(guān)節(jié)角度，M（q）∈R1×1為機(jī)械臂的慣性矩陣，∈R1×1為離心力和哥氏力，G（q）∈R1

為重力項(xiàng)，τ∈R1為控制力矩，τd為外加擾動(dòng)，滿足|τd|≤ d。

注1：式（1）主要考慮了機(jī)械臂系統(tǒng)所遭受的擾動(dòng)項(xiàng)，并采用所設(shè)計(jì)的方法對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。但在實(shí)際的機(jī)械臂系統(tǒng)中，還會(huì)存在著關(guān)節(jié)之間的摩擦力項(xiàng)、系統(tǒng)的不確定項(xiàng)等等，對(duì)于上述暫未考慮到的問題，筆者將在后續(xù)的研究中對(duì)式（1）進(jìn)行改善優(yōu)化。

令x1=q，=x2，D（u）=τd，式（1）可轉(zhuǎn)化為：

其中，M（t）為機(jī)械臂的慣性慣量，C（t）為離心力和哥氏力項(xiàng)，G（t）為重力項(xiàng)。

本文通過自主設(shè)計(jì)相應(yīng)的滑?？刂破?，以單關(guān)節(jié)機(jī)械臂為研究主體，使得其系統(tǒng)輸出能夠快速響應(yīng)系統(tǒng)輸入。保證其跟蹤性能的同時(shí)有效消除控制輸入的抖振問題，提升其物理可實(shí)現(xiàn)性。

1.2? 雙曲正切函數(shù)

傳統(tǒng)的滑?？刂扑惴ㄖ?，由于切換函數(shù)的斜率無窮大，使得系統(tǒng)控制信號(hào)在切換過程中存在著劇烈的抖動(dòng)問題。為解決該問題，本文引入了陡度更為平緩的雙曲正切函數(shù)替代原始的切換函數(shù)，利用該函數(shù)的平滑性大幅度緩解控制信號(hào)切換抖振程度。

雙曲正切函數(shù)的定義為：

其中，ω>0和δ>0均為設(shè)計(jì)參數(shù)。

引理1[16]：對(duì)于?ω>0，δ>0，下述不等式恒成立。

其中，ε>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

引理2[17]：對(duì)于函數(shù)b，V：[0，∞）∈R，如果 ≤-aV+ b，?t≥t0≥0成立，a為任意實(shí)數(shù)，則有如下關(guān)系式成立：

其中，t為系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)刻，t0為初始時(shí)刻，χ代表著變量參數(shù)。

2? 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與分析

系統(tǒng)跟蹤誤差為如式（7）所示：

其中，xd為給定的參考信號(hào)。

定義如式（8）的滑模函數(shù)（滑模面）：

其中，k為正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

本文將以式（1）為對(duì)象，通過上述兩種不同的滑?？刂坡杉右詫?shí)驗(yàn)，并進(jìn)行分析和對(duì)比，以此來論證本文提出方法的可行性。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

即基于切換函數(shù)設(shè)計(jì)的滑模控制律可使得系統(tǒng)指數(shù)收斂，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

基于雙曲正切函數(shù)的滑模控制律設(shè)計(jì)如下：

其中，γ為設(shè)計(jì)參數(shù)，用于調(diào)整雙曲正切函數(shù)的曲率。

注2：在所考慮系統(tǒng)中，tanh函數(shù)主要用于處理外部擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)帶來的影響。在本文中，所考慮的外部擾動(dòng)項(xiàng)是假設(shè)有界的，即|τd|≤d。傳統(tǒng)的方法主要是采用切換函數(shù)sgn（x），但這會(huì)給系統(tǒng)帶來一個(gè)不可避免的弊端，就是sgn（x）切換的時(shí)候會(huì)造成控制量的突變，從而導(dǎo)致控制量跳變的頻率進(jìn)一步加快，這在實(shí)際應(yīng)用中其實(shí)是很難實(shí)現(xiàn)的，代價(jià)極大。在控制設(shè)計(jì)中，通過結(jié)合tanh函數(shù)和外部擾動(dòng)項(xiàng)的d，在控制器中設(shè)計(jì)相應(yīng)的補(bǔ)償項(xiàng)，以抵消外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，從而提升系統(tǒng)的性能。

即式（14）作用下的系統(tǒng)也是指數(shù)收斂的，也可使得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

3? 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

本文采用的仿真模型如下：

兩種控制律設(shè)計(jì)分別如下：

其中，M=10+0.06sin（q），C=0.03cos（q），G=mglsin

系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇如下：m=0.5 kg，G=9.8，l=0.05 m，k=0.6，ζ=10，γ=0.05，M=10+0.06sinx1，C=0.03cosx1，G=mglsinx1。軌跡參考信號(hào)為xd=sint。

本文所采用的仿真工具為MATLAB軟件，通過將上述系統(tǒng)模型、控制律設(shè)計(jì)以及參數(shù)選擇等在MATLAB中進(jìn)行相應(yīng)的編寫，即可獲取相關(guān)代碼進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在完成相應(yīng)MATLAB代碼的編寫后，需要對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。本文的目的是在保證系統(tǒng)跟蹤性能的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步降低控制量的抖振頻率，提升其物理可實(shí)現(xiàn)性。因此，在參數(shù)調(diào)整過程中，系統(tǒng)輸出的跟蹤效果、控制量的抖振頻率以及幅值，都是首要考慮的因素?；趥鹘y(tǒng)滑?？刂魄袚Q函數(shù)模型和基于所提出結(jié)合雙曲正切切換函數(shù)模型的仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1和圖3展示的是兩種控制律作用下的系統(tǒng)輸出，即機(jī)械臂系統(tǒng)的末端角度。由上述仿真結(jié)果可知，兩種不同思路的控制律都能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)良好的跟蹤性能。圖2和圖4為兩種控制律作用下的系統(tǒng)輸入，即控制輸入。從圖2與圖4的對(duì)比可以明顯看出，基于切換函數(shù)的滑?？刂坡汕袚Q頻率很高，且幅值較大，在實(shí)際系統(tǒng)中不易實(shí)現(xiàn)。然而，基于所提出方法的控制量切換頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于原始方法，系統(tǒng)穩(wěn)定后控制力幅值較小，在實(shí)際工程上具有更大的可實(shí)現(xiàn)性。通過對(duì)上述兩種不同方法的仿真分析對(duì)比結(jié)果中可以看出，本文所提出的雙曲正切切換函數(shù)效果性能更優(yōu)。

4? 結(jié)? 論

本文在傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄉ系目刂屏壳袚Q函數(shù)方面進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)，以單關(guān)節(jié)機(jī)械臂為研究對(duì)象，通過引入雙曲正切函數(shù)與之結(jié)合，既實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)整體跟蹤性能的優(yōu)越性，又大幅度消除了系統(tǒng)控制量抖振問題，通過降低控制律切換頻率。理論分析結(jié)果表明，在運(yùn)用了本文所提方法后，所考慮的單關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。同時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明了所提方法的有效性?，F(xiàn)階段本文主要工作成果還在于算法的MATLAB仿真，后續(xù)將進(jìn)一步完善該方法，并將其具體應(yīng)用于實(shí)際的六關(guān)節(jié)焊接機(jī)器人進(jìn)行實(shí)際測(cè)試。

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作者簡(jiǎn)介：鄭銀湖（1996.05—），男，漢族，廣東汕頭人，碩士研究生在讀，研究方向：自動(dòng)化焊接、機(jī)器人自動(dòng)化控制;通訊作者：宋永勝（1994.09—），男，漢族，河南周口人，碩士研究生在讀，研究方向：機(jī)器視覺、智能裝備制造;鄧靜（1996.10—），女，漢族，湖南婁底人，碩士研究生在讀，研究方向：工業(yè)控制、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。