數(shù)學與GeoGebra的美麗邂逅

范玉香

隨著科學技術的迅猛發(fā)展和5G（第五代移動通信技術）時代的來臨，科技和互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)改變了我們的生活和學習方式。一支筆、一塊黑板、一個PPT已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代學生對知識渴望的要求。在與時俱進的時代，根據(jù)數(shù)學新課程標準，我們不但要提升學生的綜合素質，發(fā)展核心素養(yǎng)，還要注重培養(yǎng)學生的科學文化素養(yǎng)和終身學習的能力。同時，新課程標準對數(shù)學學科提出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學分析。怎樣落實培養(yǎng)目標、怎樣在數(shù)學課堂上培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，成為現(xiàn)代數(shù)學教學的研究方向。

在過去的數(shù)學課堂上，許多重要的數(shù)學概念教學不曾被一些老師重視，對概念、定理的教學是采用“直接告訴法”，為了追求分數(shù)，一些老師把更多的時間和精力放在題海中，殊不知，沒有理解概念基礎上的數(shù)學學習，在高考中也是難以取勝的，學生的數(shù)學素養(yǎng)是難以形成的。一些老師對概念教學的忽視，還有另外一個原因，那就是數(shù)學概念教學很難開展，高度抽象的數(shù)學概念像立在老師和學生面前的一座大山，想跨越過去，不是那么容易?，F(xiàn)在，想要翻越這座“大山”，現(xiàn)代教育技術可以為老師和學生實現(xiàn)這個“夢想”。本文以電腦版GeoGebra Classic 5.0軟件為例，探索動態(tài)教學在數(shù)學概念教學中的應用。

一、GeoGebra簡介

GeoGebra是2001年由Markus Hohenwarter在薩爾茨堡大學做碩士論文時開創(chuàng)的軟件。GeoGebra是一款開源（Open-source）、免費的數(shù)學軟件，它具有功能多、易上手、好用、省錢省時省力等特點;它有電腦版、手機版和網(wǎng)頁版，滿足了各種需求。幾何是Geometry，代數(shù)是Algebra，GeoGebra剛好是兩者的組合，實際上，GeoGebra不僅是一款結合了幾何和代數(shù)的數(shù)學軟件，還是一款結合了微積分、數(shù)據(jù)表、圖形，統(tǒng)計和計算的多功能軟件，在數(shù)學、物理、地理都有廣發(fā)應用。鑒于Geogebra的強大功能和明顯的優(yōu)勢，它將會給我們的數(shù)學課堂帶來更多樣的教學方式和學習方式，它應該成為老師教學、學生學習的好伴侶。

二、GeoGebra是一款易操作的軟件

說GeoGebra易上手、好用，那是因為它操作方便，三年級的小學生也可以很容易學會它的基本操作。圖1和圖2是我家三年級的小朋友第一次用GeoGebra設計的手繪萬花筒。主要步驟只有兩步，如圖3，然后，進行屬性設置，再拉動手繪圖就可以得到不同的花形。小朋友都會覺得很好玩、有趣。

三、GeoGebra在函數(shù)概念中的應用

從初中到高一，數(shù)學學科成為了大部分學生學習上的一大難題。高度抽象的函數(shù)概念讓很多同學一頭霧水。利用GeoGebra的輸入欄，我們可以很方便地得到想要的函數(shù)圖象，在教學上的，這種形象具體的呈現(xiàn)，能有效幫助學生理解函數(shù)概念是兩個變量之間的對應關系這一特點。周期性，是三角函數(shù)中的一個重要性質，利用GeoGebra的輸入欄，直接得到y(tǒng)=sinx的函數(shù)圖象，利用滑動條，可以觀察一個周期內的函數(shù)圖象與下一周期圖象重合，從而讓學生達到理解周期性的概念（如圖4、圖5）。另外，利用GeoGebra還可以很容易做出其他周期函數(shù)圖象，讓學生領悟到，周期性并不是三角函數(shù)的“專利”（如圖5），讓學生走出“只有三角函數(shù)才有周期性”的誤區(qū)。

四、GeoGebra在導數(shù)概念中的應用

導數(shù)是微積分的核心概念之一。教材（人教A版選修2-2第一章）通過氣球膨脹率和高臺跳水兩個具體的例子，從平均變化率過渡到瞬時變化率，利用形象直觀的“逼近”方法得到導數(shù)概念，利用GeoGebra的動態(tài)效果（如圖6，圖7），在函數(shù)圖象上任意取兩點A、B，當點B不斷“逼近”點A時，割線BA的斜率就會越來越接近在點A處的切線的斜率，讓學生經(jīng)歷導數(shù)概念從“靜”到“動”的學習過程，幫助學生對導數(shù)概念的理解。

五、GeoGebra在圓錐曲線概念中的應用

圓錐曲線的形成，從“形”上得到，可以用一個平面去截圓錐（如圖8），當平面與圓錐軸的夾角不同時，我們就得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線。圖8是人教A版選修2-1第二章圓錐曲線與方程的章頭圖，在看到這幅章頭圖的時候，我第一個想法是，把這個動態(tài)過程呈現(xiàn)給學生，讓數(shù)學教材也可以“動”起來。這樣的想法，在GeoGebra里很容易就可以實現(xiàn)（如圖9、圖10），在拖動滑動條β的時候，就可以呈現(xiàn)截口曲線的變化。

圓錐曲線的形成可以由平面截圓錐而成，這是從“形”上體現(xiàn)圓錐曲線的特征，那么怎么從“數(shù)”這一方面得到圓錐曲線呢？Geogebra在這方面也體現(xiàn)了它特有的優(yōu)勢。首先，設置滑動條a，區(qū)間可以設置為[-5，5]，然后在輸入欄輸入，拉動滑動條，就可以得到橢圓，再設置輸入框，在輸入框中把“+”號，分別改為“-”“*”“/”號，拉動滑動條就可以得到：到兩定點的距離之和（差、積、商）為定值的點的軌跡。在高中教材中，只涉及到平面內，到兩定點的距離之和（差）為定值的點的軌跡，對于平面內，到兩定點的距離之商（積）為定值的點的軌跡并沒有描述;我們知道，到兩定點的距離之商為定值的點的軌跡（即阿波羅尼斯圓）又經(jīng)常隱藏在考題中。那么，到兩定點的距離之積為定值的點的軌跡是什么呢（如圖11、圖12）？這里可以引起學生的求知欲，進而引導學生進行課外探索。在GeoGebra中，通過拖動滑動條可以探索常數(shù)a的變化對曲線的影響，從而引起學生探索的興趣。

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！碧貏e在數(shù)學概念的教學中，利用GeoGebra強大的數(shù)形結合特點，使高度抽象的概念化身為相對具體的、可視的圖象表征，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想的優(yōu)勢，幫助學生加深對數(shù)學概念的理解，構建良好的知識結構體系。利用GeoGebra的優(yōu)異特征，幫助學生理解高中數(shù)學概念，可以達到形象、生動、有趣、高效的教學效果，進而引導學生進行課外探索，對落實核心素養(yǎng)發(fā)揮了一定作用。意大利著名兒童教育家蒙臺梭利說過：“我聽過了，我就忘了;我看見了，我就記得了;我做過了，我就理解了?！彪m然，這句話主要是對兒童的教育而說的，但對正在學習的每一位學生來說，何嘗不是這樣呢？

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]張志勇.基于GEOGEBRA的數(shù)學實驗與可視化教學[M].長春：東北師范大學出版社，2018.